Suite géométrique

“ Peut-on voir une rectitude géométrique dans un raisonnement poussé à, l'extrême à travers le monde des idées? Non sans doute, car on n'est pas géomètre par cela seul qu'on tire une ligne droite à travers l'espace. La géométrie, comme son nom l'indique, sert à mesurer la terre; elle la mesure par la loi du triangle, dont l'angle est le principe, et l'angle suppose deux lignes qui se joignent et se servent mutuellement de point de départ. ”

“ Il ne faut point perdre de vue que, pour qu'une question géométrique tombe dans le domaine propre de la géométrie descriptive, elle doit nécessairement avoir toujours été résolue préalablement par la géométrie spéculative, dont ensuite, comme nous l'avons vu, les solutions ont constamment besoin d'être préparées pour la pratique de manière à suppléer aux constructions en relief par des constructions planes, substitution qui constitue réellement la seule fonction caractéristique de la géométrie descriptive. ”

“ Cette géométrie est très fragile, des facteurs extérieurs et intérieurs interviennent pour en rompre la régularité. Le milieu, avec la complexité des mouvements contraires qui l'agitent, paraît s'opposer à toute réalisation géométrique durable. Tout objet ou tout être, au cours de son évolution, passe par un stade mou, plus ce stade se prolonge, plus la forme définitive est irrégulière.
Nous sommes amenés à concevoir comme géométriques les formes définies qui traduisent le jeu d'une ou de quelques lois simples, ce sont les polygones, les polyèdres, les courbes régulières. ”

“ Concevons que l'on insère entre deux termes consécutifs de la progression géométrique proposée un très-grand nombre de moyens géométriques, nous formerons une nouvelle progression géométrique qui renfermera une multitude de nombres. Si, par exemple, nous avons inséré mille moyens géométriques entre deux termes consécutifs, la nouvelle progression renfermera mille nombres compris entre 1 et 10,
mille entre 10 et 100, etc. ”

“ Quelle géométrie pourront-ils construire ? Il est clair d’abord qu’ils n’attribueront à l’espace que deux dimensions ; ce qui jouera pour eux le rôle de la ligne droite, ce sera le plus court chemin d’un point à un autre sur la sphère, c’est-à-dire un arc de grand cercle, en un mot leur géométrie sera la géométrie sphérique. ”

“ Quand les coefficients de trois coordonnées, dans l'équation d'un plan mobile, sont variables et ont entre eux une relation du premier degré, ce plan passe constamment par un point fixe ; Si ces coefficients ont entre eux une relation du second degré, le plan enveloppe une sur face du second degré ; Et, en général, si ces coefficients ont entre eux une relation du degré m, le plan enveloppe une surface géométrique, à laquelle on peut mener m plans tangents par une même droite. ”

“ En conséquence, les branches de courbes, les nappes de surfaces, associées par la définition géométrique, le seront par l'équation algébrique ; et lorsqu'on résoudra par des intersections de lieux géométriques les problèmes d'analyse déterminée, le nombre des racines associées algébriquement dans l'équation finale, cadrera exactement avec le nombre des solutions que comporte le problème géométrique, si l'énoncé est convenable. ”

“ DE LA GÉOMÉTRIE. 35
demie de Saint-Pétersbourg ( 1) ; par Carnot, dans sa Géométrie de position (2) ; par J. Français (3) , Poisson (4) , Binet ( 5) et Hachette (6) .
M. Gaultier, ancien élève de l'Ecole Polytechnique et professeur de Géométrie descriptive au Conservatoire des arts et métiers, donna le premier une solution géométrique générale du problème. Le beau travail qui contient cette solution est intitulé : Mémoire sur les moyens généraux de construire graphiquement un cercle déterminé par trois conditions, et une sphère déterminée par quatre conditions. ”

“ Les axiomes IV, 1-3 renferment des énoncés qui n’ont trait qu’aux congruences entre segments situés sur des droites. Ils seront, par suite, dits les axiomes linéaires au groupe IV. Les axiomes IV, 4-5 renferment des énoncés qui ont trait aux congruences entre angles. L’axiome IV, 3-6 rattache la notion de congruence de segments à celle de congruence d’angles. Les axiomes IV, 3-6 renferment des énoncés qui ont trait aux éléments de la Géométrie plane et seront nommés par suite les axiomes planaires du groupe IV.
§ 7. ”

“ Maintenant, si l'on construit l'épure qui donne la projection de la seconde conique sur le plan de la première, on aura un système de deux coniques situées dans un même plan, et dont toutes ces relations des deux courbes dans l'espace offriront des propriétés intéressantes, au nombre desquelles se trouvera le théorème que nous venons d'énoncer. ”

“ Ainsi, nous pouvons dire que les deux principes de dualité et d'homographie offrent une véritable méthode rationnelle pour appliquer aux figures sphériques les propriétés des figures planes, et, en un mot, pour former la Géométrie de la sphère; et cette partie de la science de l'étendue peut, dès aujourd'h ui, faire de rapides et faciles progrès. ”

“ Enfin, si l'on imagine les routes réduites à n'être que de simples lignes, leur point de rencontre ou mieux d'intersection, c'est-à-dire le point où elles se coupent, est un point tel qu'on l'entend en géométrie.
On voit par là qu'un point n'a pas d'étendue en réalité. ”

“ Pour qu'un espace à deux dimensions possède les propriétés géométriques qui nous ont été rendues familières par l'étude de la géométrie élémentaire, il est nécessaire que l'on puisse construire, en un point quelconque de cet espace, une figure congruente à une figure donnée. ”

“ Au contraire, il est toujours possible de généraliser le système primitif des points, droites et plans au moyen d’éléments « idéaux » ou « irrationnels » d’une manière telle que, sur une droite quelconque de la Géométrie ainsi construite, à chaque système de trois nombres réels corresponde sans exception un point. Au moyen d’une convention convenable, on peut également faire que, dans la Géométrie ainsi généralisée, les axiomes I-V soient tous vérifiés. Cette Géométrie généralisée (par l’adjonction des éléments irrationnels) n’est autre que la Géométrie analytique usuelle de l’espace. ”

“ Mais, si quelque reproche de ce genre pouvait être aujourd'hui formulé, ce n'est pas à la Géométrie, c'est à l'Analyse qu'il conviendrait, je crois, de l'adresser. Le cercle dans lequel paraissaient renfermées les études mathématiques au commencement du XIX" siècle a été brisé de tous côtés. Les problèmes anciens se présentent à nous sous une forme renouvelée, des problèmes nouveaux se posent, dont l'étude occupe des légions de travailleurs. Le nombre de ceux qui cultivent la Géométrie pure est devenu prodigieusement restreint. Il y a là un danger contre lequel il importe de se prémunir. ”

“ Il n’en est pas moins important de discuter les principes et les théorèmes fondamentaux de la Géométrie quand on fait abstraction de l’axiome des parallèles. Nous avons aussi exclu de notre étude la question importante de savoir s’il est possible, sans la notion du plan ni de la droite, au seul moyen des points comme éléments et en employant la notion des groupes des déplacements, ou a l’aide de la notion de distance, d’édifier la Géométrie d’une manière logique. ”

“ Dans la géométrie à trois dimensions, je voudrais exprimer la position d’une droite quelconque par où exprimerait la grandeur absolue de la droite, l’angle qu’elle fait avec l’axe des abscisses, et celui que le plan de l’angle fait avec le plan des mais toutes mes tentatives à cet égard ont été jusqu’ici infructueuses. Je désire que quelqu’un plus habile que moi vienne à bout de completter cette lacune. Quoi qu’il en soit, je suis persuadé que le vrai moyen d’étendre notre théorie des imaginaires à la géométrie à trois dimensions réside dans la considération des angles imaginaires. ”

“ Ces trois théories sont maintenant connues de tous les géomètres; nous rappellerons seulement ici les caractères distinctifs qu'elles ont permis de donner aux recherches de la Géométrie moderne, et qui consistent en ce que, dans toutes les relations de segments ou d'angles, la règle des signes s'observe, comme dans les résultats de la Géométrie analytique; et que les imaginaires, qui se présentent toujours par couples, comme dans les racines d'une équation du second degré, n'offrent aucune difficulté dans leur interprétation. ”

“ Il arrive souvent aussi qu’un certain problème particulier se rattache aux branches les plus diverses de la Science mathématique. C’est ainsi que le Problème des lignes géodésiques joue un rôle des plus importants au point de vue de l’histoire ainsi que des principes, dans les fondements de la Géométrie, dans la théorie des courbes et des surfaces, dans la Mécanique, et enfin dans le Calcul des variations. ”

“ Or, il est évident que chacun des arrangemens possibles et différens de ces côtés donnera lieu à un problème particulier, tout-à-fait distinct des autres, dont la solution devra proprement appartenir à la géométrie ordinaire. La première question à résoudre ; celle qui appartient tout-à-fait à la géométrie de situation, consiste donc à rechercher quel est le nombre et l’espèce des polygones réellement différens, quant à la succession des côtés, qu’il est possible de former, en assujettissant ces mêmes côtés à passer par un nombre de points donnés ? ”

“ Lorsqu'on emploie l'analyse à la recherche des propriétés géométriques, on ne fait pas autre chose pour mettre le problème en équation que d'écrire les équations des lignes qui sont les projections sur trois plans des lignes situées dans l'espace. ”

“ La Hire a le mérite très-grand d'avoir, le premier, conçu l'idée de se servir d'une telle déformation de figure comme méthode de Géométrie rationelle, pour transporter directement à une courbe les diverses propriétés d'une autre courbe décrite sur le même plan. ”

“ Il nous suffit, je crois, pour la prouver, de faire remarquer que la Géométrie plane n'est qu'un cas particulier de la Géométrie de la sphère, où l'on suppose le rayon infini; qu'ainsi toutes les vérités principales de la première doivent participer aux propriétés plus générales de la seconde : et il est toujours utile de contempler les vérités géométriques dans leur plus grande étendue, dans leur plus grande généralité, dans leur plus grande approximation, pour ainsi, dire, des lois suprêmes, dont la recherche doit être l'objet constant des efforts des géomètres. ”

“ À la vérité, cette manière de concevoir la représentation des lignes par des équations dans la géométrie analytique à trois dimensions, engendre, par sa nature, un inconvénient nécessaire, celui d'une certaine confusion analytique, consistant en ce que la même ligne peut se trouver ainsi exprimée, avec un même système de coordonnées, par une infinité de couples d'équations différens, vu l'infinité de couples de surfaces qui peuvent la former, ce qui peut présenter quelques difficultés pour reconnaître cette ligne à travers tous les déguisemens algébriques dont elle est susceptible. ”

“ En un mot, tous les phénomènes géométriques quelconques relatifs aux surfaces seront susceptibles d'être traduits par certaines conditions analytiques équivalentes propres aux équations à trois variables, et c'est dans l'établissement et l'interprétation de cette harmonie générale et nécessaire que consistera essentiellement la science de la géométrie analytique à trois dimensions. ”

“ Un géometre intelligent saura trouver de lui-même, & à l’aide des différens articles de ce Dictionnaire, les parties qui doivent composer chacune de ces masses.
Géométrie sublime. Après le plan que nous avons tracé pour la Géométrie transcendante, on voit que le calcul différentiel & ses usages y sont presqu’épuisés ; il ne reste plus à la Géométrie sublime que le calcul intégral, & son application à la quadrature & à la rectification des courbes. Ce calcul fera donc la matiere principale & presque unique de la Géométrie sublime. Sur la maniere dont on doit le traiter, voyez Intégral. ”

“ Quand une corde d'une sphère tourne autour d'un point fixe, les tangentes trigonométriques des demi-angles que les rayons de la sphère, menés aux extrémités de la corde, font avec le rayon mené au point fixe, ont un produit constant *. Supposons que la sphère ait son centre au foyer d'une surface du second degré de révolution : ces deux surfaces seront homologiques, et le foyer sera leur centre d'homologie. Les points qui correspondront, dans la surface de révolution, aux extrémités de la corde de la sphère, seront sur les prolongements des rayons menés à ces extrémités ”

“ La Géométrie nouvelle emploie la même chose pour les solides. Une surface à laquelle on donne une hauteur infiniment petite, est l’élément d’un solide, & cet élément se transforme en ce solide même par le calcul intégral. ”

“ Tous les autres théorèmes de la Géométrie élémentaire qui se rapportent à l’égalité par soustraction des polygones, en particulier le théorème de Pythagore, sont de simples conséquences des théorèmes que nous venons d’énoncer. Néanmoins en poussant plus loin la théorie des aires nous rencontrons une difficulté essentielle. ”

“ La partie de la Géométrie transcendante qui applique le calcul différentiel & intégral à la recherche des propriétés des courbes, est celle qu’on appelle plus proprement Géométrie transcendante, & qu’on pourroit nommer avec quelques auteurs modernes, Géométrie sublime, pour la distinguer non-seulement de la Géométrie élémentaire, mais de la Géométrie des courbes qui n’employe pas les calculs différentiel & intégral, & qui se borne ou à la synthèse des anciens, ou à la simple application de l’analyse ordinaire. ”

“ Donc, quelle que soit la transversale menée à travers les plans A, B,
gravité, parce que, pour passer de la première à la seconde, il suffit de supposer que plusieurs points du système se réunissent en un seul. ”