Construction géométrique

“ Si le plan fixe est à l'infini, on conclut de ce théorème cette autre propriété singulière des surfaces géométriques : Étant donnée une surface géométrique ; si on lui mène ses plans tangents parallèles à un même plan, leurs points de contact avec la surface auront pour centre des moyennes distances un point fixe, quelle que soit la direction commune des plans tangents. ”

“ L'Analyse a de si beaux et de si immenses avantages sur la Géométrie, en tant d'autres circonstances, qu'on nous permettra d'ajouter ici que, dans cette théorie des surfaces du second degré, elle le cède à la méthode géométrique. Celle-ci y est beaucoup plus rapide et plus féconde que la voie du calcul ”

“ Quelle géométrie pourront-ils construire ? Il est clair d’abord qu’ils n’attribueront à l’espace que deux dimensions ; ce qui jouera pour eux le rôle de la ligne droite, ce sera le plus court chemin d’un point à un autre sur la sphère, c’est-à-dire un arc de grand cercle, en un mot leur géométrie sera la géométrie sphérique. ”

“ Tous les problèmes de géométrie descriptive peuvent se résoudre à l'aide des changements de plans de projection et des mouvements de rotation autour d'un axe perpendiculaire à l'un des plans de projection, ce qui n'est au fond que le même principe. ”

“ Hâtons-nous de dire, cependant, pour éviter toute interprétation inexacte de notre but et de notre sentiment sur les deux méthodes qui se partagent le domaine des sciences mathématiques, que notre admiration pour l'instrument analytique, si puissant de nos jours, est sans bornes, et que nous n'entendons pas lui mettre en parallèle, sur tous les points, la méthode géométrique. ”

“ Pour le cas du plan, c'est, comme on le voit, la même construction que celle de La Hire. Le point S est le pôle, la trace du plan coupant est la formatrice, et sa parallèle est la directrice.
§ 32. Il y a, en général, dans les questions de Géométrie, deux manières d'appliquer les solutions auxquelles la théorie a conduit. La première est de déterminer les points cherchés par des constructions de lignes; la seconde, de les déterminer par des formules qui se réduisent ensuite à des calculs numériques. ”

“ DE LA GÉOMÉTRIE La géométrie est un inventaire des formes, en vue de déterminer des relations de distance et de grandeur entre les objets de l’expérience. Sa loi est de compliquer progressivement les formes en partant des plus simples ; son succès est tel qu’il n’est point de problème géométrique qui ne se puisse résoudre par des triangles égaux ou semblables, le triangle étant la plus simple des figures terminées, comme la droite est la plus simple des lignes, et qu’il n’est point de courbe qui ne s’inscrive toute sur trois axes rectilignes. ”

“ Pour qu'un espace à deux dimensions possède les propriétés géométriques qui nous ont été rendues familières par l'étude de la géométrie élémentaire, il est nécessaire que l'on puisse construire, en un point quelconque de cet espace, une figure congruente à une figure donnée. ”

“ Il ne faut point perdre de vue que, pour qu'une question géométrique tombe dans le domaine propre de la géométrie descriptive, elle doit nécessairement avoir toujours été résolue préalablement par la géométrie spéculative, dont ensuite, comme nous l'avons vu, les solutions ont constamment besoin d'être préparées pour la pratique de manière à suppléer aux constructions en relief par des constructions planes, substitution qui constitue réellement la seule fonction caractéristique de la géométrie descriptive. ”

“ Quand deux surfaces géométriques sont homologiques; si par une droite, prise dans un plan fixe, on mène les plans tangents à la première; qu'on fasse le rapport des distances de chaque point de contact au centre d'homologie et au plan fixe, puis le quotient de ce rapport divisé par la distance du point homologue, dans la seconde surface, au centre d'homologie; la somme de tous ces quotients sera constante, quelle que soit, dans le plan fixe, la droite par laquelle on a mené les plans tangents. ”

“ La Géométrie nouvelle emploie la même chose pour les solides. Une surface à laquelle on donne une hauteur infiniment petite, est l’élément d’un solide, & cet élément se transforme en ce solide même par le calcul intégral. ”

“ La Hire a le mérite très-grand d'avoir, le premier, conçu l'idée de se servir d'une telle déformation de figure comme méthode de Géométrie rationelle, pour transporter directement à une courbe les diverses propriétés d'une autre courbe décrite sur le même plan. ”

“ Il n’en est pas moins important de discuter les principes et les théorèmes fondamentaux de la Géométrie quand on fait abstraction de l’axiome des parallèles. Nous avons aussi exclu de notre étude la question importante de savoir s’il est possible, sans la notion du plan ni de la droite, au seul moyen des points comme éléments et en employant la notion des groupes des déplacements, ou a l’aide de la notion de distance, d’édifier la Géométrie d’une manière logique. ”

“ Lorsqu'on emploie l'analyse à la recherche des propriétés géométriques, on ne fait pas autre chose pour mettre le problème en équation que d'écrire les équations des lignes qui sont les projections sur trois plans des lignes situées dans l'espace. ”

“ DE LA GÉOMÉTRIE. 35
demie de Saint-Pétersbourg ( 1) ; par Carnot, dans sa Géométrie de position (2) ; par J. Français (3) , Poisson (4) , Binet ( 5) et Hachette (6) .
M. Gaultier, ancien élève de l'Ecole Polytechnique et professeur de Géométrie descriptive au Conservatoire des arts et métiers, donna le premier une solution géométrique générale du problème. Le beau travail qui contient cette solution est intitulé : Mémoire sur les moyens généraux de construire graphiquement un cercle déterminé par trois conditions, et une sphère déterminée par quatre conditions. ”

“ Aux démonstrations par l'absurde, il substitua, presque partout, des démonstrations directes qui ont bien plus de prise sur l'esprit. Mais ce qui distingue surtout sa géométrie, c'est le plan même de l'ouvrage et la correspondance aussi parfaite que possible, établie pour la première fois, au grand profit de l'enseignement, entre la géométrie plane et la géométrie de l'espace. ”

“ Cette géométrie est très fragile, des facteurs extérieurs et intérieurs interviennent pour en rompre la régularité. Le milieu, avec la complexité des mouvements contraires qui l'agitent, paraît s'opposer à toute réalisation géométrique durable. Tout objet ou tout être, au cours de son évolution, passe par un stade mou, plus ce stade se prolonge, plus la forme définitive est irrégulière.
Nous sommes amenés à concevoir comme géométriques les formes définies qui traduisent le jeu d'une ou de quelques lois simples, ce sont les polygones, les polyèdres, les courbes régulières. ”

“ Ces trois théories sont maintenant connues de tous les géomètres; nous rappellerons seulement ici les caractères distinctifs qu'elles ont permis de donner aux recherches de la Géométrie moderne, et qui consistent en ce que, dans toutes les relations de segments ou d'angles, la règle des signes s'observe, comme dans les résultats de la Géométrie analytique; et que les imaginaires, qui se présentent toujours par couples, comme dans les racines d'une équation du second degré, n'offrent aucune difficulté dans leur interprétation. ”

“ En effet, qu'une figure plane soit donnée à transformer; on imprimera à son plan un mouvement infiniment petit dans l'espace; les plans normaux aux trajectoires des différents points de la figure envelopperont une surface conique (qui aura son sommet en un point du plan de la figure) 1, et un plan transversal, mené arbitrairement dans l'espace, coupera cette surface conique suivant une figure qui sera une transformée de la proposée. ”

“ On doit remarquer cependant que, si l'équation (1) , outre-les variables x, y, z, renfermait une ou plusieurs indéterminées, cette équation fournirait autant de surfaces différentes que l'on pourrait donner de valeurs aux indéterminées, en sorte que, dans ce cas, le lieu géométrique serait l'assemblage d'une infinité de surfaces ou de couches infiniment minces, qui formeraient alors, à proprement parler, un solide. ”

“ Peut-on voir une rectitude géométrique dans un raisonnement poussé à, l'extrême à travers le monde des idées? Non sans doute, car on n'est pas géomètre par cela seul qu'on tire une ligne droite à travers l'espace. La géométrie, comme son nom l'indique, sert à mesurer la terre; elle la mesure par la loi du triangle, dont l'angle est le principe, et l'angle suppose deux lignes qui se joignent et se servent mutuellement de point de départ. ”

“ C'est une grave erreur qui a eu cours assez longtemps, et trop longtemps pour l'intérêt des services publics, et dont ont gémi les véritables ingénieurs, les seuls qui comprennent bien toute la puissance et toute l'utilité de la géométrie descriptive, géométrie nouvelle qui, depuis MONGE et grâce à lui, doit être reconnue comme étant une véritable science. ”

“ Ainsi, nous pouvons dire que les deux principes de dualité et d'homographie offrent une véritable méthode rationnelle pour appliquer aux figures sphériques les propriétés des figures planes, et, en un mot, pour former la Géométrie de la sphère; et cette partie de la science de l'étendue peut, dès aujourd'h ui, faire de rapides et faciles progrès. ”

“ Dans la géométrie à trois dimensions, je voudrais exprimer la position d’une droite quelconque par où exprimerait la grandeur absolue de la droite, l’angle qu’elle fait avec l’axe des abscisses, et celui que le plan de l’angle fait avec le plan des mais toutes mes tentatives à cet égard ont été jusqu’ici infructueuses. Je désire que quelqu’un plus habile que moi vienne à bout de completter cette lacune. Quoi qu’il en soit, je suis persuadé que le vrai moyen d’étendre notre théorie des imaginaires à la géométrie à trois dimensions réside dans la considération des angles imaginaires. ”

“ Il arrive souvent aussi qu’un certain problème particulier se rattache aux branches les plus diverses de la Science mathématique. C’est ainsi que le Problème des lignes géodésiques joue un rôle des plus importants au point de vue de l’histoire ainsi que des principes, dans les fondements de la Géométrie, dans la théorie des courbes et des surfaces, dans la Mécanique, et enfin dans le Calcul des variations. ”

“ D'après ce qui précède, on voit que lorsqu'on a sur un plan un système de lignes, et que l'on veut découvrir les propriétés géométriques dont ce système plan peut jouir, on doit chercher à construire dans l'espace un système de lignes ayant le système plan pour projection, et chercher parmi tous les systèmes de l'espace constructibles celui qui permettra de découvrir facilement, et le plus facilement, les propriétés du système plan donné ”

“ Les Anciens distinguèrent les lieux géométriques en diverses classes. Ils nommèrent lieux plans la ligne droite et la ligne circulaire, dont la génération a lieu sur un plan; lieux solides les sections coniques, parce que l'on concevait leur génération dans le solide ”

“ Tandis que la géométrie doit finalement renoncer à la plupart des rectifications, quadratures et cubatures, qu'elle eut primitivement en vue, on ne saurait admettre que la mécanique poursuivît des solutions précises dans des problèmes plus compliqués. ”

“ On sait le calcul différentiel lorsque l'on sait différentier toutes les fonctions connues; on a ensuite les applications du calcul différentiel à telles ou telles questions. De même l'élève sait la géométrie descriptive, lorsque tout ce qui dans cette science est relatif au point, à la droite et au plan lui est connu ; le reste n'est plus que l'application des méthodes de la géométrie descriptive à la solution de telles ou telles questions. ”

“ Donc, quelle que soit la transversale menée à travers les plans A, B,
gravité, parce que, pour passer de la première à la seconde, il suffit de supposer que plusieurs points du système se réunissent en un seul. ”

“ La recherche qui suit est un nouvel essai dont le but est d’établir la Géométrie sur un système simple et complet d’axiomes indépendants et de déduire de ceux-ci les principaux théorèmes géométriques, de telle sorte que le rôle des divers groupes d’axiomes et la portée des conclusions que l’on tire des axiomes individuels soient mis en pleine lumière autant qu’il est possible. ”

“ En un mot, tous les phénomènes géométriques quelconques relatifs aux surfaces seront susceptibles d'être traduits par certaines conditions analytiques équivalentes propres aux équations à trois variables, et c'est dans l'établissement et l'interprétation de cette harmonie générale et nécessaire que consistera essentiellement la science de la géométrie analytique à trois dimensions. ”

“ En même temps qu'une étude approfondie de l'état actuel de la Géométrie pure tend à justifier la division systématique que nous avons établie, elle fait voir, par le manque de généralité et de caractère précis d'une foule de théorèmes qui se rattachent aux méthodes que nous venons d'indiquer, que ces méthodes elles-mêmes n'ont point encore l'étendue, la fécondité et le degré de puissance désirables. ”

“ Au contraire, il est toujours possible de généraliser le système primitif des points, droites et plans au moyen d’éléments « idéaux » ou « irrationnels » d’une manière telle que, sur une droite quelconque de la Géométrie ainsi construite, à chaque système de trois nombres réels corresponde sans exception un point. Au moyen d’une convention convenable, on peut également faire que, dans la Géométrie ainsi généralisée, les axiomes I-V soient tous vérifiés. Cette Géométrie généralisée (par l’adjonction des éléments irrationnels) n’est autre que la Géométrie analytique usuelle de l’espace. ”