Nombre imaginaire

“ L’infini des Nombres est un fait prouvé pour votre Esprit, dont aucune preuve ne peut être donnée matériellement. Le Mathématicien vous dira que l’infini des Nombres existe et ne se démontre pas. Dieu, cher pasteur, est un nombre doué de mouvement, qui se sent et ne se démontre pas, vous dira le Croyant. Comme l’Unité, il commence des Nombres avec lesquels il n’a rien de commun. L’existence du Nombre dépend de l’Unité qui, sans être un Nombre, les engendre tous. Dieu, cher pasteur, est une magnifique Unité qui n’a rien de commun avec ses créations, et qui néanmoins les engendre ! ”

“ La loi du nombre, qu’il observe avec une telle aisance qu’on la dirait innée en lui, jaillissant du sol même avec les fûts qui s’élancent, arrêtant leur vol vertical entre le stylobate et l’architrave, les suspendant par le fronton dans une sorte de bercement immobile, la loi du nombre le met sans effort à l’échelle de l’univers matériel et spirituel dont il est le résumé. ”

“ Sans doute, ainsi que l’ont dit les Pythagoriciens, les Nombres se trouvent partout dans le monde où nous vivons, dans le ciel, que nous contemplons, dans la nature, que nous cherchons à interpréter. Le nombre est à l’état d’unité dans chacun des individus que nos sens perçoivent ; il est à l’état de multiplicité dans les collections que les individus peuvent former, soit dans une même espèce, soit dans des espèces différentes. Sans doute encore, il y a dans l’univers, dans le monde, des proportions et des harmonies, comme il y en a dans les sons que calculent les mathématiques. ”

“ Le profond mot Nombre est à la base de la pensée de l’homme ; il est, pour notre intelligence, élément ; il signifie harmonie aussi bien que mathématique. Le nombre se révèle à l’art par le rythme, qui est le battement du cœur de l’infini. Dans le rythme, loi de l’ordre, on sent Dieu. Un vers est nombreux comme une foule ; ses pieds marchent du pas cadencé d’une légion. Sans le nombre, pas de science ; sans le nombre, pas de poésie. ”

“ Dès que notre intelligence commence à démêler quelques perceptions, elle acquiert la notion d’objets distincts et semblables, comme les étoiles sur la voûte céleste, les cailloux sur les plages de la mer, les arbres ou les animaux à travers une campagne. De là l’idée de nombre, la plus simple, la plus vulgaire de toutes les conceptions abstraites, et celle qui contient en germe la plus utile comme la plus parfaite des sciences. ”

“ Les notions qui sont à la base de l’arithmétique et de la géométrie se produisent à l’occasion de l’expérience. Sans le mouvement, nous n’aurions pas l’idée de l’espace et des formes ; sans les objets perçus, nous n’aurions pas l’idée du nombre. ”

“ S’il est un produit de l’imagination, il ne peut être que confus comme l’image même ; s’il est une méthode générale de construction, il ne diffère pas du concept ; dans tous les cas, on ne voit pas comment il peut faciliter la comparaison et le rapprochement du concept et de l’image.
D’autre part, si le nombre est le schème de la grandeur, il semble que le concept que le nombre représente soit le concept d’une grandeur. ”

“ Nous nous en tiendrons à ces quelques mots sur l’arithmétique technique pour nous arrêter un peu devant l’élément fondamental de cette science, le « nombre entier. »
Bien fatalement un mathématicien est amené à réfléchir sur les origines de cette notion et sur sa valeur philosophique. De même l’on imaginerait difficilement un physicien qui n’aurait pas cherché à se faire une idée de ce que le vulgaire nomme la matière, le temps, la force... Les savans-philosophes et les philosophes-scientifiques ont beaucoup écrit sur le nombre entier. ”

“ Les Pythagoriciens, nourris dans l’étude des mathématiques, frappés d’un autre côté par les rapports qui existent entre les nombres et l’harmonie du monde, firent du nombre le principe de tous les êtres. Pour eux le nombre est principe à un double titre ; il est d’abord la matière, l’élément intégrant des objets, il en est encore l’exemplaire, la forme, il est enfin la cause de leurs modifications, de leurs états divers. ”

“ En effet un nombre, c’est ce qui est nombrable ou ce qui est déjà nombre ; dans le cas même où un nombre est seulement quelque chose de nombrable, puisque ce nombrable peut, par définition, être nombre, le nombre n’est pas infini. ”

“ Les notions mathématiques ont dans l’esprit une réalité absolue. De ces idées simples, nous concluons rigoureusement toutes les propriétés du nombre et de la forme, jusqu’aux plus fines et aux plus complexes. ”

“ Dans les nombres, les idées sont et plus précises et plus propres à être distinguées les unes des autres que dans l’étendue, où on ne peut point observer ou mesurer chaque égalité et chaque excès de grandeur aussi aisément que dans les nombres, par la raison que dans l’espace nous ne saurions arriver par la pensée à une certaine petitesse déterminée au delà de laquelle nous ne puissions aller, telle qu’est l’unité dans le nombre. ”

“ Ajoutons que si tout participe nécessairement du nombre, il est nécessaire que beaucoup d’êtres deviennent identiques, et que le même nombre serve à la fois à plusieurs êtres. Les nombres peuvent-ils donc être des causes ? Est-ce le nombre qui détermine l’existence de l’objet, ou bien plutôt la cause est-elle voilée à nos regards ? Le soleil a un certain nombre de mouvements, la lune aussi ; et, comme eux, la vie et le développement de chaque animal. ”

“ On peut multiplier, diviser, élever aux puissances, etc., sans rien apprendre de nouveau sur la nature du nombre. Et pourtant, si l’on tient à penser clairement, on veut savoir ce que c’est que le nombre. ”

“ Si, pour se servir des mots humains, quelque chose qui soit démontrée ici-bas, vous semble infinie, soyez certain d’y entrevoir une des faces de Dieu. Poursuivons. Vous vous êtes approprié une place dans l’infini du Nombre, vous l’avez accommodée à votre taille en créant, si toutefois vous pouvez créer quelque chose, l’arithmétique, base sur laquelle repose tout, même vos sociétés. De même que le Nombre, la seule chose à laquelle ont cru vos soi-disant athées, organise les créations physiques ; de même l’arithmétique, emploi du Nombre, organise le monde moral. ”

“ Le nombre qui se manifeste dans les objets extérieurs et se rapporte à celui qui est en toi est un acte des nombres essentiels ou selon les nombres essentiels, parce qu’en nombrant tu produis un nombre, et que par cet acte tu engendres la quantité, comme en marchant tu engendres le mouvement. ”

“ La science des nombres n’est point une rêverie. Ecoutez plutôt ce que dit saint Jean dans l’Apocalypse (Αποκάλυψις, mot inventé par les Septantes suivant saint Jérôme pour désigner les Révélations de saint Jean) verset 18, nombre ignoble, chapitre 13, nombre fatal:
«Qui habet intellectum computet numerum bestiæ; numerus enim hominis est, et numerus ejus sexcenti sexaginta sex.»—«Que celui qui a de l’intelligence suppute le nombre de la bête, car son nombre est le nombre d’un homme.» ”

“ Car autrement le nombre dans sa latitude, comprenant le rompu, le sourd, le transcendant et tout ce qui se peut prendre entre deux nombres entiers, est proportionnel à la ligne, et il y a là aussi peu de minimum que dans le continu. ”

“ Tous les objets que nous nous représentons comme des substances, étant susceptibles d'être déterminés par l'idée accessoire de nombre, c'est-à-dire d'être nombrés ou comptés, il est clair que tous les substantifs peuvent recevoir l'une ou rautre forme destinée à marquer le nombre des objets qu'ils rappellent. ”

“ Toutes les fois qu’il se représente un nombre comme nombre, il se le représente nécessairement avec une vertu et une valeur mystiques qui appartiennent à ce nombre-là, et à lui seul, en vertu de participations également mystiques. ”

“ Il n'y a donc pas à s'étonner que les esprits préoccupés d'études mathématiques aient éte amenés à attribuer aux nombres une grande importance métaphysique. Dans l'antiquité, surtout en Grèce, où la spéculation subtile s'unissait à l'imagination, dans ce pays de mathématiciens et de poètes, l'idée de nombre a dû obtenir un certain empire dans les écoles philosophiques. ”

“ On trouve toutes les représentations d'un nombre donné quand on connaît tous les idéaux dont la norme est le nombre donné, mais tous ces idéaux ne donnent pas naissance à une représentation du nombre. ”

“ Une réunion de couleurs, un groupement de lignes formant un dessin ne peuvent plaire que si elles sont choisies, ou disposées de façon à émettre des vibrations dont les nombres aient entre eux des rapports simples.
Une chose est donc à poser en principe : le Nombre joue un rôle suprême dans tout ce qui est mouvement ; or le mouvement est la source de toute vie, donc-le Nombre joue dans la vie un rôle essentiel et prépondérant. ”

“ Si le nombre présente des entiers suivis de fractions, comme deux livres, huit sous ; cinq toises, trois pieds, quatre pouces, etc., il s'appelle nombre complexe. Dans le cas contraire, comme deux livres; cinq toises, etc., il est incomplexe.
On dit enfin qu'un nombre est abstrait, lorsqu'il ne désigne aucune espèce d'unités en particulier, comme deux, vingt, mille, etc. Dans le cas contraire, il est concret.
3. La science des nombres s'appelle arithmétique. ”

“ Nos anciens regardaient le nombre treize comme un nombre fatal, ayant remarqué que de treize personnes réunies à la même table, il en meurt une dans l’année ; ce qui n’arrive jamais quand on est quatorze... ”

“ Dans tout système de numération, un nombre entier se compose d'un multiple du plus petit des nombres supérieurs à la base augmenté de la somme des chiffres de rang impair à partir de la droite et le résultat diminué de la somme des chiffres de rang pair. ”

“ Il faut convenir que la tâche de discerner la priorité du nombre ordinal sur le nombre cardinal ou l’inverse, et toutes les spéculations analogues sont bien plutôt du domaine de la philosophie que du domaine de la science. ”

“ Cependant, il est intéressant de connaître les diverses théories qui ont été imaginées pour expliquer par les nombres les mystères de la nature et de l'essence des choses. Le nombre a un attrait inexplicable, il ollre des rencontres singulières et paraît exercer sur la nature une action puissante; il est d'ailleurs, en mettant à part tous les mystères où se plaisent les imaginations superstitieuses, il est la mesure et la règle des phénomènes; toutes les lois physiques se ramènent à des formules numériques; toutes les harmonies des choses s'expriment par des nombres. ”

“ D'après cela : cinq plus sept et 5 +7, par exemple, sont des expressions non vulgaires, l'une verbale, l'autre en chiffres, du même - nombre, dont douze est l'expression vulgaire verbale, et 12 l'expression vulgaire en chiffres.
XIV. Le nombre 1, le premier ou le plus petit de tous les nombres, celui dont tous les autres se composent, est le seul qui n'ait pas d'expression en chiffres, ce qui devait être a cause de sa simplicité ; aussi l'homme qui, le premier, dans les temps les plus reculés, éleva le doigt, dont il est l'image, pour manifester le nombre 1, commença la science des nombres. ”

“ Le 3, simple par lui-même, est le seul nombre qui se compose de simples, et qui fournit un nombre simple en se décomposant : vous ne pouvez composer un autre nombre complexe sans le 3, excepté le 2. Les générations du 3 sont magnifiques, et tiennent à cette puissante unité qui est le premier anneau de la chaîne des nombres, et qui remplit l’univers. ”

“ Tel est le. problème de la continuité. La philosophie mathématique est partagée entre deux solutions. Ou elle considère que le concept mathématique le plus clair, le plus distinct, le plus défini, est le concept du nombre, synthèse de l'unité et de la pluralité ; ou elle admet l'infinie divisibilité de la grandeur. Dans le premier cas la loi du nombre est imposée a priori à l'expérience; les phénomènes ne peuvent être étudiés scientifiquement, déterminés les uns par les autres que s'ils forment des collections susceptibles d'être complètement dénombrées ”

“ Les quantités ne seraient-elles que des qualités différentes, et dix, cent, mille ne représenteraient-ils que ces qualités différentes et non une grandeur continue formée d’égalités réelles ?
En d’autres termes, le nombre est-il réellement le souvenir d’une répétition de sensations identiques, ou est-il le souvenir d’un changement qualitatif ?
La recherche est assez difficultueuse et de nombreux mathématiciens et psychologues, négligeant le fond même du problème, donnent une origine logique et rationnelle à la quantité. ”

“ Si l’on a plusieurs représentations du nombre par la forme qui appartiennent à la même valeur de l’expression , en supposant toujours les valeurs de premières entre elles, on en déduira plusieurs transformations propres de la forme ... ”

“ C’est seulement par la vertu des nombres que l’immensité se découvre. Ô nombres qui dites l’infini, qui faites parcourir les espaces..., qui chiffrez les vitesses des lumières aux foyers déjà morts tandis qu’elles nous éclairent encore ayant consommé des ans dans leur course... ”

“ Ce qui nous arrive ici se présente toujours quand on éclaircit une notion d'abord obscure. Quand on a su que raisonner sur les nombres imaginaires, c'était raisonner sur des couples de nombres réels, l'emploi des imaginaires était devenu à la fois sans obscurité et sans nécessité. Du moins du point de vue logique ; mais pratiquement, on avait les plus gros avantages à faire usage des imaginaires dont l'emploi était devenu à la fois légitime et avantageux.
( 2) Il ne va s'agir que des raisonnements applicables à un nombre transfini quelconque ”

“ Je ne tire mes preuves ni de l'Algèbre ni des Elemens de Geometrie. Je pose pour unique fondement la nature du Nombre, & de ce seul principe en allant de confé- quences en conséquences, naturelles & immédiatement tirées les unes des autres, on voit naître tout ce que j'établis. ”

“ De son amour du jeu , où tout est réglé par la mystérieuse loi du nombre , il avait gardé une tendresse particulière pour la statistique et , comme les bonnes gens qui font , seuls , sur un coin de leurs tables désœuvrées , des patiences compliquées , il consacrait volontiers ses loisirs à aligner des chiffres classant , par nature , des êtres et des choses . ”