Forme quadratique

“ Une dernière classe importante d'applications du calcul aux différences finies, qui mérite d'être distinguée de la précédente, consiste dans l'usage éminemment utile qu'on en fait, en géométrie, pour déterminer par approximation la longueur et l'aire de quelque courbe que ce soit, et, de même, la quadrature et la cubature d'un corps ayant une forme quelconque. ”

“ On a démontré récemment que le problème de la quadrature du cercle est impossible avec la règle et le compas. Ce n’est pas seulement parce que est incommensurable, puisqu’on sait construire rigoureusement certains nombres incommensurables. ”

“ On prendra pour tous les nombres tant positifs que négatifs qui ne sont pas plus grands que , et dont est résidu quadratique ; et pour chaque valeur de , en prendra successivement égal à toutes les valeurs de l’expression , qui ne sont pas , en les prenant tant positiveraient que négativement. ”

“ Tout nombre qui, pris positivement, est résidu ou non-résidu de aura, pour résidu ou non-résidu, ou selon que sera de la forme ou
Comme presque tout ce qu’on peut dire sur les résidus quadratiques est une suite de ce théorème, la dénomination du théorème fondamental dont nous nous servirons dorénavant, ne sera pas déplacée.
Pour exposer nos raisonnemens de la manière la plus courte, nous désignerons par , , , etc. les nombres premiers de la forme , par , , , etc. les nombres premiers de la forme , par , , , etc. les nombres quelconques de la forme , par , , , etc. ”

“ Si l’on fait attention à la manière particulière dont se trouve déterminé le point dont il s’agit, relativement aux côtés et diagonales du quadrilatère il sera permis d’en déduire la conséquence générale qui suit :
THÉORÈME VIII. Quatre points étant pris à volonté sur un plan, il existe un autre point, et un seul point, tel qu’en le joignant par des droites avec les milieux des six distances qui séparent les quatre premiers deux à deux, l’angle formé par deux quelconques de ces droites est égal à celui des deux distances qui leur correspondent, ou en est le supplément. ”

“ La théorie des formes quadratiques est la plus importante partie de Disquisitiones arithmeticœ de Gauss : elle commence avec les énoncés célèbres de Fermat, elle se poursuit, pendant un siècle et demi de travaux isolés, avec les découvertes d'Euler, de Lagrange, de Legendre, celles de Gauss lui-même, pour arriver à cette profonde unité qu'on admire dans son Ouvrage. Mais ces illustres géomètres, en n'ayant en vue et pour but de leurs efforts que les propriétés des nombres entiers, tendaient, à leur insu, vers un autre objet. ”

“ Dans un monde conforme à la géométrie euclidienne, la quadrature du cercle demeure impossible, même théoriquement. Dans l’univers réel où nous passons, c’est un problème tout résolu à la fois par la théorie et par la pratique. ”

“ I. Quelque rapide que puisse être un procédé approximatif, ce procédé doit être jugé imparfait, s’il ne renferme pas en soi quelque moyen d’apprécier l’erreur à laquelle son usage peut exposer. Or, telle serait la méthode des quadratures, développées dans le précédent mémoire, si on ne lui faisait pas subir une légère modification. Cette modification consiste à substituer successivement aux trapèzes des rectangles inscrits et des rectangles circonscrits. ”

“ En voici un exemple : on a démontré seulement en 1882 l’impossibilité de la quadrature du cercle, c’est-à-dire l’impossibilité de construire par la règle et le compas un carré équivalent à un cercle donné ; supposons qu’avant cette démonstration, en 1880, quelqu’un ait dit : « Je définis un nombre comme il suit : si la quadrature du cercle est possible, il est égal à un ; si elle est impossible, il est égal à deux ». ”

“ QUADRATURE, s. f. terme de Géométrie ; maniere de quarrer ou de réduire une figure en un quarré, ou de trouver un quarré égal à une figure proposée.
Ainsi la quadrature d’un cercle, d’une parabole, d’une ellipse, d’un triangle, ou autre figure semblable, consiste à faire un quarré égal en surface à l’une ou à l’autre de ces figures. Voyez Cercle. &c.
La quadrature des figures rectilignes est du ressort de la Géométrie élémentaire ; il ne s’agit que de trouver leurs airs ou superficie, & de la transformer en un parallelogramme rectangle. ”

“ On sait que l’intégration de toute formule entre des limites données, et par exemple, revient à quarrer l’aire mixtiligne terminée d’une part par la courbe dont l’équation serait d’une autre par l’axe des , et enfin par les ordonnées de cette courbe répondant respectivement aux abscisses et C’est même de là que ce problème a été appelé problème des quadratures, et c’est sous ce point de vue que nous l’envisagerons constamment, dans tout ce qui va suivre. ”

“ Le carré E sera donc égal au nombre donné et connu et son côté sera pareillement connu, vu la démonstration donnée par Euclide. Mais c’est ce qu’il s’agissait d’obtenir.
Toutes les fois que nous dirons dans ce Traité : « un nombre est égal à un rectangle », nous entendrons par le nombre un quadrilatère à angles droits, dont l’un des côtés est l’unité, et le second une ligne égale en mesure au nombre donné, en sorte que chacune des parties de sa mesure soit égale au second côté, c’est-à-dire à celui qui a été pris pour unité.
Troisième espèce. « Un nombre est égal à un cube (** [94] ) . » ”

“ Remarquons, en terminant, que, dans le cas où il n’y a que trois corps et où ils se meuvent dans un plan, nos équations canoniques (3) peuvent être ramenées à n’avoir plus qu’un seul degré de liberté ; on peut donc les intégrer par de simples quadratures. ”

“ Le quadratin est régulier dans son épaisseur ; deux chiffres ensemble font celle d’un quadratin. Il y a en outre des demi-quadratins de l’épaisseur d’un chiffre pour la plus grande commodité de l’art. ”

“ Il suit de là en même temps, que les nombres , , , etc. qui sont tous différens entre eux, et des nombres , , , etc., et qui, joints à ces derniers, épuisent les nombres sont tous les non-résidus quadratiques positifs de et plus petits que lui. Si l’on suppose maintenant que l’équation dont , sont racines, soit
on a
,——
or (no 345) ,
et peut parconséquent être mis sous la forme
Pour déterminer les coefficiens , , , observons : 1o. qu’on a puisque le nombre des périodes de est ; 2o. que (no 350) , puisque est une fonction invariable des sommes et qui composent la période plus grande ; 3o. ”

“ À la vérité, cette manière de concevoir la représentation des lignes par des équations dans la géométrie analytique à trois dimensions, engendre, par sa nature, un inconvénient nécessaire, celui d'une certaine confusion analytique, consistant en ce que la même ligne peut se trouver ainsi exprimée, avec un même système de coordonnées, par une infinité de couples d'équations différens, vu l'infinité de couples de surfaces qui peuvent la former, ce qui peut présenter quelques difficultés pour reconnaître cette ligne à travers tous les déguisemens algébriques dont elle est susceptible. ”

“ En quelque grand nombre de parties égales que le quadrant soit subdivisé, il peut se faire que l'arc décrit du sommet de l'angle qu'on veut mesurer, et intercepté entre ses côtés, ne contienne pas un nombre exact de ces parties. ”

“ Le principe qui sert de base à la première méthode est le théorème suivant lequel tout nombre positif ou négatif qui est résidu quadratique d’un autre nombre , est aussi résidu de tout diviseur de . On sait que si n’est divisible par aucun nombre premier plus petit que , est certainement un nombre premier ; donc si tous les nombres premiers au-dessous de cette limite, qui divisent sont , , etc., le nombre sera composé des seuls nombres etc. ou de leurs puissances, ou bien il renfermera un seul facteur premier plus grand que , qui se trouve en divisant par , etc. ”

“ Ainsi qu'il serait ridicule de se récrier, parce que le cercle n'est pas quadrangulaire, parce que le carré n'est pas triangulaire, parce que le triangle n'est ni circulaire, ni quadrangulaire, il serait ridicule de se récrier, parce que la liberté n'est pas l'exclusive faculté de faire, le bien. ”

“ Quadrature Arithmétique est, qui exprime la grandeur de la figure proposée par un rang infini de nombres rationaux ou commensurables à une grandeur donnée, ce qui suffit pour l’Arithmetique lorsqu’on ne le sçauroit faire par un nombre rationel fini, car l’arithmetique ne connoist les nombres irrationaux qu’autant qu’elle les peut exprimer par les rationels soit finis soit infinis. ”

“ Démonstration. En effet, dans les deux quadrilatères les angles en sont égaux comme droits ; de plus, il est aisé de voir que les angles et du premier sont les supplémens respectifs des angles et du second ; donc leurs angles et sont aussi supplément l’un de l’autre ; ce qui prouve que le quadrilatère déjà circonscrit à un cercle, est inscriptible à un autre cercle.
THÉORÈME XII. Dans tout quadrilatère à la fois inscrit à un cercle et circonscrit à un autre, les centres des deux cercles et le point de concours des diagonales appartiennent tous trois à une même ligne droite. ”

“ THÉORÈME. Si tant de quadrilatères qu’on voudra, inscrits à un même cercle, ont un côté commun, les droites qui, dans ces quadrilatères, joindront l’intersection des diagonales et le point de concours des côtés adjacens au côté commun iront toutes concourir en un même point de la perpendiculaire sur le milieu de ce côté commun. ”

“ QUADRATEUR Au XVIIIe siècle, le chevalier de Caussans, prétendit avoir résolu la quadrature du cercle et déposa mille écus chez un notaire pour celui qui prouverait la fausseté de sa solution. Une dame fit la preuve et actionna Caussans devant le Châtelet. Les juges indulgents déclarèrent le pari nul et le quadrateur mourut dans l’impénitence finale.
« Ceux qui ne savent pas de mathématiques, dit La Caille, n’ont que trop souvent le malheur de trouver la quadrature exacte du cercle refusée aux autres. » ”

“ Le principal objet est de donner des règles pour le développement d'une fonction de x en une série ordonnée par rapport aux puissances croissantes de x, de façon à permettre aux mathématiciens d'effectuer la quadrature de toute courbe dans laquelle l'ordonnée
y peut-être exprimée comme une fonction algébrique explicite de l'abscisse x. ”

“ Plus on supposera grands les nombres s et n, plus les ordonnées décroîtront rapidement en s'éloignant du maximum. Ainsi l'aire Z' ne pourra être qu'une petite portion du rectangle M x 1, de sorte qu'on aura Z' = , k. étant une fraction assez petite.
Au reste , la méthode des quadratures pourra , dans tous les cas , donner la valeur de Z' avec un degré d'approximation aussi grand qu'on voudra, et auquel les formules analytiques connues ne sauraient atteindre. ”

“ Lorsqu’on se sera assuré que est une différentielle exacte, les équations (3) et (4) offriront le moyen le plus simple pour remonter à son intégrale par les quadratures seulement. Mais il nous reste à démontrer présentement que toute fonction différentielle qui satisfait identiquement aux dernières équations (3) et (4) est nécessairement par là même une différentielle exacte.
Premièrement, soit une fonction quelconque de
assujettie à la seule condition de satisfaire à l’équation
(7) dans laquelle est une quantité constante quelconque. ”

“ Voilà donc conséquemment les quatre points en ligne droite avec le point c’est-à-dire que, dans les deux parallélogrammes et les diagonales qui ne sont point tracées doivent se confondre en une seule ligne droite qui passe par le point cette droite doit donc passer par les milieux des deux autres diagonales et des mêmes parallélogrammes, lesquelles sont aussi les deux diagonales du quadrilatère circonscrit au cercle donc la droite qui joint les milieux des deux diagonales de ce quadrilatère contient le centre du cercle inscrit [1] . ”

“ Posons avec les notations de l'auteur :
et désignons par F ( n) le nombre des classes de formes quadratiques de déterminant - n dont un au moi ns des coefficients extrêmes est impair, avec la convention d'écrire F (n) — au lieu de F (n) , lorsque n est un carré. Les théorèmes dont, je vais m'occuper consistent dans les relations suivantes:
(1) Ueber quadratische Formen von negativer Determinante, p. 223.
qui révèlent une liaison étroite entre la théorie arithmétique des formes quadratiques et la théorie analytique des transcendantes elliptiques. ”

“ Les équations quadratiques affectées sont celles qui renferment quelque puissance intermédiaire du nombre inconnu, outre la plus haute puissance de ce nombre, & le nombre absolu donné ; telle que l’équation . ”

“ Démonstration. En effet, le quadrilatère étant inscrit au cercle les deux angles sont égaux comme inscrits au même arc. Les deux angles sont aussi égaux, comme formés par une même corde et les tangentes à ses deux extrémités. Donc les deux triangles et sont équiangles ; d’où il suit que mais on a comme opposés au sommet ; donc, donc la droite divise en deux parties égales l’angle et on prouvera, d’une manière semblable, que la droite divise en deux parties égales l’angle donc les deux droites et qui divisent en deux parties égales les angles adjacens et sont perpendiculaires l’une à l’autre. ”

“ Une des équations quadratiques extérieures du système différentiel donné sera donc de la forme
[ (w2 - mw1) • C) ^] = 0.
Par suite si les SI familles de caractéristiques sont distinctes et sont données par les équations W2 — m^1 — 0 (i = 1,2, • • - sl) ,les équations quadratiques du système pourront être mises sous a forme (1)
(7)
Ces équations mettent en évidence un fait très intéressant. Lorsqu'on se donne pour déterminer une variété intégrale ordinaire une solution à une dimension caractéristique, le problème est en général impossible. ”