Convergence (mathématiques)

“ Mais alors il n’y a plus des problèmes résolus et d’autres qui ne le sont pas ; il y a seulement des problèmes plus ou moins résolus, selon qu’ils le sont par une série de convergence plus ou moins rapide, ou régie par une loi plus ou moins harmonieuse. Il arrive toutefois qu’une solution imparfaite nous achemine vers une solution meilleure. Quelquefois, la série est de convergence si lente que le calcul est impraticable et qu’on a seulement réussi à démontrer la possibilité du problème. ”

“ DÉFINITION On appelle progression géométrique une suite de nombres tels, que chaque terme est égal à celui qui le précède multiplié par un nombre constant qui est la raison de la progression.
La progression est croissante ou décroissante, suivant que la raison est plus grande ou plus petite que l'unité. ”

“ Lorsqu'on descend de là aux différences qui doivent seules intervenir dans les équations de l'équilibre et du mouvement, on voit qu'on ne peut pas les obtenir par la simple variation de la somme par rapport à un plan quelconque. ”

“ Soit une équation différentielle entre deux variables, et que nous désignerons par et soit son intégrale complète, renfermant et et une constante arbitraire les solutions particulières de l’équation représenteront, comme l’on sait, les diverses enveloppes des lignes, en nombre infini, représentées par l’équation générale et que nous supposons rapportées à deux axes rectangulaires. ”

“ Si alors on remplace dans les et les par les expressions (22) , peut se développer suivant les puissances de de et de et ce développement, dont les coefficients sont des fonctions de et de reste convergent pour toutes les valeurs de et de Les rayons de convergence tant par rapport à qu’aux et aux sont des fonctions continues de et de qui ne s’annulent pour aucune valeur réelle de ces variables. ”

“ On peut tirer des équations (2′′) les sous la forme suivante
Plusieurs termes pourront d’ailleurs correspondre aux mêmes exposants et est un entier positif. Si l’on compare avec les séries tirées de (2′) qui s’écrivent
voici ce qu’on observe : 1o est réel positif et plus grand que 2o désigne le produit des diviseurs (5) dont le nombre est au plus égal à
Si donc la série (4′′) converge et si aucun des diviseurs (5) n’est plus petit que la série (4′) convergera également. Voici donc comment on peut énoncer la condition de convergence. ”

“ Elles expriment que l’équation (1) appartient à une surface de révolution. L’équation (22) devient, en vertu des équations (26)
Il nous resterait à examiner ce qui arrive dans ces résultats, lorsque un, deux ou trois rectangles des coordonnées manquent dans l’équation (1) ; mais nous renvoyons, pour cet objet, à notre mémoire qui traite de ces mêmes équations (page 144 ; du 2.e volume des Annales de Mathématiques.) ”

“ Par M. Frégier, professeur de mathématiques au collège
de Troye, ancien élève de l’école polytechnique.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈ THÉORÈME. « Toute puissance d’un nombre quelconque est égale à la somme des termes d’une progression par différences ; dont le premier terme est dont le nombre des termes est et dont la raison est égale à la somme des termes de la progression géométrique »
Démonstration. Désignons par la somme des termes de la progression arithmétique dont il s’agit, et par la raison de cette progression ”

“ Or, bien que les mathématiques nous enseignent qu'une progression peut se rapprocher indéfiniment de zéro sans jamais l'atteindre, cependant si un tel phénomène est réel il apporte une singulière confirmation à notre thèse. ”

“ Lorsqu’une fonction dérivée est donnée par une série de fonctions dérivées non négatives, on peut prendre les fonctions primitives terme à terme à condition de choisir les constantes de manière que la série obtenue soit convergente. ”

“ Il est clair que a doit être supposé positif pour que les intégrales aient un sens; cette condition admise, la convergence est démontrée comme conséquence de la formule du binome pour toutes les valeurs positives de x. Vous voyez qu'en faisant a = 1 afin d'obtenir log Γ (1 + x) , le calcul des coefficients se fait bien aisément et par de simples soustractions avec une table de logarithmes. ”

“ Chaque problème régulier du Calcul des variations ne possède-t-il pas une solution, pourvu que certaines hypothèses soient vérifiées, relativement aux conditions limitatives données, relativement, par exemple, à la continuité et à la possibilité de différentier, plus ou moins de fois successives, les fonctions dont il s’agit, et pourvu nécessairement aussi que la notion de solution soit convenablement généralisée [51] ? ”

“ Mais nous devons surtout, au point de vue des calculs pratiques, nous préoccuper d'une autre espèce de difficulté qui se présente bien plus souvent et qui consiste dans la divergence des séries. Quand les termes vont en croissant, il est évidemment impossible que leur somme converge vers une quantité finie ; c'est
ce qui arrive, par exemple, dans les progressions géométriques dont la raison est plus grande que l'unité. ”

“ C’est cette méthode de soumettre partout l’infini au calcul algébrique, que l’on appelle calcul différentiel ou des fluxions et calcul intégral. C’est l’art de nombrer et de mesurer avec exactitude ce dont on ne peut pas même concevoir l’existence.
En effet, ne croiriez-vous pas qu’on veut se moquer de vous, quand on vous dit qu’il y a des lignes infiniment grandes qui forment un angle infiniment petit ?
Qu’une droite qui est droite tant qu’elle est finie, changeant infiniment peu de direction, devient courbe infinie : qu’une courbe peut devenir infiniment moins courbe ? ”

“ Une série dont les coefficients ne tendent pas vers zéro peut avoir des points de convergence dans tout intervalle; on en trouvera des exemples dans le dernier paragraphe du Mémoire de Riemann, le plus simple est celui de la série Σsinn! ”

“ Chacune de ces courbes correspond à une quantité de plaisir P déterminée par la forme de la fonction F.
On voit donc (fig. 13) qu’en chaque point il y a une ligne de force ou de préférence normale à la courbe d’indifférence passant par ce point, suivant laquelle on peut dire, d’une façon elliptique, que l’individu a le plus grand intérêt à essayer de se déplacer, tandis qu’il lui importe peu de se mouvoir ou non perpendiculairement à cette direction, le long d’une ligne d’indifférence. Les mêmes considérations sont évidemment applicables au second individu. ”

“ I. Exposé d’une nouvelle méthode. Le problème qui nous occupe peut être énoncé ainsi :
PROBLÈME. Connaissant les deux ordonnées extrêmes d’un arc de courbe, ainsi que plusieurs ordonnées intermédiaires distantes ; exprimer, en fonction de ces ordonnées, et de l’intervalle commun qui les sépare, l’aire mixtiligne comprise entre les ordonnées extrêmes, la courbe et l’axe des ?
La solution de ce problème sera aussi celle du problème de l’intégration des fonctions d’une seule variable, entre des limites, données ; puisque intégrer c’est quarrer la courbe qui a pour équation
Solution. ”

“ Ici nous faisons des multiplications proprement dites, et la progression croissante géométrique est sensiblement analogue à la progression croissante arithmétique. Il sera tout aussi facile de se convaincre que la progression géométrique décroissante s'engendre par une division, comme la progression arithmétique décroissante s'engendre par une soustraction. ”

“ La différentielle de cette dernière équation est d’ailleurs, en considérant à la fois comme variables, et comme constans,
(6) Suivant donc la théorie des enveloppes (exposée à la page 361 du III.me volume de ce recueil) , l’équation de la courbe demandée sera le résultat de l’élimination de entre les quatre équations (I, II, III, IV) et leurs différentielles ; c’est-à-dire, entre les huit équations (I, II, III, IV, 4, 5, 6) . À la vérité, elles ne sont qu’en nombre égal à celui des quantités à éliminer ”

“ Dans une progression géométrique, la somme de tous les termes est égale au produit du plus grand terme par le quotient, moins le plus petit terme, le tout divisé par le quotient diminué d'une unité.
La progression peut être croissante ou décroissante. ”

“ Tout ce que nous venons de dire renferme le développement et la preuve des principes suivans : la réflexion sur les surfaces concaves sphériques rend convergens les rayons qui étoient parallèles avant leur incidence ; elle augmente la convergence de ceux qui convergeoient déjà ; et quant à ceux qui divergeoient, elle peut, suivant les circonstances, les rendre convergens, ou parallèles, ou même divergens, quoique toujours moins que les rayons incidens. ”

“ Prenez un polynôme quelconque de la forme
étant un nombre entier positif, moindre d’une unité que le nombre qui exprime le degré de l’équation demandée. Multipliez ce polynôme par moins ou plus une quantité réelle et connue ; et égalez le produit à zéro. Le problème sera résolu ; car, en premier lieu, l’équation ainsi formée est nécessairement du degré qui, par hypothèse, est le degré prescrit ; et, en second lieu, l’une des deux quantités ou est évidemment racine de cette équation.
10. Corollaire. Il y a, dans tous les degrés, une infinité d’équations qui ont au moins une racine réelle. ”

“ Dans la nouvelle Géométrie, il y a le calcul différentiel, & le calcul intégral. Calculus differentialis, calculus integralis. Le calcul différentiel, est la méthode de différentier les quantités ou grandeurs ; c’est-à-dire, la méthode de trouver une quantité infiniment petite, qui prise une infinité de fois, égale une quantité ou grandeur donnée. Ce que nous appelons différences, les Anglois l’appellent fluxions. Le calcul intégral, est la manière de former les différences, c’est-à-dire, la somme ou la grandeur égale à une infiniment petite donnée, prise une infinité de fois. ”

“ Il sut comprendre cependant que la théorie des grandeurs discontinues, ou arithmétique supérieure, était tout autre que celle des grandeurs continues, ou algèbre, et il introduisit une nouvelle notation et de nouvelles méthodes d'analyse, dont les auteurs qui le suivirent ont généralement fait usage. La théorie des nombres peut se diviser en deux parties principales, à savoir : la théorie des congruences et la théorie des formes. L'une et l'autre
furent étudiées par Gauss. ”

“ Restent les équations (9) et (1 1) . Pour trouver la limite de convergence définie par l'équation (9) , remarquons que α, α', m et üJ' sont des données de la question et sont réelles, mais que e et e' qui sont nos variables indépendantes pourront prendre des valeurs imaginaires.
ImagInaIres.
Donnons à e une série de valeurs de module constant | e |, mais
d'argument variable ”

“ Et de là est née la méthode des limites dans laquelle on regarde le rapport des différences infiniment petites comme la limite du rapport des différences finies, et les équations différentielles comme les limites des équations aux différences finies.
Je ne disconviens pas qu'on ne puisse, de cette manière, démontrer la légitimité des résultats du Calcul différentiel; mais, quoique cette
marche paraisse directe et naturelle, le passage du fini à l'infini exige toujours une espèce de saut, plus ou moins forcé, qui rompt la loi de continuité et change la forme des fonctions. ”

“ III. — Les singularités des fonctions non absolument continues. Des deux propriétés indiquées pour l’intégrale indéfinie fonction d’une variable : être à variation bornée et être absolument continue, la première est contenue dans la seconde ; en effet, pour une fonction à variation non bornée, il est possible de choisir (p. 57) un système dénombrable d’intervalles non empiétants et tels que la série correspondante soit divergente ; or une telle série, d’après la définition même de l’absolue continuité (p. 158) , est toujours convergente pour une fonction absolument continue. ”

“ Nous supposerons en général que la raison a de la progression géométrique est plus grande que l'unité; de cette manière les termes de la progression géométrique vont en augmentant et deviennent plus grands que toute quantité donnée ”

“ Soit fait, pour abréger ; et, pour fixer les idées, imaginons que l’on ait divisé l’intervalle en douze parties égales ; désignons par les abscisses qui répondent aux treize points de divisions ; au moyen de l’équation nous pourrons calculer les ordonnées qui leur correspondent ; représentons-les respectivement par nous connaîtrons ainsi treize points de la courbe qu’il s’agit de quarrer entre les limites et pour lesquelles on a respectivement
3. ”

“ Ayant ainsi démontré que 5 (x) est une fonction analytique avec l'infini pour seul point singulier, je m'arrête un moment aux séries divergentes à termes positifs 2wv, qu'on transforme en séries convergentes en élevant ces termes à une même puissance. Supposant comme le demande la règle de Gauss l'expression rationnelle
admettons que a'—a soit positif et non supérieur à l'unité. ”

“ Tout d'abord, quand une fonction est la somme d'une série uniformément convergente de fonctions dérivées, c'est une fonction dérivée dont nous savons trouver les fonctions primitives. Voici une application théorique importante.
Soit une fonction continue f (x) définie dans (a, b) . Marquons les points x0 = a, x1, x2,. . ., xn = b pris assez rapprochés pour que, dans (xi, xi+1) , l'oscillation de f soit inférieure à c.
Dans la courbe y = f (x) inscrivons la ligne polygonale y = φ (x) dont les sommets ont pour abscisses x0, x1,, . . . , xn, f (x) et cp (x) diffèrent de moins de ε. ”

“ Choisissons des nombres , , ..., qui tendent vers zéro en décroissant. Les points en lesquels l’oscillation est supérieure à sans être supérieure à sont en nombre fini ; faisons varier , nous voyons qu’une fonction à variation bornée a au plus une infinité dénombrable de points de discontinuité. ”

“ Lorsque, dans les séries convergentes que cette analyse fournit, on donne aux quantités qui désignent les dimensions, une valeur infinie ; chacun des termes devient infiniment petit, et la somme de la série n'est autre chose qu'une intégrale. ”