Thomas Jan Stieltjes

“ Mais, voilà ! sans faire le moindre effort pour réaliser ce que je voyais en rêve, j'ai quitté ce sujet pour essayer de retrouver une déduction simple de la formule (due à M. Kummer) qui donne le développement de logf (x) en série de Fourier obtenue autrefois. Pour le moment, les choses difficiles, ou qui me paraissent telles, m'effraient et je me rends bien compte que j'ai l'humeur un peu capricieuse, même pour les choses de la vie ordinaire. ”

“ Vous voyez qu'on ne peut pas s'approcher de la coupure, et
mon objection est mal fondée, par cela même. Sans doute, pour votre série, le domaine de convergence est de forme similaire et ainsi s'explique mon erreur. Mais vous voyez bien en même temps que ces séries, quoique de formes assez simples, ne sont en réalité pas aussi simples si l'on fait attention à la forme bizarre du domaine de convergence. Il est peut-être bon d'appeler l'attention sur cette forme singulière du domaine de convergence. ”

“ Quant à cette question difficile des racines de Pn (k, κ) = 0 qui sont à peu près
sur laquelle j'ai réfléchi depuis bien des années déjà, le seul moyen que je dois essayer encore est le suivant. Ces racines sont des fonctions algébriques de k, et satisfont par conséquent à une équation différentielle linéaire que M. Tannery nous a appris à former dans sa Thèse. Peut-être pourra-t-on tirer quelque chose de cette équation différentielle qu'il faudra obtenir d'abord. Mais
pour le moment je ne travaille qu'Arithmétique et je dois porter là tous mes efforts. ”

“ Mais vous puisez à une source plus féconde en obtenant les. résultats comme conséquences de votre formule générale pour la transformation en fraction continue d'une série quelconque qui est, ainsi que vous l'avez montré, d'une importance fondamentale en Analyse. Mais, pendant que vous travaillez avec succès et avec bonheur, je reste inerte et stérile, je ne fais rien que rêvasser le plus souvent avec tristesse, et ce n'est que rarement et distraitement que j'entrevois, sans y songer sérieusement, quelque calcul. ”

“ Vous avez remarqué qu'en posant
la variable x repasse une infinité de fois par les mêmes valeurs lorsque z prend toutes les valeurs possibles, mais cette circonstance, loin d'être un obstacle, est tout à fait dans la nature des choses et tient à la non uniformité de la fonction
en sorte que vous avez résolu la question non seulement pour l'équation Q (x) = o telle que je l'ai considérée [Q (x) étant devenue uniforme à l'aide d'une coupure] , mais en même temps pour toutes les branches de la fonction qui sont de la forme Q (#) -T- kTzi P (#) , k étant un entier. ”

“ M. Hurwitz a remarqué comme moi (et avant moi) que le théorème de M. Klein sur les racines de F (a, b, c, x) = o s'obtient aisément à l'aide de la méthode de Sturm. Son travail est à l'impression, et j'attendrai donc pour voir s'il s'est occupé aussi des racines imaginaires. C'est à l'aide de la méthode de M. Klein ellemême que je crois voir comment il faudra préciser cette question des racines imaginaires. Mais je suis bien convaincu que tout ce qu'on pourra obtenir sera accessible aussi par la méthode qui consiste à calculer le nombre des racines à l'aide de la variation de l'argument. ”

“ Je ne puis vous dire au juste quand je serai revenu de Lorraine, où je vais passer les vacances, sans aller à Barèges, dont je ne me suis pas bien trouvé l'année dernière. Vous savez que le monde scientifique allonge tant qu'il peut ce temps bienheureux des vacances, et c'est à peine si l'on commence à rentrer au commencement d'octobre. L'Académie est déjà délaissée, je ne vois
plus M. Brown-Séquard, et il serait maintenant impossible de procéder à l'élection d'Appell, en remplacement de M. Bonnet, le nombre des votants étant bien au-dessous de la limite réglementaire. ”

“ Pour f (x) = Xli, b = 1, a = ξ, c'est votre troisième formule.
Les deux autres sont comprises dans la formule de Boole
en prenant b = 1, a = puis f (x) = xu ou f (x) = nxn-t.
Naturellement, vous avez démontré par votre analyse ces formules d'Euler et de Boole, en tant qu'elles s'appliquent aux polynomes. Car pour cela il suffit de les établir dans le cas de f (x) = xn, à cause qu'elles sont linéaires en y et ses dérivées.
Mais ces remarques vous les avez peut-être déjà faites aussi. Tout doucement, je travaille un peu; ce sont toujours les calculs à faire qui m'effrayent le plus. ”

“ Faisons une coupure de la partie négative de l'axe des abscisses, l'intégrale devient une fonction uniforme holomorphe de g, comme le second membre ; le théorème de Riemann prouve donc que l'égalité, démontrée seulement pour g réel et positif, a lieu dans tout le plan, moins la coupure. ”

“ Ainsi, par exemple, la série
est évidemment convergente pour toute valeur de x, mais la fonction f (x) peut croître au delà de toute limite, elle fait des oscillations qui finissent par devenir infiniment grandes.
C'est tout autre chose de démontrer la convergence d'une série, que d'étudier la marche de la fonction représentée par cette série. ”

“ C'est là la généralisation de la formule (6') de mon Mémoire (k = ;) , mais vous voyez qu'il faut supposer k < 1, sans cela l'intégrale n'aurait pas de sens. Cependant le développement en série (A) n'est pas assujetti à cette restriction. C'est pour cela que j'ai déduit cette formule d'une façon toute différente, mais qu'il serait trop long à expliquer. On rencontre souvent de pareils faits et je ne sais pas encore si l'on ne pourrait pas remédier à cette difficulté inhérente à l'emploi d'intégrales définies. ”

“ G = xa+b+c+2S1
je suppose a et b fixes, et je cherche la série indéfinie des polynomes C de degrés 0, 1, 2,
Courage et bon espoir, mon cher ami ; le soleil reviendra; vous sortirez, vous retrouverez vos forces en vous promenant et votre bon génie vous murmurera à l'oreille de nouvelles découvertes. En vous envoyant encore tous mes vœux et l'assurance de ma bien sincère et cordiale-affection. ”

“ On conclut facilement de ce résultat que, dans le cas où f (x) est une fonction à variation limitée dans l'intervalle (— I, + 1) ,
reste constamment inférieur à un nombre fixe.
Je n'ai pas encore entrepris l'application de la relation algébrique entre f ( e) et f + e) aux développements suivant les puissances de ξ. En effet, je dois pour cela chercher d'abord une transformée aussi simple que possible de l'équation modulaire pour n = 5. La relation que vous m'avez communiquée comme obtenue par le P. Joubert s'est montrée inexacte. ”

“ Je vous réclamerai aussi l'expression sous forme de fraction continue de la série de Stirling que vous ne m'avez pas communiquée; je suis curieux de voir si en conquérant la convergence pour toute valeur de la variable, une impitoyable, une inéluctable fatalité ne vous l'a point livrée inutile, insuffisante et comme mourante. C'est dans le Cours de la Sorbonne de Serret, Calcul différentiel et intégral, que sera reproduite mon ancienne Note de Lacroix, où elle sera mieux à sa place. ”

“ J'en ai été extrêmement content, mais sans avoir aucunement mérité la satisfaction que j'ai éprouvée, et sans avoir l'ombre d'un droit à des remercîments de votre part. Ils doivent s'adresser à d'autres, à ceux qui, d'un mouvement unanime et sans aucune délibération, vous ont, à l'unanimité, décerné pour l'ensemble de vos travaux mathématiques le prix Petit-Dormoy, en mettant votre nom à la suite des noms honorés d'Halphen, d'Appell et de Goursat. ”

“ Soit donc S = I, on aura les relations
les degrés des polynomes qui y figurent étant
on à bien obtenu l'ordre d'approximation maximum et c'est le même calcul qui donne à la fois l'approximation de la fonction linéaire unique A+A'S'+A"S"
et l'approximation simultanée de S' et S" par des fractions rationnelles de même dénominateur.
Les théorèmes de Smith sur les systèmes linéaires à coefficients entiers m'intéressent beaucoup, et je me réjouis de lire l'article que vous donnerez aux Annales sur ce sujet. ”

“ Il serait trop long de vous conter comment, par exemple, je suis conduit à étudier toutes les approximations maxima d'une fonction par la série entière des fractions dont le dénominateur est de degré fixe, les degrés des numérateurs prenant toutes les valeurs possibles, en cherchant des lois de récurrence pour les obtenir. ”

“ C'est avec grand plaisir que je vois un de vos élèves, M. Bourget, s'engager, sous votre impulsion, dans la question extrêmement intéressante de l'évaluation approchée de l'intégrale F (κ, y) dκ dy, relative à l'aire intérieure du cercl e x2-sr 1'2 = 1. Le même sujet a été traité par M. Appell dans un article intitulé : « Sur une classe de polynomes à deux variables et le calcul approché des intégrales doubles », que j'ai seulement parcouru des yeux sans l'étudier à fond, mais les limites sont supposées constantes, ce qui change extrêmement le point de vue ”

“ MON CHER AMI, Vos théorèmes sur les fractions continues algébriques constituent toute une théorie d'analyse extrêmement intéressante et dont vous aurez découvert les principes essentiels : c'est un grand et important travail qui s'ajoute à d'autres que vous avez entrepris et que vous conduirez à bonne fin. Mais vous ne vous étonnerez point que j'aie quelque peine à vous suivre, ne voyant que vos résultats, sauf cependant ceux de votre dernière lettre du 12, qui sont d'une nature plus élémentaire et que vous m'avez exposés plus explicitement. ”

“ Soit f (z) une fonction holomorphe dans tout le plan, et supposons qu'on sache que f (r cosφ H- ri sinφ) , (cp constant, r variant de 0 à ∞) tend vers zéro pour toutes les valeurs de φ exceptant certaines valeurs particulières, alors on a nécessairement f (z) =0.
Je ne sais pas si la démonstration de cette proposition (à supposer qu'elle soit vraie) présente de grandes difficultés. J'avoue que cette méthode ne plaît pas beaucoup et je n'ai guère cherché à arriver au but de cette manière. ”

“ Si elle est remplie pour toutes les racines, la multiplication du produit des facteurs réels par les facteurs qui correspondent aux racines imaginaires conjuguées, donnera un polynome homogène en x — a et b — x dont tous les coefficients seront encore de même signe. ”

“ Seulement une remarque, il me paraît que l'équation
n'admet la racine x = 0 seulement dans le cas n pair, Rn ( x) renfermant dans ce cas seulement les puissances impaires de x.
Dans ce que j'ai rédigé sur la puissance asymptotique de PIl (X) je considère, au lieu de QlI (X) , une seconde intégrale Sn (x) qui est réelle dans l'intervalle (— 1, +1)
Elle admet n + 1 racines réelles dans cet intervalle et entre deux racines de Su se trouve une racine de Pn, conformément à un théorème général de Sturm sur les solutions d'une équation différentielle du second ordre. ”

“ Ensuite, cela va de soi, j'ai envisagé la réduction continuelle de cette forme quadratique lorsqu'on fait varier les paramètres. Mais quel abime entre ce que j'ai fait et ce que j'aurais voulu faire. La réduction n'est point un procédé facile ni commode et il n'a rien moins fallu que le talent et l'opiniâtreté de M. Charve pour en faire application dans quelques cas particuliers, et cependant il serait si utile et même absolument indispensable de pouvoir faire de nombreuses applications, pour s'éclairer et se diriger, j'ajouterai pour s'inspirer puisqu'il s'agit d'Arithmétique. ”

“ Je réfléchirai sur ce que vous m'écrivez sur la transformation; je me suis embarqué dans une grosse affaire avec mon article sur la Théorie des nombres, et à cet égard permettez-moi quelques remarques d'un caractère très élémentaire et qui ont besoin de
toute votre indulgence.
Pour montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers, il faut faire voir que l'expression (1) 2a.3P.5T.A (α, β,Υ, ., À = 0, 1, 2, .,∞)
ne peut pas représenter tous les nombres entiers. Or, cela résulte de ce que la somme
a une valeur finie tandis qu'on sait que la somme
a une valeur infinie. ”

“ Si une fonction f (x) sans pôles et uniforme admet k racines à l'intérieur d'un contour C, l'argument de f (x) croit de ikn si x décrit le contour C et réciproquement. Il faut donc avoir une certaine connaissance des valeurs que prend f (x) sur le contour et en savoir assez pour voir combien de fois le point qui représente
f (x) tourne autour de l'origine. Or, le théorème de Cauchy peut-être considéré comme indiquant précisément le minimum de ce qu'on doit savoir sur la marche de f (x) pour en pouvoir conclure le nombre k des révolutions autour de l'origine. ”

“ J'ai appris avec regret que la joie que vous a dû causer le mariage de votre petite-fille n'a pas été sans mélange et que M. Bertrand a perdu sa fille à la suite d'une méningite. C'est une bien terrible maladie et la guérison est presque autant à craindre qu'une issue fatale. Une de mes connaissances a un fils de douze ou treize ans qui, à la suite d'une méningite, est resté complètement sans raison ; c'est à peine s'il sait dire quelques mots et se servir de ses mains. ”

“ Nous savons donc que la série
est convergente pour toute valeur x = a > o.
Mais je dis alors qu'elle est aussi convergente et même absolument convergente pour x — a + bi.
En effet cela devient évident si l'on remarque que I Q+ &0 I > comme cela résulte de
Q2n (x) = c (x+x1) . (x+xn) .
La proposition que les racines de Q,,, (x) = 0, = o.
sont réelles et négatives résulte facilement des relations de récurrence. De la même façon, on voit que Q tend vers une limite déterminée tant que la partie réelle de x est positive. ”