Omar Khayyám

“ Ne serait-on pas également fondé à mettre en doute les découvertes d’Apollonius, d’Archimède, de Diophante, parce que ni les Éléments d’Euclide, ni les « Noces de la philologie et de Mercure » de Marcianus Capella, ne nous font connaître les plus beaux monuments qu’ait laissés la géométrie grecque ?
Non, les mathématiques ne sont pas restées stationnaires en Orient depuis Mohammed Ben Moûçâ jusqu’à Behà Eddîn ; elles ont pris, à une époque intermédiaire, un essor et un développement dignes d’une véritable admiration. ”

“ « Un nombre est égal à un cube (** [7] ) . » Si l’objet du problème est un nombre, le cube sera donc connu ; et il n’y a d’autre moyen pour en trouver le côté, que
la connaissance préalable de la suite des nombres cubes, ce qui va également pour toutes les puissances numériques, telles que carré-carré, quadrato-cube, cubo-cube, ainsi que nous l’avons dit dès l’abord.
Quant à la démonstration géométrique (* [8] ) , nous supposons que le carré AD (fig. 2) soit le carré de l’unité, c’est-à-dire que AB soit égal à BD, et que chacun de ces deux côtés soit supposé égal à l’unité. ”

“ Ce qui rentre dans la catégorie des grandeurs mesurables, c’est d’abord une dimension, à savoir la racine, ou, par rapport à son carré, le côté ; puis deux dimensions : c’est la surface ; et le carré (algébrique) fait partie des grandeurs mesurables, étant la surface carrée. Enfin trois dimensions : c’est le solide ; et le cube se trouve parmi les grandeurs mesurables, étant le solide terminé par six carrés. Or comme il n’y a pas d’autre dimension, il ne peut rentrer dans la catégorie des grandeurs mesurables ni le carré-carré, ni à plus forte raison les degrés supérieurs (* [67] ) . ”

“ « Enfin lorsqu’il est plus grand que le rapport de deux à un, la partie de BK coupée par la perpendiculaire la plus voisine n’est plus juste, parce qu’elle doit représenter le diamètre de la sphère, et que pourtant AB serait plus grande qu’elle ; au contraire, la partie coupée par la perpendiculaire la plus éloignée de B est seule juste à cause de cela ; le segment (qui lui correspond) sera plus petit que la moitié (de la sphère) , et sa flèche plus petite que le rayon (*** [22] ) . » ”

“ Au cas du contact, il n’admet naturellement qu’une seule racine, et ne distingue pas deux racines égales.
Pour compléter sa théorie, Alkhayyâmi aurait dû établir encore des relations entre les coefficients de l’équation proposée, correspondant à cette limite qui est géométriquement représentée par le contact des deux coniques.
C’est ce qu’il ne fait réellement pas. Mais, approchant de ce but, il distingue quelquefois certains cas, et énonce en même temps que dans l’un ou dans l’autre de ces cas le problème est, ou n’est pas, ou possible, ou impossible. ”

“ Alors si les coefficients de l’équation proposée satisfont à ces conditions, la résolution numérique, selon notre auteur, est possible ; dans le cas contraire, elle est impossible.
Vu cette « impossibilité, » la construction géométrique sert, chez l’algébriste arabe, non seulement d’éclaircissement et d’explication, mais de complément nécessaire à la résolution numérique ; et on comprend pour quelles raisons il dit, dès l’abord, que l’objet de l’algèbre est formé autant par le nombre absolu que par les quantités géométriques. ”

“ Une des théories mathématiques dont on a besoin dans la partie des sciences philosophiques connue sous le nom des sciences mathématiques (* [1] ) , c’est l’art de l’algèbre, lequel a pour but la détermination des inconnues, soit numériques, soit géométriques. Il se rencontre dans cette science des problèmes, dépendant de certaines espèces très-difficiles de théorèmes préliminaires, dans la solution desquels ont échoué la plupart de ceux qui s’en sont occupés. ”

“ Le reste est la racine du carré.
Si le problème est arithmétique, deux conditions doivent être remplies ; la première : que le nombre des racines soit pair, de sorte qu’il ait une moitié (entière) ; la seconde : que le carré de la moitié (du nombre) des racines et le nombre, ajoutés ensemble, produisent un nombre carré. Sinon, le problème, considéré comme arithmétique, est impossible (* [2] ) . Géométriquement, cette espèce ne comprend pas de problèmes impossibles du tout.
La démonstration arithmétique est facile, et conforme à la démonstration géométrique. ”

“ Il est vrai que les géomètres grecs ont résolu certains problèmes géométriques qui, ramenés à leur expression algébrique, conduisent à une équation du troisième degré, mais on conviendra sans doute qu’il est très différent de résoudre géométriquement un semblable problème, ou de reconnaître que ce problème dépend d’une équation cubique ; de traiter, entre autres problèmes de géométrie, quelques uns du troisième degré, ou d’énumérer systématiquement les formes des équations cubiques, de les construire une à une, et de discuter les cas particuliers que présentent ces solutions ”

“ Il fut induit dans cette erreur, faute d’avoir reconnu la possibilité du contact ou de l’intersection des deux coniques dans cet autre cas.
L’autre espèce est quadrinôme, à savoir : « Un cube plus un nombre plus des côtés est égal à des carrés (*** [3] ) ; » et certes rien de plus beau que sa solution de ce problème après que tous les géomètres s’étaient épuisés en vains efforts pour l’obtenir. Cependant le problème qu’il résolut était particulier, et l’espèce a différents cas et est sujette à des conditions ; enfin elle renferme des problèmes impossibles. ”

“ Le cube de BL, plus le nombre donné de carrés du même et plus le nombre donné, sera égal au solide dont la hase est le carré de AB et la hauteur BL, lequel est égal au nombre donné de côtés du cube de BL. Mais c’est ce qu’il s’agissait d’obtenir.
Il est évident que cette espèce admet différents cas : quelquefois on trouvera dans les problèmes qui en dépendent deux côtés correspondant à deux cubes, et quelquefois cette espèce, c’est-à-dire les problèmes qui en dépendent, n’auront pas de solution (** [5] ) . ”

“ Je me borne à signaler ces faits, sans vouloir en aucune manière décider si les constructions des équations du second degré qu'on trouve dans l'algèbre d'Alkhayyâmi appartiennent véritablement à celui-ci, ou si elles sont empruntées soit à Aboûl Wafâ, soit à Hipparque.
Mais je me hâte d'arriver à ce qui occupe la partie la plus considérable du traité d'Alkhayyâmi, et à ce qui en concerne le mérite principal : à la construction des équations du troisième degré. On dit quelquefois, et on pense assez généralement, que les Grecs ont construit des équations du troisième degré ”

“ Cela n’est pas tout à fait exact ; il fallait dire : « d’un cube et d’un nombre à des carrés. » Cependant il ne faut voir en ceci qu’un simple lapsus calami, une légère inadvertance, et non pas une erreur ou une incertitude. En effet, en parlant de choses aussi connues que l’étaient le lemme d’Archimède et l’équation d’Almâhâni, et encore en venant d’examiner un mémoire qui s’y rapportait, l’auteur pouvait se dispenser de parler avec cette rigoureuse exactitude qu’on mettrait à énoncer des théorèmes entièrement nouveaux. ”

“ Et de ce que j’ai composé sur les sciences mathématiques, le nombre des ouvrages monte à vingt-cinq : 1o Commentaire et abrégé des éléments de géométrie et d’arithmétique d’Euclide ; 2o Recueil des Éléments de géométrie et d’arithmétique, tiré des traités d’Euclide et d’Apollonius ; dans cet ouvrage, j’ai classé et divisé les éléments et en ai donné des démonstrations fondées sur les mathématiques, le calcul et la logique, de sorte que, quant à l’arrangement des matières, j’ai renversé l’ordre suivi par Euclide et Apollonius ”

“ Alkhayyâmi n’a pas remarqué que, dans l’équation générale du troisième degré, on peut toujours faire disparaître le second terme, ce qui lui aurait épargné l’emploi des systèmes II et III (* [42] ) .
Après avoir esquissé cet exposé général des constructions d’Alkhayyâmî, examinons encore quelques détails de sa méthode.
Observons d’abord qu’Alkhayyâmi, pas plus que Mohammed Ben Moûçâ, ne tient aucun compte des racines négatives, ni, à plus forte raison, des racines imaginaires ; dès qu’un problème n’admet pas des racines réelles et positives, il le déclare « impossible. » ”