Charles Briot

“ Puisqu'on peut mettre ainsi un nombre entier ou un nombre fractionnaire sous forme de fraction, on a étendu la dénomination de fraction aux nombres en général. Lorsque le numérateur de la fraction est plus petit que le dénominateur, la fraction représente une quantité plus petite que l'unité; c'est une fraction proprement dite. Quand le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction représente une quantité plus grande que l'unité; elle tient la place d'un nombre entier ou fractionnaire. Enfin, quand le numérateur est égal au dénominateur, la fraction désigne l'unité elle-même. ”

“ Mais si le nombre proposé n'est divisible que par lui-même et par l'unité, il sera impossible de le décomposer en un produit de facteurs plus petits que lui ; de pareils nombres s'appellent nombres premiers. Ainsi : un nombre premier est un nombre qui n'admet aucun diviseur autre que lui-même et l'unité. Le nombre 7, n'étant divisible que par 1 et 7, est premier.
Il est clair qu'un nombre non premier peut être considéré comme un produit de facteurs premiers ; car on pourra toujours pousser la décomposition en facteurs, jusqu'à ce qu'on arrive à des facteurs tous premiers. ”

“ Il est facile de comprendre maintenant les avantages du système métrique : 1° les unités principales, destinées à la mesure des différentes espèces de grandeurs, dérivent toutes du mètre d'une manière simple, et le mètre lui-même est lié à la grandeur du globe terrestre; 2° l'échelle des unités qui se rapportent à une même espèce de grandeur est en harmonie avec notre système de numération ; de sorte qu'une grandeur quelconque s'exprime par un nombre décimal, et que les opérations à faire sur les quantités s'effectuent avec une grande rapidité. ”

“ Ainsi la mesure des grandeurs s'opérerait avec plus de facilité dans le système duodécimal; il y aurait beaucoup plus de chances d'arriver à une expression simple et exacte de la grandeur.
Les hommes ont adopté la numération décimale dès les premiers siècles, sans doute à cause des dix doigts de leurs mains; ils comptaient d'abord sur leurs doigts; arrivés au nombre dix, afin d'aller plus loin, ils ont été obligés de considérer la dizaine comme une unité nouvelle, pour recommencer à compter sur les doigts, de manière à former une nouvelle dizaine et prolonger ainsi la série des nombres. ”

“ Les trois opérations directes sont : l'addition, la multiplication et l'élévation aux puissances; l'opération fondamentale est l'addition ; la multiplication est l'addition de plusieurs nombres égaux ; la puissance est le produit de plusieurs facteurs égaux. Les trois opérations inverses sont : la soustraction, la division et l'extraction des racines ; la soustraction est l'opération inverse de l'addition ; la division est l'opération inverse de la multiplication ; l'extraction des racines est l'opération inverse de l'élévation aux puissances. ”

“ Lorsque le dividende ne contient pas exactement le diviseur, si du dividende on retranche le produit du diviseur par le quotient, on a un reste plus petit que le diviseur. Car, si le reste était plus grand que le diviseur, le dividende contiendrait au moins une fois encore le diviseur, ce qui est impossible, puisque nous avons retranché du dividende le plus grand nombre de fois que le diviseur y est contenu. ”

“ DÉFINITION On appelle progression géométrique une suite de nombres tels, que chaque terme est égal à celui qui le précède multiplié par un nombre constant qui est la raison de la progression.
La progression est croissante ou décroissante, suivant que la raison est plus grande ou plus petite que l'unité. ”

“ TROUVER LE LOGARITHME D'UNE FRACTION. En nous reportant aux deux progressions par lesquelles nous avons défini les logarithmes vulgaires, puisque la progression géométrique commence à l'unité et va en croissant, nous voyons que tous les nombres plus grands que l'unité ont des logarithmes, mais que les nombres plus petits que l'unité n'en ont pas. ”

“ Si donc on fait le produit de tous les termes des deux progressions considérés comme autant de facteurs, on aura autant de facteurs, égaux chacun au produit des extrêmes, qu'il y a de termes dans la progression ; le produit final sera donc la neuvième puissance du produit des extrêmes. Mais, puisqu'on a pris chaque terme deux fois comme facteur, ce produit est égal au carré du produit des termes de la progression proposée; on aura donc le produit demandé, en extrayan la racine carrée du résultat. ”

“ En un mot la fraction décimale périodique a pour limite
Le raisonnement que nous venons de faire s'applique évidemment à une fraction périodique simple quelconque. Nous transportons la virgule après la première période, en multipliant par une puissance de 10 marquée par le nombre des chiffres de la période ; nous retranchons du produit la fraction elle-même, ce
qui nous donne une différence égale à la fraction multipliée par un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres à la période. ”

“ Le plus petit diviseur d'un nombre est 1, le plus grand est ce nombre lui-même.
Les nombres qui divisent à la fois plusieurs nombres donnés sont les communs diviseurs de ces nombres. Parmi les communs diviseurs de plusieurs nombres, il en est un qu'il importe de considérer d'une manière spéciale, c'est le plus grand : on l'appelle plus grand commun diviseur. La recherche du plus grand commun diviseur a une grande importance en arithmétique. ”

“ THÉORÈME IV. Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
Considérons la proportion a b : : c : d; les deux nombres a et d, placés aux extrémités, s'appellent extrêmes; les deux au-
très b et c, placés au milieu, s'appellent moyens. Nous pouvons transformer les deux rapports donnés et c en deux autres qui aient même conséquent; pour cela multiplions par d les deux termes du premier rapport, et par b les deux termes du second ”

“ RÈGLE. Quand on a écrit la racine du plus grand carré contenu dans un nombre donné, si le reste est égal ou inférieur à la racine trouvée, on conserve cette racine telle qu'elle est; si le reste est plus grand que la racine, on augmente cette racine d'une unité. ”

“ Examinons d'abord le théorème fondamental, à savoir : le produit ne change pas, quand on change l'ordre des facteurs. Le produit
est une fraction ayant pour numérateur le produit des numérateurs et pour dénominateur le produit des dénominateurs. Or, si l'on change l'ordre des facteurs fractionnaires, on change simplement l'ordre des facteurs entiers qui composent les deux termes de la fraction produit, ce qui ne change pas la valeur de ses deux termes. ”

“ Le théorème est donc vrai pour un nombre quelconque de facteurs.
COROLLAIRE I. Lorsqu'un nombre premier divise une puissance d'un nombre, il divise ce nombre.
En effet une puissance d'un nombre est un produit de plusieurs facteurs égaux à ce nombre. Le nombre premier, divisant le produit, divise l'un des facteurs, et par conséquent divise le nombre qui a été élevé à la puissance. ”

“ Ainsi, pour multiplier par un nombre formé d'un chiffre significatif suivi d'un ou plusieurs zéros, il suffit de multiplier le multiplicande par le chiffre significatif, et d'ajouter à la droite du produit autant de zéros qu'il y en a dans le multiplicateur. ”

“ Lorsque la division se fait exactement, ou, en d'autres termes, lorsque le dividende contient le diviseur un certain nombre de fois exactement, on dit que le premier nombre est divisible par le second. ”

“ La seconde puissance ou le produit de deux facteurs égaux porte le nom spécial de carré, parce que le nombre d'unités de surface contenues dans la figure géométrique nommée carré est égal à la seconde puissance du nombre d'unités de longueur contenues dans le côté de la figure. ”

“ Ainsi, multiplier 9 par 5, c'est répéter le nombre 9 cinq fois.
9 est le multiplicande ou le nombre que l'on multiplie; 5 est le multiplicateur, ou le nombre qui indique combien de fois il faut répéter le multiplicande.
Formons par exemple 5 monceaux renfermant chacun neuf noix, et réunissons en un seul ces 5 monceaux égaux, nous aurons fait une multiplication. Le monceau total est le produit de la multiplication.
La multiplication, comme on le voit, n'est autre chose que l'addition de plusieurs nombres égaux ”

“ ADDITION. L'addition n'offre aucune difficulté; tout dépend de l'addition d'un nombre d'un chiffre avec un nombre d'un chiffre ; lorsque la somme est supérieure à la base du système de numération, avec un nombre d'unités égal à la base on forme une unité du second ordre. ”

“ On peut d'ailleurs considérer ces deux sériés comme n'en formant qu'une, indéfinie dans l'un et dans l'autre sens. Chaque unité est dix fois plus grande que celle qui est placée au-dessous d'elle, et dix fois plus petite que celle qui est placée au-dessus.
Lorsque la grandeur à mesurer est très-grande, au lieu de chercher directement combien elle contient d'unités principales, ce qui serait très-long, on cherche, par exemple, combien de centaines elle contient; on évalue le reste au moyen de la dizaine, et ainsi de suite. ”

“ Lorsqu'une grandeur contient un nombre exact de fois une autre grandeur de même espèce, on dit que la première est divisible par la seconde, ou qu'elle est multiple de la seconde.
Réciproquement la seconde est un diviseur ou une partie aliquote de la première. Toute grandeur qui est contenue exactement dans plusieurs grandeurs de même espèce est un plus grand commun diviseur de celles-ci; on l'appelle aussi commune mesure. ”

“ Si on ajoute aux deux termes de la fraction des nombres de plus en plus grands, on obtiendra une série de fractions croissantes, et qui s'approcheront de l'unité autant qu'on voudra, en restant constamment moindres que l'unité. ”

“ Mais dans la pratique il est inutile d'écrire les zéros à la droite du dividende ; quand on aura abaissé tous les chiffres du dividende proposé, on formera le dividende partiel suivant en mettant à la droite du reste un zéro, et on continuera de cette manière jusqu'à ce qu'on ait obtenu le quotient avec une approximation suffisante. L'erreur, étant toujours moindre qu'une unité de l'ordre auquel on s'arrête, deviendra aussi petite qu'on voudra. ”

“ Ainsi : THÉORÈME IV. Lorsque les facteurs sont terminés par des zéros, on supprimera ces zéros dans le calcul, puis on ajoutera à la droite du produit autant de zéros qu'on en a supprimé d'abord.
56. THÉORÈME V. Pour multiplier un produit par un nombre, il suffit de multiplier par ce nombre l'un des facteurs du produit. ”

“ Car, si on augmente le multiplicande sans changer le multiplicateur, on répète le même nombre de fois un nombre plus grand, ce qui donne évidemment un produit plus grand. De même, si on augmente le multiplicateur sans changer le multiplicande, on jépète le même nombre un nombre de fois plus grand, ce qui donne aussi un produit plus grand. A plus forte raison, si on augmente à-la-fois le multiplicande et le multiplicateur, le produit sera-t-il plus grand. ”

“ Élevons à une certaine puissance un terme de la progression géométrique; élevons, par exemple, le terme ait à la troisième puissance; il faut multiplier l'exposant par l'indice de la puissance ; la puissance a12 est aussi un terme de la progression géométrique. Multiplions par 5 le terme correspondant 4b de la progression arithmétique ; le produit 12b est aussi un terme de la progression arithmétique. On voit que l'exposant de la puissance a12 est égal au multiplicateur du produit 12b; donc
la puissance et le produit se correspondent dans les deux progressions. ”

“ Le nombre qui détermine le mode de groupement s'appelle base du système de numération ; un nombre quelconque peut servir de base ; le système dont la base est dix est devenu d'un usage universel parmi les hommes ”

“ Donc le dividende est la réunion de quatre nombres égaux au quotient, et par conséquent on peut considérer le dividende comme décomposé en quatre nombres égaux au quotient. Ainsi par la division on partage le dividende en autant de parties égales qu'il y a d'unités au diviseur.
Réciproquement tout partage d'un nombre en parties égales est une division. On veut, par exemple, distribuer 51 pommes entre 4 personnes. Donnons une pomme à chaque personne, nous retranchons 4 pommes; donnons une seconde pomme à chaque personne, nous retranchons encore 4 pommes ”

“ Si nous divisons 1458 par 2, le quotient 729 est la sixième puissance de la raison ; en extrayant la racine sixième de 729, nous obtenons la racine elle-même 5. Ainsi : RÈGLE. Pour trouver la raison de la progression, divisez le dernier terme par le premier, et extrayez du quotient une racine ayant pour indice le nombre des moyens à insérer, plus un.
Une fois qu'on connaît la raison de la progression, il est facile de former les moyens demandés. En multipliant le premier nombre par la raison, on forme le premier moyen ”