Henri Poincaré

“ Les deux principes de Meyer et de Clausius lui assureront-ils des fondations assez solides pour qu’il dure quelque temps ? Personne n’en doute ; mais d’où nous vient cette confiance ?
Un physicien éminent me disait un jour à propos de la loi des erreurs : Tout le monde y croit fermement parce que les mathématiciens s’imaginent que c’est un fait d’observation, et les observateurs que c’est un théorème de mathématiques. Il en a été longtemps ainsi pour le principe de la conservation de l’énergie. Il n’en est plus de même aujourd’hui ; personne n’ignore que c’est un fait expérimental. ”

“ Loin de là : j’ai dit plus haut que dès qu’un phénomène obéit aux deux principes de l’énergie et de la moindre action, il comporte une infinité d’explications mécaniques ; il en est donc ainsi des phénomènes optiques et électriques.
Mais cela ne suffit pas ; pour qu’une explication mécanique soit bonne, il faut qu’elle soit simple ; il faut que, pour la choisir entre toutes celles qui sont possibles, on ait d’autres raison que la nécessité de faire un choix. Eh bien, une théorie qui satisfasse à cette condition et par conséquent qui puisse servir à quelque chose, nous n’en avons pas encore. ”

“ I La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n’est déductive qu’en apparence, d’où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu’elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d’essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d’identité, tout devrait aussi pouvoir s’y ramener. ”

“ C’est ce qu’a fait Fitzgerald, par une hypothèse surprenante : il admet que tous les corps subissent une contraction d’un cent-millionième environ dans la direction du mouvement de la Terre. Une sphère parfaite devient un ellipsoïde aplati, et si on la fait tourner, elle se déforme de façon que le petit axe de l’ellipsoïde reste toujours parallèle à la vitesse de la Terre. Comme les instruments de mesure subissent les mêmes déformations que les objets à mesurer, on ne s’aperçoit de rien, à moins qu’on ne s’avise de déterminer le temps que met la lumière pour parcourir la longueur de l’objet. ”

“ Pour faire comprendre que c’est bien là la généralisation naturelle de la loi d’inertie, je demanderai qu’on me permette une fiction. La loi d’inertie, je l’ai dit plus haut, ne s’impose pas à nous à priori ; d’autres lois seraient, tout aussi bien qu’elle, compatibles avec le principe de raison suffisante. Si un corps n’est soumis à aucune force, au lieu de supposer que sa vitesse ne change pas, on pourrait supposer que c’est sa position, ou encore son accélération qui ne doit pas changer. ”

“ Si l’on ne s’en souvenait, on ne comprendrait pas que M. Dedekind désigne par le nom de nombre incommensurable un simple symbole, c’est-à-dire quelque chose de très différent de l’idée que l’on croit se faire d’une quantité, qui doit être mesurable et presque tangible.
Voici maintenant quelle est la définition de M. Dedekind :
On peut répartir d’une infinité de manières les nombres commensurables en deux classes, en s’assujettissant à cette condition qu’un nombre quelconque de la première classe soit plus grand qu’un nombre quelconque de la seconde classe. ”

“ Par exemple, en vertu des lois de Newton, la durée de la révolution de la terre doit être constante. Mais si elle est égale à 366 jours sidéraux et quelque chose et non à 300 ou à 400, c’est par suite de je ne sais quel hasard initial. C’est une constante accidentelle. Si au contraire l’exposant de la distance qui figure dans l’expression de la force attractive, est égal à — 2 et non pas — 3, ce n’est pas par hasard, c’est parce que la loi de Newton l’exige. C’est une constante essentielle. ”

“ Si timide que l’on soit, il faut bien que l’on interpole ; l’expérience ne nous donne qu’un certain nombre de points isolés, il faut les réunir par un trait continu ; c’est là une véritable généralisation. Mais on fait plus, la courbe que l’on tracera passera entre les points observés et près de ces points ; elle ne passera pas par ces points eux-mêmes. Ainsi on ne se borne pas à généraliser l’expérience, on la corrige ; et le physicien qui voudrait s’abstenir de ces corrections et se contenter vraiment de l’expérience toute nue serait forcé d’énoncer des lois bien extraordinaires. ”

“ Si l’on veut s’imaginer une ligne, ce ne pourra être qu’avec les caractères du continu physique, c’est-à-dire qu’on ne pourra se la représenter qu’avec une certaine largeur. Deux lignes nous apparaîtront alors sous la forme de deux bandes étroites, et si l’on se contente de cette image grossière, il est évident que si les deux lignes se traversent, elles auront une partie commune.
Mais le géomètre pur fait un effort de plus : sans renoncer tout à fait au secours de ses sens, il veut arriver au concept de la ligne sans largeur, du point sans étendue. ”

“ De chaque expérience, une foule de conséquences pourront sortir par une série de déductions mathématiques, et c’est ainsi que chacune d’elles nous fera connaître un coin de l’Univers.
Voilà quelle est pour bien des gens du monde, pour les lycéens qui reçoivent les premières notions de physique, l’origine de la certitude scientifique. Voilà comment ils comprennent le rôle de l’expérimentation et des mathématiques. C’est ainsi également que le comprenaient, il y a cent ans, beaucoup de savants qui rêvaient de construire le monde en empruntant à l’expérience aussi peu de matériaux que possible. ”

“ Dans l’histoire du développement de la physique, on distingue deux tendances inverses. D’une part, on découvre à chaque instant des liens nouveaux entre des objets qui semblaient devoir rester à jamais séparés ; les faits épars cessent d’être étrangers les uns aux autres ; ils tendent à s’ordonner en une imposante synthèse. La science marche vers l’unité et la simplicité.
D’autre part, l’observation nous révèle tous les jours des phénomènes nouveaux ; il faut qu’ils attendent longtemps leur place et quelquefois, pour leur en faire une, on doit démolir un coin de l’édifice. ”

“ Mais le premier critère est suffisant ; je sais que s’il répond oui, tous les autres critères donneront la même réponse. Je le sais par expérience, je ne puis le savoir à priori. C’est aussi pour cela que je dis que le toucher ne peut s’exercer à distance, c’est une autre manière d’énoncer le même fait expérimental. Et, si je dis au contraire que la vue s’exerce à distance, cela veut dire que le critère fourni par la vue peut répondre oui, tandis que les autres répondent non.
Et en effet l’objet, bien que s’étant éloigné, peut former son image au même point de la rétine. ”

“ Ici donc, le passage à la limite nous aurait trompés ; il a fallu que l’esprit devançât l’expérience et, s’il l’a fait avec succès, c’est qu’il s’est laissé guider par l’instinct de la simplicité.
La connaissance du fait élémentaire nous permet de mettre le problème en équation ; il ne reste plus qu’à en déduire par combinaison le fait complexe observable et vérifiable. C’est ce qu’on appelle l’intégration ; c’est là l’affaire du mathématicien.
On peut se demander pourquoi, dans les sciences physiques, la généralisation prend volontiers la forme mathématique. ”

“ C’est le troisième degré de généralité, auquel on s’élève, par exemple, quand on cherche à deviner la loi la plus probable d’après un nombre fini d’observations.
On peut se placer à un point de vue tout différent. Si nous n’étions pas ignorants, il n’y aurait pas de probabilité, il n’y aurait de place que pour la certitude ; mais notre ignorance ne peut être absolue, sans quoi il n’y aurait pas non plus de probabilité, puisqu’il faut encore un peu de lumière pour parvenir même à cette science incertaine. ”

“ L’esprit a de cette puissance une intuition directe et l’expérience ne peut être pour lui qu’une occasion de s’en servir et par là d’en prendre conscience.
Mais, dira-t-on, si l’expérience brute ne peut légitimer le raisonnement par récurrence, en est-il de même de l’expérience aidée de l’induction ? Nous voyons successivement qu’un théorème est vrai du nombre 1, du nombre 2, du nombre 3 et ainsi de suite, la loi est manifeste, disons-nous, et elle l’est au même titre que toute loi physique appuyée sur des observations dont le nombre est très grand, mais limité. ”

“ Nous lui devons la théorie de la pile, celle des phénomènes thermo-électriques ; il n’est pas dans toute la physique de coin qu’elle n’ait exploré et elle s’est attaquée à la chimie elle-même. Partout règnent les mêmes lois ; partout, sous la diversité des apparences, on retrouve le principe de Carnot ; partout aussi ce concept si prodigieusement abstrait de l’entropie, qui est aussi universel que celui de l’énergie et semble comme lui recouvrir une réalité. ”

“ Mais en Physique, il n’en est pas de même : si les phénomènes physiques sont dus à des mouvements, c’est aux mouvements de molécules que nous ne voyons pas. Si alors l’accélération d’un des corps que nous voyons nous paraît dépendre d’autre chose que des positions ou des vitesses des autres corps visibles ou des molécules invisibles dont nous avons été amenés antérieurement à admettre l’existence, rien ne nous empêchera de supposer que cette autre chose est la position ou la vitesse d’autres molécules dont nous n’avions pas jusque-là soupçonné la présence. ”

“ Un autre cadre que nous imposons au monde, c’est l’espace. D’où viennent les premiers principes de la géométrie ? Nous sont-ils imposés par la logique ? Lobatchevsky a montré que non en créant les géométries non euclidiennes. L’espace nous est-il révélé par nos sens ? Non encore, car celui que nos sens pourraient nous montrer diffère absolument de celui du géomètre. La géométrie dérive-t-elle de l’expérience ? ”

“ Que fait-on quand on veut appliquer le calcul des probabilités à une semblable question ? Quelle est la probabilité pour qu’un ou plusieurs points représentatifs se trouvent dans telle partie du plan ? Dans notre ignorance nous sommes réduits à faire une hypothèse arbitraire. Pour faire comprendre la nature de cette hypothèse, qu’on me permette d’employer au lieu d’une formule mathématique, une image grossière, mais concrète. Imaginons qu’on ait répandu sur la surface de notre plan une matière fictive dont la densité sera variable mais variera d’une manière continue. ”

“ Nous sommes donc ramenés à la définition de Kirchhoff : la force est égale à la masse multipliée par l’accélération. Cette « loi de Newton » cesse à son tour d’être regardée comme une loi expérimentale, elle n’est plus qu’une définition. Mais cette définition est encore insuffisante, puisque nous ne savons pas ce que c’est que la masse. Elle nous permet sans doute de calculer le rapport de deux forces appliquées à un même corps à des instants différents ; elle ne nous apprend rien sur le rapport de deux forces appliquées à deux corps différents. ”

“ Pour lui la vitesse de l’éther aurait même direction et même grandeur que la force magnétique. Cette vitesse nous est donc connue puisque la force magnétique est accessible à l’expérience. Quelque ingénieuse que soit cette tentative, le défaut de la théorie de Lorentz subsiste et même il s’aggrave. L’action n’est pas égale à la réaction. Avec Lorentz, nous ne savions pas quels sont les mouvements de l’éther ; grâce à cette ignorance, nous pouvions les supposer tels que, compensant ceux de la matière, ils rétablissent l’égalité de l’action et de la réaction. ”

“ Stuart Mill a prétendu que toute définition contient un axiome, puisqu’en définissant on affirme implicitement l’existence de l’objet défini. C’est aller beaucoup trop loin ; il est rare qu’en mathématiques on donne une définition sans la faire suivre par la démonstration de l’existence de l’objet défini, et quand on s’en dispense, c’est généralement que le lecteur y peut aisément suppléer. Il ne faut pas oublier que le mot existence n’a pas le même sens quand il s’agit d’un être mathématique et quand il est question d’un objet matériel. ”

“ Toute conclusion suppose des prémisses ; ces prémisses elles-mêmes ou bien sont évidentes par elles-mêmes et n’ont pas besoin de démonstration, ou bien ne peuvent être établies qu’en s’appuyant sur d’autres propositions, et comme on ne saurait remonter ainsi à l’infini, toute science déductive, et en particulier la géométrie, doit reposer sur un certain nombre d’axiomes indémontrables. Tous les traités de géométrie débutent donc par l’énoncé de ces axiomes. ”

“ On a cherché aussi une explication mécanique proprement dite de ces phénomènes. Ils ne s’y prêtaient guère. Pour la trouver, il a fallu supposer que l’irréversibilité n’est qu’une apparence, que les phénomènes élémentaires sont réversibles et obéissent aux lois connues de la dynamique. Mais les éléments sont extrêmement nombreux et se mêlent de plus en plus, de sorte que pour nos yeux grossiers tout paraît tendre vers l’uniformité, c’est-à-dire que tout semble marcher dans le même sens, sans espoir de retour. L’irréversibilité apparente n’est ainsi qu’un effet de la loi des grand nombres. ”

“ Mais si notre système est l’univers entier, l’expérience est impuissante à nous renseigner sur sa position et son orientation absolues dans l’espace. Tout ce que nos instruments, si perfectionnés qu’ils soient, pourront nous faire connaître, ce sera l’état des diverses parties de l’univers et leurs distances mutuelles.
De sorte que notre loi de relativité pourra s’énoncer ainsi :
Les lectures que nous pourrons faire sur nos instruments, à un instant quelconque, dépendront seulement des lectures que nous aurions pu faire sur ces mêmes instruments à l’instant initial. ”

“ Leur but unique est de coordonner les lois physiques que l’expérience nous fait connaître, mais que sans le secours des mathématiques nous ne pourrions même énoncer.
Peu nous importe que l’éther existe réellement, c’est l’affaire des métaphysiciens ; l’essentiel pour nous c’est que tout se passe comme s’il existait et que cette hypothèse est commode pour l’explication des phénomènes. Après tout, avons-nous d’autre raison de croire à l’existence des objets matériels ? ”

“ La contradiction cesse dès que le nombre des termes est regardé comme infini ; rien n’empêche, par exemple, de considérer l’ensemble des nombres entiers comme semblable à l’ensemble des nombres pairs qui n’en est pourtant qu’une partie ; et, en effet, à chaque nombre entier correspond un nombre pair qui en est le double.
Mais ce n’est pas seulement pour échapper à cette contradiction contenue dans les données empiriques que l’esprit est amené à créer le concept d’un continu, formé d’un nombre indéfini de termes. ”