Carré

“ Évidemment, si le côté est double, la surface est double ; si le côté est triple, la surface est triple. Si notre idée du carré était aussi confuse que l’idée d’Infini, ou de Tout, ou de Dieu, un tel raisonnement passerait pour bon. Je pourrais même le fortifier en disant : la cause qui fait que la surface augmente, c’est que le côté augmente ; il ne peut y avoir plus ni moins dans l’effet que dans la cause ; donc le carré de côté double a une surface double. ”

“ D’abord je mesurai, avec le plus grand soin, le carré sis au-dessous des doubles colonnes placées de chaque côté de la porte, et, par cette mensuration, je compris bientôt son admirable symétrie. C’est ce que je vais, ici, expliquer brièvement. Si on élève un carré ABCD et qu’on le divise par trois lignes équidistantes horizontales et par trois autres semblables perpendiculaires, on obtiendra seize carrés ; superposant à ce carré une figure qui n’en soit que la moitié, puis y traçant des divisions égales aux premières, on obtiendra en tout vingt-quatre carrés. ”

“ En géométrie, le carré est une figure plane qui a quatre côtés égaux et quatre angles droits. Pour connaître la surface d'un carré, on n'a qu'à multiplier par lui-même le nombre qui représente la longueur de l'un des côtés du carré. ”

“ « Un carré et deux de ses racines sont égaux à l’unité plus deux parties de racine, » alors cela équivaut à : « Un cube et deux carrés sont égaux à une racine et deux. » Nous déterminerons le côté du cube, comme nous l’avons démontré, au moyen des sections coniques ; et le carré de ce côté sera le carré cherché. — Et de même, si l’on dit (*** [26] ) : « Une racine et deux en nombre et dix parties de racine sont égaux à vingt parties de carré, » cela équivaudra à : « Un cube et deux carrés et dix racines sont égaux à vingt en nombre ; » ”

“ Un carré contient juste ce qu’il faut de cuir pour faire une paire de souliers. On l’appelle aussi tableau, & l’on dit des Cordonniers qui se pourvoient de cette manière, parce qu’ils ne sont pas en état d’acheter des cuirs entiers, qu’ils vont au tableau.
Carré, ée adj. Qui est d’une figure à quatre côtés perpendiculaires l’un à l’autre & égaux entr’eux. ”

“ L’ÉTRANGER Et la nature de l’autre espèce n’est-elle pas, à son tour, considérée, du point de vue de la racine carrée, comme la diagonale du carré de notre racine, puisqu’elle est naturellement de deux fois deux pieds ? ”

“ THÉORÈME III. La condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre entier soit le carré d'un autre nombre entier est que tous ses facteurs premiers aient des exposants pairs.
1° Cette condition est nécessaire ; car, un nombre étant décomposé en facteurs premiers, on forme son carré en doublant les exposants de ses facteurs, qui, par là, deviennent tous pairs. ”

“ L’objet des mathématiques serait-il le possible, alors que le reste des sciences s’occuperait du réel ? C’est encore là une distinction spécieuse. On dit que la droite, le cercle, le carré sont des possibles, que c’est à ce titre qu’ils sont parfaits ; qu’il n’y a dans la nature ni droite, ni cercle, ni carré ; que les figures naturelles sont imparfaites, qu’elles approchent seulement des figures parfaites de la géométrie. Nous aurons plus tard l’occasion de scruter l’opposition logique du possible et du réel, et de montrer, par voie interprétative, ce que cette distinction a de légitime. ”

“ On néglige la justesse des figures, on la suppose, et l’on s’attache à la démonstration. Entre nous, au contraire, il ne sera jamais question de démonstration ; notre plus importante affaire sera de tirer des lignes bien droites, bien justes, bien égales ; de faire un carré parfait, de tracer un cercle bien rond. ”

“ Car toute vérité, si profonde qu'elle soit, est intelligible, et peut s'énoncer au moyen de la parole , qui est le moule et
la représentation du vrai. Je suppose, par exemple, que vous ignoriez les mathématiques, et que j'aie mission de vous les apprendre , voici une vérité de cet ordre que je devrais quelque jour vous présenter : Si l'on construit un carré sur l'hypothénuse d'un triangle rectangle, la surface de ce carré sera égale à la surface des carrés que l'on construirait sur les deux autres côtés du même triangle. ”

“ Le carré a ses côtés parallèles deux à deux et ses diagonales se coupent réciproquement en deux parties égales et à angles droits.
139. Puisqu'un carré a ses côtés parallèles, on peut dire qu'un carré est un parallélogramme, et comme il a ses côtés égaux, il est, en même temps, un losange. On peut encore dire qu'un carré est un rectangle puisqu'il a ses angles droits.
140. On voit par tout ce qui précède que le carré est le polygone le plus régulier de tous; c'est pour cette raison qu'on le prend pour unité de surface. ”

“ Dans certains jeux, comme à la bouillotte, la carre est l'enjeu ; se contre-carrer, c'est doubler l'enjeu proposé par celui qui s'est carré.
CARRÉ ou ORARRÉ (du lat. quadratus) . En Géométrie, c'est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux et les quatre angles droits. La surface du carré a pour mesure le produit de son côté par lui-même ou la deuxième puissance de son côté. — Voy. QUARRATURE.
En Arithmétique et en Algèbre, on appelle carré d'une quantité la deuxième puissance de celle quantité, c.-à-d. le produit obtenu en la multipliant par elle-même. ”

“ Celte forme, qui réunit en elle le triangle et le carré, le 3, chiffre de Dieu, et le 4, chiffre du monde, était l'expression la plus simple et la plus pure de l'idée religieuse, la forme la plus parfaite et la plus sainte que l'esprit humain pût concevoir. ”

“ Pour extraire la racine carrée d'une fraction dont aucun terme n'est un carré parfait, multipliez les deux termes par le dénominateur, puis extrayez la racine carrée de la fraction qui en résulte, d'après la règle donnée pour le second cas, et vous aurez la racine carrée de la fraction proposée à moins d'une partie de l'unité de l'espèce marquée par le dénominateur ; ou, ce qui revient au même, multipliez le numérateur par le dénominateur, extrayez la racine carrée du produit à moins d'une unité, et donnez à cette racine, le dénominateur de la fraction proposée. ”

“ On démontrera facilement que la mesure d’un carré est son aire, au sens élémentaire du mot. De là on déduira que la mesure d’un ensemble quelconque est comprise entre sa mesure extérieure et sa mesure intérieure, mesures qu’on définira comme dans le cas de la droite, les carrés remplaçant les intervalles. ”

“ COROLLAIRE. Le cube d'une fraction irréductible est une fraction irréductible dont les deux termes sont des nombres cubes.
199. Nous ferons ici les mêmes remarques que sur les carrés.
Le cube d'un nombre entier ou fractionnaire est plus grand que le carré (puisqu'on multiplie le carré par un multiplicateur plus grand que l'unité) , et par conséquent plus grand que le nombre lui-même. ”

“ « Un cube et des carrés sont égaux à des côtés et un nombre (** [17] ) . »
Faisons BD (fig. 27) égale au côté d’un carré égal au nombre donné des côtés, et CB égale au nombre donné des carrés. Que CB soit perpendiculaire à BD. Construisons un solide ayant pour base le carré de BD, et égal au nombre donné. ”

“ REMARQUE. Si quelques-uns des facteurs sont des puissances, il suffira, pour les élever au carré, de doubler leurs exposants. Soit, par exemple, à former le carré de a5; a5 étant le produit de 5 facteurs égaux à a, son carré est le produit de 10 facteurs égaux à a, et par conséquent aio.
Théorèmes relatifs aux carrés.
261. THÉORÈME I. Le carré d'un nombre entier ne peut être terminé par aucun des chiffres 2, 3, 7 ou 8. ”

“ La seconde puissance ou le produit de deux facteurs égaux porte le nom spécial de carré, parce que le nombre d'unités de surface contenues dans la figure géométrique nommée carré est égal à la seconde puissance du nombre d'unités de longueur contenues dans le côté de la figure. ”

“ Le carré se divise par le milieu, et une des divisions qui regardent l'Orient se partage de chaque côté en quatre autres moins carrées, qui sont quatre cloîtres bâtis selon l'ordre dorique; et qui en voit un, voit tous les autres. ”

“ Dans tout triangle, le carré d'un côté opposé à un angle aigu est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, diminuée de deux fois le produit de l'un de ces côtés par la projection de l'autre sur le premier.
Pour démontrer ce théorème et le suivant, je regarderai comme connues ces propositions d'arithmétique : 1° Le carré de la somme de deux nombres est égal à la somme des carrés de ces nombres et du double de leur produit :
2° Le carré de la différence de deux nombres est égal à l'excès de la somme de leurs carrés sur le double de leur produit. ”

“ Le côté d'un carré figuré est comme la racine d'un carré numérique; car quand le côté est décuplé, la surface est centuplée, ou cent fois plus grande; et réciproquement, quand le côté est divisé par 10, la surface devient 100 fois plus petite. ”

“ Questions diverses sur les carrés et les racines carrées.
347. 1. Le produit de plusieurs carrés est un carré.
IL Le quotient de deux carrés est un carré.
111. Le produit d'un carré par un nombre qui n'est pas un carré, n'est jamais un carré. ”

“ Si donc tous ces nombres sont espacés de manière à conserver entr'eux la même distance , il est évident que leur ensemble formera un carré (i) A B D C que nous nommerons Table d'Addition. Il n'y aura donc, pour s'en servir, qu'à considérer les deux nombres qu'on se propose d'ajouter , l'un dans la ligne A C , et l'autre dans la ligne A B, et à descendre perpendiculairement à cette dernière jusqu'à la rencontre du nombre placé vis-à-vis de celui considéré dans la ligne A C, et suivant la seconde ligne.
(i) Un carré est une figure de quatre côtés, qui a tous ses angles et ses côtés égaux. ”

“ Remarquons que le carré reste magique si l’on ajoute un même nombre à tous ses nombres ou si on les multiplie par un même nombre.
On a donné dans l’Antiquité une importance symbolique à ces combinaisons qu’on retrouve dans presque tous les talismans.
Les carrés magiques deviennent diaboliques, s’ils sont tels que si on divise le carré en deux rectangles égaux ou inégaux et qu’on échange les deux parties, le carré reste magique.
Exemple :
CHARLES XII Quelques personnes ont voulu faire passer ce prince pour un bon mathématicien ”

“ Carré magique, carré divisé en cases égales, dans lesquelles on écrit les termes d'une progression arithmétique de telle sorte que la somme des nombres placés dans une même bande, soit horizontale, soit verticale, ou ceux qui forment chacune des diagonales, ait toujours la même valeur. ”

“ De là résulte que toute figure pensée, non pas seulement la droite, le cercle ou le carré, mais la forme la plus bizarre, la plus compliquée, ou la plus exactement calquée sur la réalité, ne sera encore qu’un possible non réalisé ; et, réciproquement, toute réalité, si simple qu’on la suppose, sera entièrement différente de l’idéal. ”

“ Dans une progression naturelle partant d'un nombre quelconque, le carré du nombre immédiate- ment supérieur au dernier terme, diminué du carré du premier terme et du nombre des termes donnés, est égal au double de la somme desdits termes. ”

“ Cet éloge est compris dans un carré qui a trente-cinq lettres en tous sens ; et ces lettres, disposées d’après des combinaisons bizarres, forment, selon l’ordre dans lequel on les prend, des phrases françaises, latines et grecques. ”

“ PERSPECTIVE DES LIGNES ET SURFACES COURBES.
T. 20. — Pour obtenir rigoureusement la perspective du cercle, il faut avoir celle du carré qui lui est circonscrit. Soit ABC D, un carré perspectif dans lequel on veut tracer un cercle, construisez géométralement avec AB comme côté le carré AB 1 M, menez les deux diagonales, par leur intersection comme centre, avec un rayon égal à la moitié de AB tracez le cercle. A la rencontre de la courbe avec les diagonales, élevez sur AB des perpendiculaires, et par les points R et S menez des lignes au point de vue. ”

“ TLEMCEN.
1011.
Au droit et au revers, deux carrés, l'un linéaire, l'autre pointillé, et deux carrés linéaires.
Dans les segments de cercle :
Dans le carré :
R.
Dans le carré :
M D. 31mm. P. 4gr 55.
Cf. Soret, Lettre à M. le Conseiller d'étal de Froehn, p. 55, et Stanley Lane Poole, Catalogue of oriental coins, etc., t. V, p. 71.
1012.
Au droit et au revers, deux cercles et deux carrés. Dans les segments de cercle :
Dans te carré :
1^. ”

“ Soit le carré, fig. 25 ; tirez des angles du carré deux diagonales, ouvrez le compas de la moitié d'une des diagonales, mettez la pointe du compas sur un des angles du carré, et décrivez un arc qui doit être un quart de cercle ; faites-en autant à chacun des autres angles ; où les arcs auront coupé les côtés du carré, tirez une ligne droite d'un point à l'autre le plus près; les lignes étant toutes les quatre terminées, l'octogone sera formé. ”

“ Pour comprendre les résultats qu'on obtient, il faut d'abord se rendre compte des suggestions que provoque l'aspect d'un carré: on pense le plus facilement à des lignes passant par le milieu du carré, c'est-à-dire à une ligne verticale, à une ligne horizontale partant toutes deux du milieu d'un côté, et à une diagonale. ”

“ Regardez bien la gravure ou plutôt le plan qui accompagne cet article : c'est lui qui forme la partie la plus importante du jeu. Examinez bien toutes les lignes qui composent cette figure, car elles ont toutes une raison d'être, autant les lignes de grosseur ordinaire que les lignes plus épaisses qui dessinent une croix comprenant 5 carrés, et que les diagonales pleines ou pointillées. Notre carré, notre quadrilatère, comme on l'appelle, dont les dimensions peuvent être absolument quelconques, est partagé en 7 bandes, égales en largeur, par 6 parallèles à ses côtés verticaux. ”