H Trénard

“ Étant donnée une grandeur qui peut être mesurée dans deux sens opposés, on doit convenir tout d’abord du sens qu’on appelle positif. S’il s’agit d’une droite, on a l’habitude de regarder comme positif le sens de gauche à droite, et, par suite, le sens de droite à gauche est négatif. Mais on peut très bien renverser ces sens sans rien changer aux résultats d’un problème. L’essentiel est de bien fixer le sens positif dès le début de la question, et de conserver le même sens positif dans tout le cours du raisonnement. ”

“ Quand tous les facteurs littéraux d’un produit sont une même lettre, le produit est dit : puissance de cette lettre. La quantité des facteurs est le degré de cette puissance. On représente en abrégé un tel produit en écrivant une seule fois le facteur et en indiquant à sa droite et en haut, à l’aide de caractères plus petits, le nombre de fois qu’il entre dans le produit ; ce nombre de fois s’appelle exposant. ”

“ Lorsque les termes d’un polynôme sont placés dans un ordre tel que la même lettre s’y trouve avec des exposants de plus en plus grands ou de plus en plus petits, on dit que ce polynôme est ordonné par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de cette lettre, qui s’appelle lettre ordonnatrice.
Si un polynôme homogène est formé de termes contenant les deux mêmes lettres, il est évident que : s’il est ordonné par rapport aux puissances croissantes de l’une, il l’est aussi par rapport aux puissances décroissantes de l’autre. ”

“ On tire la valeur de la même Inconnue dans les deux équations ; en égalant les valeurs trouvées on obtient une équation à une seule inconnue, que l'on sait résoudre ; on en tire la valeur de l'inconnue conservée, qui donne facilement celle de l'autre inconnue. ”

“ La convention faite plus haut pour l'écriture du logarithme complet montre que les mantisses des nombres inférieurs à 1 suivent la même loi que celles des nombres supérieurs à 1.
En résumé, la caractéristique ne dépend que de la place de la virgule dans le nombre donné, et non des chiffres qui le composent ; au contraire, la mantisse ne dépend que des chiffres et de leur ordre, et non pas de la place de la virgule.
La caractéristique peut être positive, nulle, ou négative. La mantisse est toujours positive. ”

“ Le dénominateur se rapprochant indéfiniment de la valeur 0, sans jamais l'atteindre théoriquement, on dit qu'il a pour limite 0 ; en même temps, le quotient grandit de plus de plus, et comme la suite des nombres est illimitée, sa valeur ne peut être représentée par aucun nombre lorsque le dénominateur devient 0 ; ce quotient, infiniment grand, est représenté par le signe infini : a, qui est aussi le symbole de l'impossibilité. ”

“ Une telle somme s'appelle un polynôme. Sa forme usuelle est la somme algébrique indiquée dans le second membre de l'égalité précédente.
Un polynôme est une somme algébrique de monômes.
S'il ne renferme que deux monômes, on l'appelle particulièrement binôme ; s'il en renferme trois, trinôme.
Les monômes qui le constituent sont plutôt désignés sous le nom de termes ; suivant qu'un terme est précédé du signe + ou du signe —, il est dit positif ou négatif,
Quand le premier terme d'un polynôme est positif, on sous-entend le signe +. ”

“ Quand on ne peut pas effectuer exactement la division de deux nombres, on indique le quotient des valeurs absolues à l'aide d'un rapport arithmétique, et on lui donne le signe convenable d'après la règle des signes. Ce résultat est une fraction algébrique ; le dividende s'appelle numérateur, et le diviseur, dénominateur ; ces deux nombres sont les termes de la fraction. ”

“ Un produit de nombres algébriques ne change pas de valeur si l’on intervertit l’ordre de ces nombres.
En effet : I° la valeur absolue du produit reste la même quel que soit l’ordre des nombres, d’après le principe d’arithmétique sur l’interversion des facteurs. ”

“ Le petit nombre est égal à la moitié de l’excès de la somme donnée sur la différence donnée ; le grand nombre est égal à la moitié de la somme de ces deux quantités.
Ou plus simplement :
La somme moins la différence donne le double du petit ; la somme plus la différence donne le double du grand. Mais il est préférable de conserver les résultats :
On les appelle formules. ”

“ On dit qu'une équation à plusieurs inconnues est du second degré lorsqu'elle renferme des termes du second degré par rapport aux Inconnues, et pas à un degré supérieur.
Ainsi xy = 16 est du second degré. De même que pour les équations du premier degré, pour que les inconnues soient déterminées, il faut avoir autant d'équations que d'inconnues. On procède ensuite par l'une des méthodes d'élimination ou de substitution, et l'on arrive, en général, à une équation du second degré à une inconnue; parfois, on retombe même dans le premier degré, par suite de simplifications. ”

“ Admettons que ces valeurs soient réelles ; elles ont une même valeur absolue très petite, et x' et x" sont symétriques par rapport à 0.
Rendons m de plus en plus petite ; les valeurs absolues x' et x" se rapprochent de plus en plus de 0, l'une par valeurs positives, l'autre par valeurs négatives. A la limite, si m devient égale à 0, les valeurs de x' et x" sont 0 ; pratiquement, l'équation n'admet qu'une racine, x = 0, mais théoriquement l'on conçoit qu'il existe encore deux racines, devenues toutes les deux égales à 0. ”

“ Elle est plus générale qu’une formule, qui n’en est qu’un cas particulier ayant une application pratique bien déterminée ; l’expression algébrique peut n’être qu’une simple phase du calcul, n’ayant d’autre utilité que de préparer les calculs qui suivent. ”

“ Remarque. — Il est parfois inutile de lire un quotient ; pour savoir le nombre de ses chiffres, qui peut seul être utile ; on peut constater que : le dividende a et le diviseur b entiers ayant n et n' chiffres, et étant pris sur les échelles supérieures gauches, ou sur les échelles inférieures, si le quotient se
lit à gauche du point g , il contient n — n+ 1 chiffres à sa
partie entière ; s'il se lit à droite, il en contient n — n'.
C'est une conséquence immédiate de la règle concernant le nombre de chiffres d'un produit. ”

“ Les puissances à exposants impairs d’un nombre algébrique sont positives ou négatives suivant que ce nombre est lui-même positif ou négatif, et en particulier, le cube d’un nombre négatif est négatif. ”

“ Un amortissement est une opération financière ayant pour but déteindre une dette en versant à intervalles fixes une somme fixe qu'on appelle aussi amortissement, ou encore annuité, et cela, en tenant compte des intérêts composés rapportés par l'emprunt et par les annuités versées successivement. ”

“ Un produit peut être constitué non seulement par des lettres, qui représentent des nombres, mais aussi par des nombres exprimés en chiffres ; dans le premier cas, les facteurs sont dits littéraux, et dans le second, numériques. Un tel produit est un monôme. ”

“ Les termes étant de plus en plus grands, si le nombre des termes est infini, la valeur de 1 est infiniment grande, et par suite celle du numérateur lq — a l'est aussi. Le dénominateur (q — 1) n'étant ni nul ni infini, la valeur de la fraction tend donc vers l'infini. Quand le nombre des termes d'une progression géométrique croissante est infini, la somme de ces termes est infiniment grande. ”

“ Tout nombre négatif n'admet pas de racine si f indice est pair ; il admet une racine négative si l'indice est impair.
Remarque importante. — Pour éviter des complications dues aux signes, nous ne tiendrons compte, dans ce qui suivra, que de la valeur arithmétique d'un radical, c'est-à-dire de la valeur absolue de l'expression qu'il renferme et de celle de la racine. ”

“ Si l'on représente x2 par y, on peut remplacer cette équation par le système ;
L'équation (I) a pour graphique une parabole, et l'équation (2) , une droite. Une intersection de ces graphiques a pour coordonnées x et y, et donne une valeur de x convenant à l'équation proposée.
En général, la droite coupe la parabole en deux points : l'équation admet alors 2 solutions distinctes. Si la droite est tangente à la parabole, les deux solutions se confondent en une seule. Si la droite ne coupe pas la parabole, l'équation proposée est impossible. ”

“ Dire que la route Havre-Paris est positive, c’est admettre que nous cheminons normalement dans cette direction ; par suite, tout trajet fait dans le même sens allonge la distance qui nous sépare de notre point de départ ; au contraire, tout chemin fait en sens inverse raccourcit cette distance. Mais il importe de remarquer que les signes ou ainsi employés ne représentent pourtant ni une addition, ni une soustraction ; pour qu’une telle opération signifie quelque chose il faut nécessairement que ou soient entre deux nombres ; quand on écrit simplement ou , il n’y a là aucune opération. ”

“ On dit qu'un capital est placé à Intérêts composés lorsque au bout d'une certaine période, prise pour unité de temps, les Intérêts s'ajoutent au capital pour porter eux-mêmes Intérêt pendant ta période sulvante.
Cette période est généralement l'année (Caisses d'épargne) , ou le semestre (Crédit Foncier) .
On représente le capital primitif par a, le nombre de périodes par n, l'intérêt de 1f en une période par r, et le capital accumulé par A. Ainsi, pour une capitalisation annuelle, au taux 3 %, r représente non pas 3, comme en arithmétique, mais 0f,03. ”

“ Nous traitons les progressions de la façon la plus réduite possible. Dès que les propriétés générales des logarithmes sont étudiées, avant d’aborder les logarithmes usuels, nous expliquons le mécanisme de ce calcul à l’aide d’un petit système arbitraire qui intéresse beaucoup les élèves et rend plus rapide l’étude des opérations pratiques avec les tables.
Bien que le programme ne mentionne pas les intérêts composés, nous croyons utiles de les laisser subsister dans cet ouvrage, en raison de leurs applications aux questions si importantes des assurances, des retraites, de la mutualité. ”

“ DIVISION
34. — Le quotient de deux nombres algébriques, appelés : le premier dividende, le second diviseur, est un troisième nombre qui, multiplié par le diviseur, donne un produit égal au dividende. ”

“ La fraction génératrice d'une fraction périodique mixte est égale à une fraction ayant pour numérateur la différence des nombres entiers obtenus en portant la virgule à droite puis à gauche de la première période, et pour dénominateur un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période, suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres irréguliers. ”

“ Ces nombres sont les termes de la progression. Quand la progression est limitée, le premier et le dernier terme en sont les extrêmes.
Si le premier terme est 5, et la raison 3, on indique ainsi la progression :
et on l'énonce : 5 est à 15 comme 15 est à 45, comme 45 est à 135, etc...
Si la raison est supérieure à 1, la valeur des termes va en augmentant, et la progression est croissante. Ex. : la progression (I) .
Si la raison est un nombre inférieur à 1, mais positif, la valeur des termes va en diminuant, et la progression est
décroissante. ”

“ SIMPLIFICATION
5. — On remplace les longues explications de la solution arithmétique par des symboles, c’est-à-dire des signes particuliers représentant chacun une idée très nette. Ce sont les signes et les lettres. ”

“ Toutes les fois que les termes d'un polynôme contiennent un ou plusieurs facteurs communs, il est avantageux, et parfois nécessaire, de faire cette transformation.
Règle. — 1° Chercher le groupe de facteurs communs (c'est le p.g.c.d. algébrique des termes) ”

“ On y parvient en transformant l'équation proposée successivement en d'autres équivalentes jusqu'à ce qu'on arrive à une équation très simple, donnant de suite la valeur de l'une des inconnues, d'où l'on tirera celles des autres s'il y en a plusieurs.
120. — Nature. — Une équation est entière quand elle ne contient pas d'inconnue au dénominateur ; fractionnaire, dans le cas contraire ; rationnelle, quand elle ne contient pas d'inconnue sous un radical ”

“ Lorsque les transformations sont telles que le facteur contenant l'inconnue n'apparaît pas dans chaque terme de la nouvelle équation, celle-ci n'admet pas de nouvelle racine, et elle est équivalente à la proposée. (Voir n° 127, IV et VI.)
125. — Conséquences. — I. — Quand on multiplie les deux membres d'une équation par une quantité contenant l'inconnue, on risque d'introduire des racines étrangères : il faut donc vérifier les racines trouvées, et rejeter celles qui ne conviennent pas à l'équation proposée. ”