Charles Hermite

“ Nous avons vu de nos jours une voie toute différente ouverte par Riemann, fondée sur les principes propres au grand géomètre pour résoudre le problème de l'inversion des intégrales de fonctions algébriques quelconques, pour obtenir aussi l'expression générale des fonctions d'un nombre quelconque de variables, à un nombre double de périodes simultanées, et Weierstrass poursuivre par d'admirables travaux la marche en avant dans ces questions les plus élevées et les plus difficiles de l'Analyse. ”

“ XV. Les diverses déterminations d'un radical portant sur un polynome Ont été longtemps considérées comme des fonctions distinctes ayant chacune le caractère de fonction uniforme, et cette manière de voir a été étendue aux racines des équations algébriques dont les coefficients contiennent une variable, lors même qu'on ne peut la résoudre par radicaux. C'est à Puiseux que revient le mérite d'avoir montré que ces quantités sont d'une autre nature analytique, et donné l'idée précise du mode d'existence des fonctions non uniformes. ”

“ La théorie des formes quadratiques est la plus importante partie de Disquisitiones arithmeticœ de Gauss : elle commence avec les énoncés célèbres de Fermat, elle se poursuit, pendant un siècle et demi de travaux isolés, avec les découvertes d'Euler, de Lagrange, de Legendre, celles de Gauss lui-même, pour arriver à cette profonde unité qu'on admire dans son Ouvrage. Mais ces illustres géomètres, en n'ayant en vue et pour but de leurs efforts que les propriétés des nombres entiers, tendaient, à leur insu, vers un autre objet. ”

“ Je m'étendrais trop en voulant encore passer en revue les Mémoires Sur l'évanouissement des fonctions 0, Sur les surfaces d'aire minima pour un contour donné, Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique; il serait trop long de faire ressortir la grandeur et la beauté des découvertes, d'en montrer la portée, de parler des nombreux travaux auquels elles ont donné lieu. Je ne ferai que mentionner en quelques mots l'admirable Travail Sur les hypothèses qui servent de fondement à la Géométrie. ”

“ La Mécanique céleste a été aussi l'objet de Mémoires nombreux et célèbres. Cauchy parvient, en employant le Calcul des résidus, à une nouvelle forme de développement en série pour la fonction perturbatrice, qui présente ces propriétés caractéristiques bien dignes d'attention. Chacun des termes séculaires indépendants des anomalies s'exprime sous une forme finie, par une fonction des éléments des orbites, simplement algébrique à l'égard des grands axes et des excentricités. ”

“ Riemann aborde la considération de l'espace ou d'une multiplicité à un nombre quelconque de dimensions, il en établit le caractère essentiel consistant en ce que la position d'un point dépend de ce même nombre de variables, et il étudie les mesures dont cet espace est susceptible. C'est tout un monde inconnu, intéressant à la fois le philosophe et le géomètre, que s'ouvre avec une extraordinaire puissance d'abstraction le merveilleux inventeur. ”

“ Puis,
une éclatante découverte : la solution, au moyen des fonctions θ généralisées, du problème général de l'inversion de ces intégrales, problème résolu seulement dans des cas particuliers, et au prix des plus grands efforts, par Göpel et Rosenhain, pour les intégrales hyperelliptiques de première classe, et par Weierstrass, pour les intégrales hyperelliptiques d'ordre quelconque. Jamais, dans aucune publication mathématique, le don de l'invention n'était apparu avec plus de puissance, jamais on n'avait admiré autant de belles conquêtes dans les plus difficiles questions de l'Analyse. ”

“ M. Kronecker établit qu'à chaque classe de forme quadratique correspond un module singulier qui permet la multiplication complexe; à l'ensemble des classes de même déterminant, une équation algébrique à coefficients rationnels dont il parvient à démontrer l'irréductibilité, et à la distribution en genres, une décomposition en facteurs s'obtenant par l'adjonction des racines carrées des diviseurs premiers du déterminant, qui donnent les caractères des genres. ”

“ Mais, dans l'œuvre si étendue de Cauchy, une part principale doit être donnée à l'idée fondamentale d'étendre la notion première de l'intégrale définie, en faisant passer la variable, d'une limite à l'autre, par une succession de valeurs imaginaires, par un chemin arbitraire.
La Science n'a point d'exemple d'une conception plus féconde :
elle a été la source des plus belles découvertes de son auteur; elle est entrée dans les éléments et son usage est continuel en Analyse. ”

“ NOTICE SUR M. WEIERSTRASS.
Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 124, 1897, p. 430-433.
Le savant illustre, dont l'Académie déplore la perte, partage avec Riemann et Cauchy la gloire d'avoir découvert des principes fondamentaux qui ont engagé l'Analyse dans des voies nouvelles et sont devenus l'origine des grands progrès de cette science à notre époque. Le monde mathématique réunit dans le même sentiment d'admiration ces génies créateurs dont la trace restera à jamais dans la Science. ”

“ Mais c'est peut-être à l'égard des mathématiques que le fait intellectuel de l'invention semble plus mystérieux, car la série de ces transitions, où l'on reconnaîtrait la voie réellement suivie dans la recherche, le plus souvent n'apparaît pas d'une manière sensible dans la démonstration. Cette facilité d'isoler ainsi la preuve et d'ajouter à la concision du raisonnement, sans rien lui ôter de sa rigueur et de sa clarté, explique toute la difficulté de l'analyse des méthodes en mathématiques. ”

“ M. Appell a ouvert un champ nouveau dans la théorie des fonctions d'une variable, en donnant l'origine d'une catégorie de transcendantes, douées de propriétés extrêmement remarquables, dont il a fait une étude approfondie et qui sont appelées à jouer un grand rôle. C'est, à notre époque, un des plus importants résultats de l'Analyse que ces découvertes de nouvelles fonctions auxquelles s'attachent les noms illustres d'Abel et de Jacobi, de Gopel, de Rosenhaim, de Weierstrass et Riemann. M. Appell s'est surtout inspiré de Riemann ”

“ Les anciens et les nouveaux Exercices de Mathématiques, l'Analyse algébrique, le Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, etc., sont le témoignage de sa prodigieuse activité scientifique et de la fécondité de son génie. Il faut renoncer à énumérer tant de travaux, à faire l'appréciation de tant de découvertes, à dire leur rôle dans la Science et leur influence sur ses progrès. ”

“ On avait reconnu que la classe d'une courbe s'abaisse lorsqu'elle a des points multiples et qu'alors des points d'inflexion disparaissent, mais ces résultats si intéressants restaient dans le domaine de la géométrie. Riemann joint la Géométrie à l'Analyse, en leur donnant une notion nouvelle et féconde, celle des substitutions où les coordonnées s'expriment en fonctions rationnelles de deux variables, ces variables étant aussi des fonctions rationnelles des coordonnées. Tantôt on a égard à l'équation de la courbe, on les nomme alors substitutions
birationnelles ”

“ Ces résultats ont levé des difficultés dont l'histoire de la Science conserve la trace, et qui ont longtemps arrêté les géomètres; ils ont ouvert la voie à la théorie générale des fonctions, l'œuvre analytique importante de notre temps. A cette œuvre Cauchy a donné la première impulsion ; ceux qui la poursui vent aujourd'hui sont ses continuateurs ; les découvertes mémorables de Riemann
et de M. Weierstrass dans cette voie, le théorème célèbre de M. Mittag-Leffler ont été préparés par les travaux du grand géomètre français. ”

“ Ce beau Mémoire qui a jeté la plus vive lumière sur des questions capitales en Analyse, n'est point le seul que la Science doive au savant géomètre. Puiseux a publié d'intéressantes recherches sur les développées et les développantes des courbes planes, sur le théorème de Gauss concernant le produit des deux rayons de courbure en chaque point d'une surface, sur le mouvement d'un solide de révolution posé sur un plan horizontal, etc. ”

“ L'Analyse, en étendant son domaine, aplanit la voie souvent si laborieuse, si pénible à suivre, des premiers inventeurs; ses principes gagnent en puissance et deviennent d'un accès plus facile, les méthodes prennent une complète rigueur, et Cauchy a la plus grande part à ces importants progrès. Parmi tant d'exemples, je citerai, dans la théorie du mouvement des planètes, la détermination de la valeur limite que ne doit pas dépasser l'excentricité, pour que l'anomalie excentrique et le rayon vecteur soient développables en séries convergentes. ”

“ Dans un autre travail, ayant pour objet les équations différentielles algébriques du premier ordre, où la variable ne figure pas explicitement, Briot et Bouquet ont donné un nouvel exemple de l'importance des singularités, en faisant voir qu'on en tire les conditions pour que l'intégrale soit une fonction uniforme. Ces beaux et savants Mémoires, qui ont paru dans le Journal de l'École Polytechnique, contribuaient puissamment'au progrès de la Science. ”

“ C'est Riemann qui a reconnu le rôle important des points multiples, et révélé par ses profondes découvertes une correspondance imprévue et du plus haut intérêt entre la Géométrie et les théories abstraites de l'Algèbre et du Calcul intégral. De nombreuses recherches se sont produites dans la voie ouverte par le grand analyste, pour approfondir et élucider beaucoup de points difficiles; mais la part la plus considérable dans les progrès accomplis appartient au Mémoire de notre Confrère. On y remarque, avec le génie de l'invention. ”

“ Elle l'a conduit à la résolution, au moyen d'intégrales définies, des équations algébriques et transcendantes, et à la découverte admirable d'une méthode analogue à celle du théorème de Sturm, pour obtenir le nombre des racines imaginaires d'une équation algébrique dans un contour. Elle donne l'explication des valeurs multiples du logarithme, de l'arc sinus, des intégrales des fonctions rationnelles et algébriques; elle conduit à considérer la valeur d'une fonction en * un point comme pouvant dépendre du chemin suivi pour parvenir à ce point. ”

“ Ce sont ces résultats que je me propose de démontrer par une méthode élémentaire et purement algébrique qui donne également les relations antérieurement connues entre les nombres de Bernoulli, d'une manière simple et facile comme on va voir.
Je rappelle d'abord que les quantités Bl5 B2, sont définies par l'identité
où il importe de remarquer que, à l'exception du terme constant, le second membre ne contient que des puissances de degré impair.
On le reconnaît immédiatement au moyen de l'expression
dont le développement renferme uniquement des puissances paires de la variable. ”

“ Elle a donné naissance au Calcul des résidus que le grand géomètre applique à la détermination des intégrales définies, à l'intégration des équations linéaires et des systèmes d'équations linéaires à coefficients constants, à l'intégration des équations aux différences partielles, en satisfaisant aux conditions imposées dans les problèmes de Physique mathématique et, en Astronomie, au développement de la fonction perturbatrice. ”

“ L'Algèbre a aussi une part considérable dans l'activité scientifique de notre Confrère; je citerai les travaux sur les déterminants gauches, l'élimination, la généralisation des propriétés de ces déterminants particuliers sur lesquels se fonde la transformation des fonctions abéliennes de premier ordre, l'interpolation, les fonctions de Sturm.
Brioschi a été le collaborateur de Sylvester et de Cayley dans la longue élaboration de la théorie des formes à deux ou un nombre quelconque d'indéterminées qui a été l'une des œuvres mathématiques principales de notre temps. ”

“ Les géomètres contemporains s'inspirent dans leurs travaux de ses conceptions, ils en révèlent chaque jour par leurs découvertes l'importance et la fécondité. L'illustre géomètre a ouvert dans l'Analyse comme une ère nouvelle qui porte l'empreinte de son génie. Elle s'ouvre avec un vif éclat par la dissertation inaugurale si célèbre qui porte pour titre : Principes fondamentaux pour la Théorie générale des fonctions d'une grandeur variable complexe. Riemann a été, dans cet ordre de recherches, le continuateur de Cauchy ”

“ La théorie mathématique de l'électricité statique est peut-être le Chapitre le plus parfait de la Physique mathématique, et, nous venons de le voir, c'est à Poisson que revient la gloire d'en avoir posé les principes, et par conséquent ouvert la voie aux géomètres illustres qui ont porté cette théorie au plus haut point de perfection. ”

“ J'ai essayé de traiter la question en employant le théorème de Cauchy dont je rappelle l'énoncé.
Soit f (z) = o une équation ayant pour premier membre une fonction holomorphe quelconque ; si l'on pose f (x-hiy) = P -+- iQ, l'excès du nombre de fois que le rapport 9 passe du positif au négatif, sur le nombre de fois qu'il passe du négatif au positif en devenant infini, lorsque la variable z = x-\-iy décrit dans le sens direct un contour fermé, est égal au double du nombre des racines contenues à l'intérieur de contour. ”

“ Celte circonstance se remarque aussi dans la théorie des intégrales eulériennes dont Weierstrass a, le premier, fait connaître la véritable nature, qui était restée inconnue après les grands travaux de Legendre, en démontrant que l'intégrale de seconde espèce est l'inverse d'une fonction holomorphe. De nombreuses méthodes permettent maintenant d'établir cette importante proposition dont la découverte a été comme le prélude des recherches de notre Confrère sur la théorie générale des fonctions uniformes. ”