Puissance (mathématiques)

“ On prouverait, de la même manière, que le dernier terme de la puissance du polynôme est, sans réductions ni modifications quelconques, la puissance du dernier terme de ce polynôme.
LEMME II. Si de la puissance d’un polynôme on retranche la puissance de l’ensemble de ses premiers termes ; le premier terme du reste sera, sans réductions ou modifications quelconques, fois la puissance du premier terme du polynôme, multiplié par son terme. ”

“ Dans le cas où, au contraire, cette puissance rencontrera le plan hors du triangle, suivant qu’elle le rencontrera dans l’un des angles ou dans son opposé au sommet, il y aura deux composantes ou une seule de même signe que la puissance proposée. ”

“ La puissance est positive, lorsque lest points M et M' sont d'un même côté de l'origine O ; elle est négative, lorsque ces points sont de part et d'autre de l'origine. La puissance se représente assez fréquemment par + k 1.
La transformation d'une figure MNP... en une autre M'N'P'..., à l'aide de l'inversion, se nomme : transformation par rayons vecteurs réciproques. Nous dirons simplement : transformation par inversion.
Note. La dénomination : puissance d'un point par rapport à un cercle (G., n° 829) , d'où est venue puissance d'inversion, a été introduite par STEINER.
Théorème. ”

“ Non-seulement l’être se prend dans le sens de substance, de qualité, de quantité, mais il y a encore l’être en puissance et l’être en acte, l’être relativement à l’action. Parlons donc de la puissance et de l’acte. Et d’abord, quant à la puissance, remarquons que celle qui mérite surtout ce nom, n’est pas l’objet unique de notre étude présente ; la puissance, de même que l’acte s’applique à d’autres êtres que ceux qui sont susceptibles de mouvement. Nous parlerons de la puissance motrice dans ce que nous allons dire de l’actualité ; mais nous parlerons aussi des autres sortes de puissance. ”

“ Recherche directe du terme général du développement d’une puissance quelconque d’un polynôme ; par M. Gergonne.
Méthode facile pour exécuter le développement des puissances des polynômes ; par M. Thomas-Lavernède. ”

“ Tout nombre est considéré comme sa première puissance; multiplie par lui-même, il fournit sa deuxième puissance ou son carré; multiplié deux fois par luimême, il produit sa troisième puissance ou son cube. ”

“ Une puissance n'étant qu'un produit de facteurs égaux, les règles. de la multiplication lui sont applicables, j'en parlerai très-brièvement.
L'erreur relative d'une puissance d'un nombre est égale à celle de ce nom bre multipliée par l'exposant de la puissance. ”

“ La puissance et le pouvoir [2] , nous l’avons déterminé ailleurs [3] , se prennent sous plusieurs acceptions. Nous n’avons pas à nous occuper des puissances qui ne sont puissances que de nom. Une ressemblance a fait donner à quelques objets, dans la géométrie par exemple, le nom de puissances ; d’autres choses sont dites puissantes ou impuissantes par une certaine façon d’être ou de n’être pas. ”

“ L'opération par laquelle on forme les puissances d'un nombre s'appelle élévation aux puissances.
EXEMPLE. Dans notre système de numération, les unités des divers ordres, dix, cent, mille, etc., sont les puissances de la base dix.
Pour écrire une puissance d'un nombre, on écrit, au-dessus de lui, le nombre de fois qu'il doit être pris comme facteur, qui se nomme l'exposant de la puissance. ”

“ D'abord chaque puissance indique chaque nombre des termes de la série primitive qu'on doit sommer pour former chaque puissance d'un degré pair dont l'exposant est double , et concourt à former chaque puissance d'un degré impair qui suit immédiatement celle d'un degré pair qu'on a trouvée. ”

“ Supposons que la puissance qui est dans un des deux éléments composants, soit inférieure à celle de l’autre, et que, par exemple, le feu et l’air composant l’infini, le feu soit fini, tandis que l’air serait infini. ”

“ Souvent nous appelons aussi du nom de puissance la même chose à laquelle la puissance convient (comme un corps pesant est appelé un poids) , mais avec cette précaution que ce soit à l'égard de la vraie puissance, laquelle, augmentant ou diminuant, sera appelée plus grande ou moindre puissance, quoique la chose à quoi elle convient demeure toujours la même. ”

“ Cette recherche nous mettra à même de montrer que puissant ne s’entend pas seulement de ce qui a la propriété de mouvoir une autre chose, ou de recevoir d’elle le mouvement, mouvement proprement dit, ou mouvement de telle ou telle nature, mais qu’il a encore d’autres significations : nous déterminerons ces significations dans le cours de cette recherche. L’acte est, pour un objet, l’état opposé à la puissance : nous disons, par exemple, que l’Hermès est en puissance dans le bois ; que la moitié de la ligne est en puissance dans la ligne entière, parce qu’elle pourrait en être tirée. ”

“ Nous n'avons pas, en effet, pour but d'étudier la théorie du choc, mais seulement de mettre en évidence l'utilité de la notion de puissance vive au point de vue d'une étude plus approfondie des propriétés contingentes de la matière, propriétés que, jusqu'ici, nous avons passées sous silence à cause de notre ignorance complète sur ce point. ”

“ Il y a donc là une notion nouvelle et l’on a dit : les deux ensembles ont même puissance. Pour des ensembles finis, le concept de puissance se confond avec celui de nombre. Lorsqu’un ensemble infini a même puissance que l’ensemble des nombres entiers, on le dit dénombrable.
L’ensemble de tous les points d’une droite ou d’une circonférence est indénombrable. Il y a, eu quelque sorte, des infinis avec des concentrations, des densités différentes : l’infini mathématique, lui aussi, soulève d’immenses discussions philosophiques... ”

“ Criez tant qu’il vous plaira, imposteurs ou fanatiques, qui avez intérêt de nous persuader des chimères ; vos vains raisonnements ne pourront jamais étouffer cette vérité aussi évidente que le premier axiome de mathématique : Si la suprême puissance est unie, dans un être, à une infinie sagesse, elle ne punit point, elle perfectionne ou anéantit. ”

“ On pourrait encore démontrer ce troisième principe en supposant une puissance de même espèce que celle de la grandeur infinie, et en plaçant cette nouvelle puissance, qui serait finie, dans une grandeur finie, au lieu d’une grandeur infinie. ”

“ Si l’activité déterminée du mouvement et la ligne qui exprime sa détermination peuvent s’unir ainsi à l’espace, à la quantité pure, à l’indétermination de la puissance et se les approprier graduellement, c’est que, dans l’être absolu, l’acte pénètre éternellement la puissance par cette sorte de génération intérieure que nous avons indiquée plus haut. Il n’y a point, dans l’être absolu, des puissances qui ne soient point pénétrées par l’acte. L’acte infini est adéquat à la puissance infinie qui lui est adéquate. ”

“ Il résulte, de la comparaison des puissances paires et impaires, que la formation de la puissance impaire diffère seulement de celle deda puissance paire qui la précède immédiatement, en ce que le multiplicande qui concourt à fermer la puissance impaire, est augmenté d'un degré. ”

“ Rac. la somme des premier et der- Le double de la cinquième nier termes de chaque nombre, puissance correspondante , qui multiplié par la moitié de la égale la somme des premier et quatrième puissance indica- dernier termes de ceux qui ont ttve, produit chaque huitième Clé ainsi augmentes, multiplié puissance. par la moitié de la quatrième puissance indicative, produit chaque neuvième puissance. ”

“ Or, en fait, il a une puissance quadruple, car il communiquera à une masse donnée un mouvement quatre fois plus considérable que le premier corps, ou, si l’on veut, il communiquera un mouvement égal à une masse quadruple. ”

“ Poursuivant nos recherches vers une puissance supérieure, adressons-nous à un ensemble à deux dimensions : l'ensemble des points situés à l'intérieur d'un carré. Il paraît évident qu'un tel ensemble possède une puissance supérieure à celle de l'ensemble des points situés sur un côté du carré, c'est-à-dire une puissance supérieure à celle du continu. ”

“ On peut objecter que ce sont là des évidences de l'opération d'une puissance créatrice, mais d'une puissance agissant en conformité des lois de la force préexistante, et il reste à prouver l'existence de l'être dont elles tirent leur origine. ”

“ Dans notre science, où la conception de cause et d'effet est réduite à une équation, avec notre orgueil de démontrer que de chaque côté il y a la même quantité de force, nous ne tenons pas compte de ce qui est la force active, nous ne considérons que les résultats, nous les considérons comme équivalents par rapport à leur quantité de force... ”

“ Ma puissance est précisément mesurée par le nombre de choses que je puis déterminer, c'est-à-dire faire passer de l'état de possibilité à l'état d'actualité. Plus ce nombre est grand, plus ma puissance est grande, plus ma faculté de choisir est étendue. Cette puissance, cette faculté sont donc des faits de l'ordre relatif. ”

“ En effet, la puissance et l’acte se partagent tout l’être, comme on le voit, V de la Métaph., et dans le genre où il y a acte il y a aussi puissance. Car si la ligne en acte est dans le genre de la quantité, elle est aussi en puissance dans ce même genre. Ce n’est pas de cette puissance que nous voulons parler pour le moment. La puissance se prend dans un autre sens suivant qu’elle est le principe de transmutation d’une chose comme telle, ou le principe de transmutation d’un état en un autre. ”

“ ATTRACTION Newtonienne, est l’effet d’une puissance par laquelle chaque corps & même chaque particule de matière tend vers une autre portion de matière ; c’est une tendance pour s’approcher, soit que la puissance qui le produit soit inhérente aux corps mêmes, soit qu’elle consiste dans l’impulsion d’un agent extérieur, soit qu’elle dépende d’une loi primitive établie par le Créateur. ”

“ Soit proposé de décomposer en éléments simples une puissance entière quelconque a de snx; cette fonction n'ayant qu'un seul pôle x = iK', je pose x=i&!-sr s et, comme vous le savez, il faudra calculer la partie principale du développement de k sn Fsuivant les puissances croissantes de ε. ”

“ Donc :
1° Puisque (1 + e) n = (1 + e) (1 + e) (1 + e) ..., il est évident que ce produit est toujours supérieur à 1 + e, et par suite à 1, quel que soit n ;
2° Etant donnée une puissance (1 + e) n, on obtient la suivante (1 + e) a+ 1 en multipliant la puissance donnée par (1 + e) , nombre plus grand que 1 ; par suite (1 + e) n+1> (1 + e) n;
3° Je dis que les puissances successives de (1 + e) tendent vers l'infini, c'est-à-dire que, si A est un nombre aussi grand
qu'on voudra le supposer, on peut toujours trouver une puissance de (1 + e) supérieure à ce nombre. ”

“ Car l’acte signifie tantôt le mouvement relativement à la puissance, tantôt l’essence relativement à une certaine matière. La puissance et l’acte, pour l’infini, le vide, et tous les êtres de ce genre, s’entendent d’une autre manière que pour la plupart des autres êtres, tels que ce qui voit, ce qui marche, ce qui est vu. ”

“ La notion de puissance vive jouit de la propriété remarquable d'être une valeur définie mathématiquement et qu'on peut mesurer, qui nous permet de comparer (à un point de vue très-restreint, il est vrai) la constitution intime de deux corps déterminés.
305. Remarque finale. - Il n'y a pas que le choc qui puisse déterminer une perte apparente de force vive ; les
frottements, et tout ce que l'on appelle les résistances passives, sont dans le même cas. ”

“ Car, quoiqu’il ne soit point vrai que le corps perde autant de mouvement qu’il en donne, il est toujours vrai qu’il en perd et qu’il perd autant de force qu’il en donne, comme je l’ai expliqué ailleurs, de sorte qu’il faut toujours admettre en lui de la force ou de la puissance active. J’entends la puissance dans le sens le plus noble, que j’ai expliqué un peu auparavant, où la tendance est jointe à la faculté. Cependant je suis toujours d’accord avec vous, que la plus claire idée de la puissance active nous vient de l’esprit. ”