J.-J. Baget

“ Scolie. Quelquefois aucun des dénominateurs n'est multiple des autres, mais on peut trouver un nombre qui soit multiple de tous les dénominateurs, et c'est ce nombre qui devient le dénominateur commun.
Pour cela, on le divise par tous les dénominateurs, on écrit le quotient sous la fraction dont le dénominateur est l'autre sousmultiple, et on opère comme il vient d'être dit tout-à-l'heure. ”

“ La division d'un nombre décimal par une fraction, et réciproquement, d'une fraction par un nombre décimal n'offre rien de particulier. On opère sur le nombre décimal comme sur des entiers, mais au résultat on rétablit les chiffres décimaux que l'on avait négligés. ”

“ Tout ce que l'on peut faire, c'est d'en approcher tellement près, que si l'expression n'est pas la vérité, elle lui est du moins à peu près équivalente.
Cette évaluation a beaucoup d'analogie avec l'évaluation du quotient. C'est aussi par les fractions décimales qu'elle est faite le plus souvent, et, de même que pour les quotients, évaluer une racine carrée à 0,1 0,01 0,001 près, c'est dire que si la racine écrite était seulement augmentée d'une unité décimale de l'ordre auquel l'évaluation aura été faite, le nombre reproduit par cette racine serait plus fort que le nombre donné. ”

“ C'est toujours une mesure carrée qui sert à l'évaluation des surfaces. Si la surface que l'on mesure n'a pas l'a forme d'un carré, cette mesure se ramène à un rapport établi avec l'unité carrée, contenue un certain nombre de fois dans la surface donnée. ”

“ Evaluation des racines carrees.
Les nombres dont on a besoin de chercher la racine dans la pratique ne sont pas toujours des carrés parfaits comme ceux que nous venons de prendre pour modèles. Il arrive même le plus souvent qu'on doit opérer sur des nombres irrationnels ; alors on est obligé d'évaluer leur racine approximativement; mais quelque grande que soit cette approximation, vous n'arriverez jamais à un nombre qui puisse être exprimé par des chiffres. Par exemple, entre 4 et 9, carré des nombres consécutifs 2 et 3, il y a quatre nombres 5, 6, 7, 8 dont on ne peut trouver la racine. ”

“ Si au contraire le diviseur en contient plus que le dividende, mettez à la droite du quotient autant de zéros que le diviseur a plus de chiffres décimaux. Enfin s'ils en contiennent autant l'un que l'autre, le quotient n'en aura pas.
Scolie. Il est évident que si la partie entière du nombre dividende est plus petite que la partie entière du diviseur , le quotient ne pourra être qu'une fraction, puisque jamais un facteur plus grand qu'une fraction multiplié par un nombre déjà plus grand que le dividende, ne pourrait donner un produit plus petit que ce dividende lui-même. ”

“ Scolie. Quand le capital est joint aux intérêts, on soustrait d'abord le capital de la somme faite ; puis on cherche l'intérêt de ce capital pour un an, et on divise la différence obtenue au moyen de la première soustraction, par le dernier quotient. ”

“ En général, pour qu'une évaluation soit possible, il faut toujours que le dénominateur de la fraction donnée soit sous-multiple du dénominateur de celle en laquelle on veut la transformer.
On ne peut pas dire d'avance quelle sera l'étendue d'une période, mais elle ne pourra jamais contenir plus de chiffres qu'il n'y a d'unités , moins une, dans le diviseur. Quand le dénominateur est un nombre premier ( excepté 5 et 2) , il y aura toujours autant de chiffres à la période que ce diviseur contient d'unités, moins une, et la période sera simple. ”

“ Elle se mesure en tirant une ligne droite qui joint les deux points extrêmes dont on veut évaluer la distance, et en reportant sur cette ligne, la longueur prise comme terme de comparaison.
La largeur d'un corps n'est autre chose que la longueur prise dans un autre sens ; elle se mesure comme elle.
Le MÈTRE est l'unité des mesures de longueur. ”

“ Dans une progression par quotient, un terme quelconque est toujours égal au premier, multiplié par la raison élevée à une puissance dont le degré est marqué par le nombre de termes qui sont avant celui que l'on considère ”

“ Mais on conçoit que si le capital rapporte un intérêt quelconque pour un an, cet intérêt sera autant de fois plus grand qu'il y aura d'unités dans le nombre d'années du placement, donc : DEUXIÈME RÈGLE. Pour trouver l'intérêt d'un capital, au bout d'un certain temps, multipliez le capital par le taux et par le temps, et divisez le produit par 100. ”

“ Tout nombre se divise lui-même, parce que, multiplié par l'unité, il restera ce qu'il est.
Réciproquement tout nombre est divisible par 1, parce que l'unité est facteur de tous les nombres.
Quand un nombre n'est divisible que par luimême et par l'unité, on l'appèle nombre premier. ”

“ Une salle a ordinairement la forme d'un carré long, dont la surface s'évalue en multipliant la hauteur par la largeur d'une part, et la hauteur par la longueur, d'autre part ; et comme les quatre faces peuvent être supposées égales deux à deux, on aura la surface totala en doublant les deux résultats, et en faisant la somme des deux produits. ”

“ On a plus souvent à chercher la √ cubique d'un nombre irrationnel que celle d'un cube parfait, et de même que dans la racine carrée, quand la dernière soustraction donne un reste, la √ que l'on a extraite était celle du plus grand cube contenu dans le nombre proposé. ”

“ Si le nombre proposé est fractionnaire, on extrait d'abord la racine cubique de la partie entière, et on continue l'opération en abaissant successivement les tranches de trois chiffres à partir de la virgule ; et quand on a fait la dernière soustraction, on sépare à la √ autant de chiffres décimaux qu'il y a de tranches de trois chiffres dans la partie fractionnaire du cube sur lequel on a opéré.
Ainsi on trouvera que - 5,26; car, puisque la fraction exprime des millionièmes, la √ ne peut être que des centièmes. ”

“ La formation du cube d'un nombre formé de plusieurs chiffres n'offre rien de particulier, quant à l'opération, il se compose de quatre parties, savoir : le cube des unités, le triple carré des dizaines multiplié par les unités, le triple carré des unités multiplié par les dizaines, et le cube des dizaines. ”

“ Toute division se compose de deux termes, savoir: le produit connu qu'on appèle dividende s parce que c'est lui qui doit être divisé ; le facteur connu qu'où appèle diviseur, parce qu'il doit diviser. ”

“ La multiplication d'un nombre par un autre s'indique par le signe X que l'on écrit entre les deux facteurs ; ainsi 8 X 4 signifie 8 multiplié par 4 ou 8 multipliant 4 ; et quand on sait que 32 est le produit de 8 + 4, l'expression 8 + 4 = 32 est une égalité. Quand l'un des facteurs est composé, on l'enferme entre deux crochets; ainsi [3 + 4] 7 signifie que .3 + 4 doivent être multipliés par 7. De même [3 X 4] [7 + 8 ] signifie que le produit des deux nombres renfermés dans les crochets à
gauche, doit être multiplié par la somme des deux nombres enfermés dans les crochets à droite. ”

“ Mais il est plus simple de compter par myriamètres et fractions décimales, soit: 2,3476 myriamètres, c'est-à-dire 2 myriamètres et 3476 dix-millièmes de myriamètres., et le dix-millième de myriamètre est le mètre.
Si on voulait compter par kilomètres, on écrirait : 23,476 kilomètres, c'est-à-dire, 23 kilomètres, 476 millièmes de kilomètres, on ne compte presque jamais par hectomètres.
Le kilomètre et le myriamètre sont donc les seules mesures itinéraires en usage. On compte par kilomètres quand on parle de petites distances qui ne vont pas jusqu'aux centaines de kilomètres. ”

“ Donc en RÈGLE : 'multipliez chaque chiffre du multiplicande par le chiffre multiplicateur, en commençant par les unités de plus faible espèce, et, quel que soit le rang du chiffre multiplicande sur lequel vous opérez, décomposez le produit obtenu en dizaines et unités ; si le produit obtenu ne dépasse pas 9, écrivez-le tel qu'il est; s'il dépasse neuf, écrivez les unités et reportez au produit suivant autant de fois 1 qu'il y avait de fois 10 dans le produit que vous venez d'obtenir. ”

“ Enfin, si j'avais eu 317,25 à diviser par 4,23, on aurait eu 75 au quotient, car ce que le résultat perdrait d'une part il le regagnerait de l'autre, ou par une autre analogie, 75 exprime en nombre entier combien de fois 423 centièmes est contenu dans 31725 centièmes.
Donc, on peut donner pour RÈGLE : si le dividende a plus de chiffres décimaux que le diviseur, faites que le quotient complète ce nombre par les siens réunis à ceux du diviseur. ”

“ Un rapport par différence ne change pas quand on ajoute ou quand on retranche un même nombre aux deux termes. C'est ce qui a déjà été dit pour les inégalités. (10) Comme un rapport par quotient est une expression fractionnaire dont l'antécédent est le numérateur , et le conséquent le dénominateur, ce rapport jouira des mêmes propriétés qu'une fraction: c'està-dire qu'il sera multiplié en multipliant l'antécédent, ou en divisant le conséquent ; qu'il sera divisé en divisant l'antécédent ou en multipliant le conséquent ”

“ Le dénominateur commun doit toujours être le plus petit possible, de telle sorte que les fractions données ne peuvent avoir toutes un même facleur commun qui pourrait être retranché à leurs deux termes. ”

“ Dans ce cas, comme dans tous ceux qui lui ressemblent, on forme un produit, le plus petit possible, en multipliant le plus grand dénominateur par tous les dénominateurs premiers avec lui, évitant d'y introduire ceux des facteurs qui pourraient déjà y être entrés ; quant à ceux qui sont sous-multiples du plus grand dénominateur, on ne les fait pas entrer dans le produit ”

“ On pourrait écrire de suite ces zéros à la droite du nombre, si d'avance on savait à quelle décimale l'évaluation devra être faite.
Dans cet exemple l'évaluation à 1 centième près n'est pas suffisante ; chaque dividende est toujours trop faible pour être divisisé par le triple carré de la √, et à chaque division on a eu soin d'écrire zéro à la √. On serai t arrivé à un chiffre significatif en poussant plus loin l'évaluation. ”

“ Scolies. 1° Chaque produit partiel est indépendant des autres; aussi, pourvu qu'on les additionne dans leur position relative, on pourrait commencer la multiplication par le chiffre de gauche du multiplicateur ; on aurait alors,
2° Quand-il se trouve des zéros dans le multiplicande, on écrit seulement le report des dizaines précédentes. S'il n'y a pas eu de report, on écrit 0 pour conserver au produit suivant le rang qu'il doit avoir. ”

“ Quand on veut soustraire une fraction d'un entier, on convertit en fraction de même espèce une unité de cet entier, et la différence est égale à cet entier diminué de 1 , plus la fraction obtenue.
Scolie. En général l'unité sera toujours assez grande pour contenir une fraction, quelque grande qu'on la suppose, puisque jamais le numérateur de cette fraction n'égalera son dénominateur. ”

“ Cela posé, on conçoit que tout autre nombre que 10 pourrait être le diviseur de l'unité, et que l'expression nouvelle de cette division à faire serait aussi celle d'une fraction; donc: Une fraction est l'expression numérique d'une ou de plusieurs parties de l'unité divisée en un certain nombre de parties égales; ainsi les nombres ~l, -' f-, -li-8-e sont des fractions.
Comme l'expression d'une division, une fraction se compose de deux termes; celui qui tient la place du dividende s'appèle numérateur, celui qui tient la place du diviseur s'appèle dénominateur ”