Alphonse Amiot

“ Lorsqu'un angle est tracé sur le plan d'une circonférence et que ses côtés sont sécants ou tangents, on peut, pour le mesurer, ne pas décrire une circonférence de son sommet comme centre et faire usage de la première circonférence. ”

“ SCHOLIE II.— Si on considère un cercle quelconque DEF comme étant un parallèle, le diamètre AB de la sphère, perpendiculaire sur le plan de ce cercle, est un axe de révolution et ses extrémités A et B sont deux pôles de la surface sphérique. ”

“ Une pyramide est inscrite dans un cône lorsqu'elle a pour hase un polygone inscrit dans la base du cône et que leurs sommets coïncident.—Les arêtes de la pyramide qui passent par le sommet sont des génératrices de la surface conique.
Au contraire, une pyramide est circonscrite à un cône, lorsque sa base est un polygone circonscrit à la base du cône et que leurs sommets coïncident; chacune des bases latérales de la pyramide est tangente au cône, puisqu'elle passe par le sommet du cône et par une tangente à sa base. ”

“ Si l'apothème d'un cône droit est égal au diamètre de sa base, toute section faite dans le cône par un plan qui contient l'axe est un triangle équilatéral; on dit alors que le cône est équilatéral.
Un cône équilatéral circonscrit à une sphère a pour apothème le côté du triangle équilatéral circonscrit à un grand cercle de la sphère.
THÉORÈME: I.
Une zone a pour mesure le produit de sa hauteur par la circonférence d'un grand cercle de la sphère. ”

“ COROLLAIRE.—Le volume d'une pyramide polygonale OABCDE est à celui de la pyramide trirectangle comme la somme des angles dièdres de la pyramide polygonale, diminuée d'autant de fois deux angles dièdres droits que sa base a de côtés moins deux, est à l'angle dièdre droit. ”

“ Pour distinguer les points extérieurs au cercle des points intérieurs, convenons d'affecter du signe + ou du signe — les segments AD, AE, suivant qu'ils sont comptés dans un sens ou dans l'autre à
partir du point A; alors +ADX AE sera la puissance d'un point A extérieur au cercle et —AD X AE celle d'un point intérieur.
THÉORÈME I.
La puissance d'un point, par rapport à un cercle, est égale à l'excès du carré de la distance de ce point au centre sur le carré du rayon.
1° Si le point A est extérieur au cercle C, tracez la tangente AB. La puissance de A est égale à + AB2. ”

“ Si on coupe une pyramide par un plan parallèle à sa base, le volume du tronc de pyramide est égal à la somme des volumes de trois pyramides, ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc et pour bases respectives la base inférieure du tronc, sa base supérieure et une moyenne proportionnelle entre ces deux bases. ”

“ On donne le nom de diagonale à la droite qui joint deux sommets non consécutifs d'un polygone.
On distingue parmi les quadrilatères: le trapèze, dont deux côtés sont parallèles ; le parallélogramme, dont les côtés opposés sont parallèles ; le losange, qui a les côtés égaux et les angles inégaux ; le rectangle, dont les angles sont égaux et les côtés inégaux ; enfin le carré, qui a les côtés égaux et les angles égaux. ”

“ Traçons, dans le polygone ABCD, etc.,
par le sommet A, les diagonales AC, AD, etc.; nous décomposons le polygone en autant de triangles qu'il a de côtés, moins deux. Car ces triangles ont le point A pour sommet commun et pour
bases les différents côtés du polygone, à l'exception des deux côtés AB, AF. La somme des angles de chaque triangle étant égale à deux droits, celle des angles de tous les triangles est égale à deux droits répétés autant de fois qu'il y a de triangles. Or la somme des angles du polygone est la même que celle des angles de tous les triangles ”

“ Si par un point A du plan d'un cercle on trace une sécante quelconque BC, le produit des deux segments AB, AC, déterminés par la circonférence sur cette droite, est constant.
Traçons, par le point A, le diamètre DE et joignons le point D à B, le point E à C : les triangles ABD, ACE sont équiangles, car ils ont l'angle A commun et leurs angles ABD, AEC sont égaux, comme étant mesurés par | arc CD; donc AB:AE::AD:AC, d'où AB X AC = AE X AD, c'est-à-dire que le produit AB X AC est égal à celui des normales menées du point A à la circonférence. ”

“ Le polygone de trois côtés est le triangle. Celui de quatre s'appelle quadrilatère; celui de cinq, pentagone; celui de six, hexagone; etc.
Un polygone est convexe, lorsqu'il est tout entier d'un même côté des droites, indéfiniment prolongées, qui le terminent. Dans le cas contraire, on dit qu'il est concave.
Le périmètre d'un polygone convexe ABCDE ne peut être rencontré en plus de deux points par une ligne droite MN.
Soient G et F les points dans lesquels MN traverse les deux côtés AB, CD ; je dis qu'elle ne peut rencontrer le périmètre en d'autres points. ”

“ Lorsqu'un point o est d'égale puissance par rapport à trois systèmes de points conjugués, situés sur la même droite,
on dit que les six points de ces trois systèmes sont en involution et le point o est appelé centre d'involution.
C'est au géomètre français DESARGUES qu'on doit l'involution. M. CHASLES, par la considération du centre d'involution, a rendu simple et facile cette théorie, autrefois si confuse et si obscure. ”

“ Lorsque la surface d'un corps est formée de plusieurs parties distinctes, deux faces contiguës ont des limites communes, que l'on appelle lignes. Ainsi la ligne est le lieu de l'intersection de deux surfaces. ”

“ On donne le nom de rayon à toute droite AC qui joint le centre C à un point quelconque A de la circonférence. Tous les rayons d'un cercle sont égaux.
Un arc est une portion quelconque AMB de la circonférence ; il a pour corde ou sous-ten-
dante la droite AB, qui joint ses extrémités A et B. La corde AB n'a pas d'autres points que A et B, communs avec la circonférence, puisqu'on ne peut tracer, du centre à cette droite, plus de deux obliques égales au rayon. ”

“ La section BCD est la base de ce cône, qui a pour sommet le centre de la surface et pour hauteur la distance de son sommet à sa base.
On dit qu'un cône est circulaire lorsqu'il a pour base un cercle; un cône circulaire est droit, si la droite qui joint le sommet au centre de la base est perpendiculaire sur la base. ”

“ Intersection et contact de deux cercles.
On appelle normale à une courbe la perpendiculaire AC, menée à la tangente AB par le point de contact A.
Lorsque la courbe est une circonférence, la normale coïncide avec la direction du
rayon perpendiculaire à la tangente; donc elle passe par le centre. Pour tracer une normale au cercle par un point
A intérieur ou extérieur, on joint ce point au centre C par une droite. Cette ligne prolongée rencontre la circonférence en deux points B, D, aux tangentes desquels elle est perpendiculaire ”

“ Par l'extrémité B de la droite donnée AB, tracez sur cette ligne la perpendiculaire BO égale à la moitié de AB; décrivez une circonférence du point 0 comme centre avec le rayon OB; tracez la sécante AO et prenez sur AB une
longueur AC égale à AD; le point C divise AB en moyenne et extrême raison.
En effet, AB étant tangente au cercle, on a : ; AE : AB : : AB : AD ; d'où l'on déduit : AB ! AE—AB: : AD : AB—AD,
or le diamètre DE est égal à AB, donc AB ! ”

“ COROLLAIRE II - Deux triangles rectangles sont égaux s'ils ont l'hypothénuse égale et un autre côté égal chacun à chacun.
Soient ABC, ADC deux triangles rectangles ayant le côté commun AC et les hypothénuses AB, AD égales. Les angles ACB, ACD étant droits, la ligne BCD est droite et les deux obliques égales AB, AD s'écartent
également de la perpendiculaire AC. Donc le côté BC est égal à DC et les deux triangles ont trois côtés égaux chacun à chacun. ”

“ ABC, tracez la droite 00' parallèle aux génératrices, jusqu'à la rencontre du plan de l'autre section A/B/cr. Tout plan AA'OO' qui passe par la droite OO' et par une génératrice quelconque AA' de la surface cylindrique coupe les plans des deux sections suivant deux droites AO, A'O' parallèles et égales, car
le quadrilatère AA'OC' est un parallélogramme. Superposez les plans ABC, A'B'C', en plaçant le point 0 sur 0' et le
point A sur A', les courbes ABC, A'B'C' coïncideront, puisque leurs rayons parallèles, tels que OB, O'B', sont égaux. ”