Claude-Lucien Bergery

“ Ainsi, nos voitures ont un plan de symétrie qui coupe l'essieu perpendiculairement en deux parties égales ; les bateaux et les vaisseaux ont un plan de symétrie qui va de l'avant-bec à l'arrière-bec, ou de la proue à la poupe, et qui passe par les axes de tous les mâts ; les balanciers des machines se trouvent divisés en deux parties égales dans toutes leurs positions, par un plan contenant l'axe de rotation : ce plan de symétrie se meut comme le corps. ”

“ Lorsque toutes les arêtes qui partent des sommets de la base d'un corps, sont parallèles , ce corps prend le nom de prisme.
Une règle est donc un prisme.
Le prisme est complet, si les arêtes parallèles sont égales; il est incomplet et tronqué, si elles sont inégales et terminées par un plan.
C'est par leurs bases qu'on distingue les prismes : quand la base est un triangle, un quadrilatère, un pentagone, etc., le prisme est dit triangulaire, quadrangulaire, pentagonal, etc. ”

“ En effet, toute droite peut être considérée comme une partie d'un cercle infiniment grand ; par suite, une droite et un cercle placés sur le même tableau, ont un axe radical. Mais, les tangentes à la portion de cercle que représente la droite, se confondent avec elle et la touchent partout. Si donc on mène d'un point quelconque de cette droite, une tangente au cercle, il suffira de la rapporter sur la même droite, pour avoir une tangente au cercle infiniment grand, qui lui soit égale. ”

“ La surface sphérique n'est qu'un cas particulier des surfaces courbes que peut engendrer une circonférence par sa révolution autour d'un axe. On conçoit en effet que cet axe peut fort bien ne point rencontrer la génératrice et qu'il peut en même temps se trouver hors du plan de cette courbe. Dans les deux cas, la surface engendrée est dite annulaire, parce que les anneaux ronds ont la même génération. La surface annulaire est donc produite, en général, par une courbe quelconque qui tourne autour d'un axe, sans le rencontrer. ”

“ On donne le nom de polygone étoilé à toute face limitée par des droites, dans laquelle deux quelconques des angles saillans sont séparés par un angle rentrant. Quand tous les angles saillans sont égaux entre eux, qu'il en est de même des angles rentrans, et 'que tous les côtés ont la même longueur, le polygone étoilé est dit régulier ; dans tout autre cas, il est irrégulier. ”

“ Un polyèdre est régulier, quand toutes ses faces sont des polygones réguliers égaux et qu'en même temps tous ses angles solides sont composés d'un même nombre d'angles plans : il y a aussi égalité entre ces angles solides, puisqu'ils sont formés d'un même nombre d'angles plans égaux.
Les polyèdres réguliers appartiennent soit à la classe des prismes, soit à celle des pyramides, soit à celle des corps à faces planes, dans lesquels les arêtes qui partent d'une face, ne sont ni parallèles, ni concourantes en un seul sommet. ”

“ Il faudrait donc, pour que les corps ne pussent glisser, qu'on les plaçât sur une surface sphérique concentrique à celle de la Terre : il faudrait donc, pour que deux points fussent vraiment de niveau, qu'ils se trouvassent sur une circonférence du globe, ou à la même distance du centre. Mais, comme il nous est impossible de former une pareille surface, de tracer une telle circonférence, nous nous contentons, pour poser les corps de manière qu'ils ne puissent changer de position, de les placer sur un plan horizontal, et nous regar. ”

“ Une boule n'a qu'une seule face, sur laquelle une règle ne peut s'appliquer dans aucun sens, et l'on n'y voit aucune arête, parce que pour former une arête, il faut, ainsi qu'on le sent bien, deux faces qui se rencontrent.
Les objets produits par les arts, comme ceux que présente la nature, sont appelés corps. L'ensemble de leurs faces est souvent nommé surface. Les arêtes sont dites lignes, et leurs extremites , quand elles en ont, comme dans une pièce de bois écarie, portent le nom de points. ”

“ La Géographie ne nous représente avec tant de précision sur les cartes, les positions et les distances de tous les points de la Terre, qu'en s'aidant de deux cercles gradués; les degrés de l'un sont les longitudes, et les degrés de l'autre, les latitudes.
« Enfin, on peut dire que sans l'idée de la graduation du cercle, idée qui, toute simple qu'elle est, a bien tardé à venir aux hommes, les arts, les sciences et par conséquent la civilisation, ne seraient pas à beaucoup près ce que nous les voyons aujourd'hui. » ”

“ Pour comprendre maintenant l'usage qu'on fait d'une projection horizontale, représentez-vous toutes les parallèles projetantes, et supposez que vous en connaissiez les longueurs ; il vous sera facile de voir que, si le corps venait à disparaître, vous en retrouveriez aisément tous les points, en partant de leurs projections particulières sur le plan de niveau, et en vous élevant le long de chacune des parallèles jusqu'à son extrémité : cette extrémité serait précisément
le point cherché, celui qu'occupait l'un des points au corps, avant que ce corps disparût. ”

“ Mais, dans l'intérieur de la Terre, la loi n'est plus la même: la gravité y agit en raison directe des distances au point milieu ; de manière qu'un corps placé à mi-chemin de la surface à ce point, pèse moitié moins qu'il ne peserait ici, et que le corps situé précisément au centre du globe, n'a aucun poids. ”

“ PROBL. (V) : Diviser un angle en un nombre déterminé de parties égales.
Vous décrirez un arc entre les côtés, et du sommet comme centre ; vous diviserez cet arc en autant de parties égales que l'angle doit en avoir, et vous joindrez les points de division au sommet (3i) .
Loi DE LA NATURE (a) : Un grand nombre des corps de la nature ont pour faces planes, des polygones irréguliers; mais d'autres, appelés cristaux, et nombreux aussi, présentent des polygones réguliers, tels que le triangle équilatéral, le carré, et le pentagone. ”

“ Comme, sur un plan, l'ensemble de facettes rectangulaires qui ont deux à deux un côté commun, doit former un rectangle, il est clair que le développement d'une surface cylindrique droite est un rectangle dont la base égale en longueur celle de la surface, et dont la hauteur égale une des génératrices droites. ”

“ Tout corps inanimé dont toutes les parties ont le même mouvement, tend toujours à cheminer en ligne droite : il ne change de direction , il ne tourne même que lorsqu'il y est - forcé par des obstacles ou par des entraves. C'est ainsi qu'une pierre qui tourne d'abord avec la fronde où elle est retenue, s'échappe en ligne droite dès qu'on la rend libre ; elle continuerait même de se mouvoir toujours ainsi, sans son poids qui la force à descendre vers la Terre en suivant une courbe. ”

“ Elle provient de ce que les corps lumineux n'envoient pas seulement des rayons qui concourent à leur centre: tous les points de leur surface versent de la lumière dans toutes les directions; de sorte que la limite de la masse de lumière reçue par un corps éclairé, est en général une surface conique tangente à la fois à ce corps et à celui qui l'éclairé. ”

“ Comme toutes les courbes imaginables peuvent servir à former des surfaces cylindriques, on conçoit qu'il peut exister une infinité de ces surfaces qui diffèrent par la nature de leurs génératrices courbes ; et comme la génératrice droite est susceptible de prendre une infinité de positions différentes, par rapport au plan de la courbe, on comprend qu'une foule de surfaces cylindriques peuvent différer, quoiqu'ayant la même génératrice courbe. ”

“ Donc, l'intersection d'une surface conique et d'un plan parallèle à l'une des génératrices droites, est une courbe ouverte qui s'étend indéfiniment et dont les cordes parallèles augmentent de plus en plus: elle est nommée parabole. ”

“ Cependant, d'après la théorie et l'expérience, le frottement d'un corps sur un autre ne dépend que de la pression occasionnée par le poids : en général, l'étendue, ni la forme des faces frottantes, n'exercent aucune influence ; mais ici ce n'est pas le frottement qui diminue, c'est seulement son effet qui devient moindre et presque nul, à raison de la très-petite distance qui existe entre l'axe de rotation et les points en contact. ”

“ En général, il faut, pour que V intersection des axes de symétrie d'un polygone soit centre de symétrie, que ces axes se coupent d'équerre deux à deux ; car c'est seulement alors que les deux parties de l'un peuvent se superposer exactement, quand on fait tourner sur l'autre, pour opérer un rabattement.
Le centre de symétrie n'est pas toujours centre de figure, comme le montre l'exemple du losange dont les quatre sommets ne peuvent se trouver à la fois sur une circonférence décrite de E (P. VII, F. 37) .
Le centre de figure n'est pas non plus toujours centre de symétrie. ”

“ Une instruction suffisamment étendue , sur le dessin linéaire exact, c'est-à-dire sur le dessin qui s'exécute au moyen de la règle, de l'équerre et du compas, prépare convenablement les étudians à l'art du tracé sur le papier et sur un tableau.
Une autre addition importante, est celle d'un assez grand nombre de mesurages dont le besoin se fait souvent sentir et qu'on ne trouve pourtant dans aucun traité de géométrie : celui du poids d'un corps qui ne peut être pesé, n'est pas le moins nécessaire. ”

“ Une des plus belles applications du cône, c'est la construction des paratonnerres. On appelle ainsi des barres cylindriques de fer placées sur un édifice, terminées en pointe et mises en communication avec la terre, ou mieux avec l'eau, au moyen d'une corde en fils de fer ou de plusieurs verges qui se tiennent. La pointe est un véritable cône d'or ou de platine : comme ces métaux ne se rouillent pas à l'air, le cône ne s'émousse jamais. ”

“ Si dans le premier cas, on considère un polygone quelconque comme première face, comme base du corps, comme la face qui doit servir à former toutes les autres, il arrivera ou que toutes les arêtes partant des sommets de cette face seront parallèles entre elles, ou qu'elles se couperont toutes en un seul point du corps, on qu'elles ne seront ni parallèles, ni concourantes en un point de la surface. ”

“ Si l'on observe qu'une droite est entièrement déterminée, quand on connaît deux de ses points, on verra qu'il suffit de trois points, non en ligne droite, pour former un plan.
Or, deux concourantes fournissent trois points non en ligne droite : celui du concours et deux autres ; deux parallèles sont toujours tracées sur une face plane (p. 66) ; tous les points d'un arc de cercle se trouvent aussi sur un même tableau. Par conséquent, il suffit ; pour déterminer un plan, de deux concourantes ou de deux parallèles ou d'un arc de cercle. ”

“ De toutes les surfaces cylindriques, nous ne considérerons que celles qui ont pour génératrice courbe, la circonférence. Cette espèce est la seule dont s'occupe la géométrie élémentaire, et celle qu'on exécute le plus ordinairement dans les arts ; elle est une des limites des corps qu'on appelle cylindres, parmi lesquels se trouvent les tuyaux de poêles, les gouttières en fer-blanc et en plomb, les rouleaux, les meules, les pistons, etc.
La surface cylindrique est dite droite, quand les génératrices droites sont perpendiculaires au plan de la circonférence ”

“ Une propriété très-utile de la surface cylindrique, propriété qu'elle partage avec plusieurs autres surfaces réglées, c'est de pouvoir être développée, c'est-à-dire étendue sur un plan, après qu'on l'a fendue, selon une génératrice droite. On concevra en effet, si l'on considère une surface cylindrique quelconque comme composée d'une multitude de facettes planes, qu'en faisant tourner ces facettes sur leurs intersections, on peut parvenir à les amener toutes sur un même plan. ”

“ Enfin, si l'on dit que toutes les positions prises par l'axe de rotation de la Terre, pendant la révolution de ce globe autour du Soleil, sont parallèles entre elles , c'est qu'ordinairement on ne fait pas attention au léger balancement de cet axe. Ce balancement qui explique plusieurs phénomènes intéressans, ne produit jamais un angle de plus de 5°, entre la vraie position de l'axe et celle que d'ordinaire on lui suppose ; mais ce faible écartement suffit pour qu'il n'y ait pas un parallélisme rigoureux. ”

“ Mais une portion quelconque d'un cercle dont le rayon est infiniment grand , peut être assimilée à une ligne droite, car la courbure en est insensible, inappréciable, nulle, pour ainsi dire. De plus, tout rayon d'un cercle est perpendiculaire sur la portion de circonférence que, dans le voisinage de son extrémité, on peut considérer, sans erreur sensible, comme une ligne droite. ”

“ L'air qui est un fluide comme l'eau, se meut aussi en cercle, quand il est calme et qu'on le frappe: la preuve, c'est que le bruit ou le son, qui n'est que le résultat d'un choc sur l'air et qui nous est transmis aussi par de petites vagues, a la même force sur tous les points également éloignés de celui où se fait le choc, et qu'il arrive à notre oreille, bien qu'il y ait des obstacles à sa marche entre nous et l'endroit où il est produit. ”

“ Toute droite tracée sur le plan tangent, par le point de contact, est tangente à la surface sphérique et à toutes les circonférences qui contiennent ce point, car elle n'a que ce même point de commun avec ces courbes, comme avec la surface. ”

“ TRAPÈZE : Quand un quadrilatère ABCD a deux de ses côtés parallèles (P. VII, F. 22) , on l'appelle trapèze. Les côtés parallèles AB, CD sont dits les bases du trapèze : AB est la base supérieure, CD est la base inférieure. Une perpendiculaire AG abaissée d'un point quelconque de l'une des bases, sur l'autre, est la hauteur du trapèze.
La droite EF menée parallèlement aux bases d'un trapèze et à la même distance de l'une et de l'autre, est égale à la demi-somme de ces bases. ”