Nombre pair

“ Nota. Ici, encore, je rappelle que le résultat de la division d'un nombre pair PAR un nombre impair peut aussi être reconnu FAUX à l'instant même, bien que le calculateur ait trouvé qu'elle se fait exactement, et qu'elle donne un quotient de l'espèce voulue par le 2° ci-dessus, c'est-à-dire pair. ”

“ Le nombre qui divise les deux termes d'une fraction, se nomme diviseur commun aux deux termes de la fraction.
55. Tout nombre divisible par 2, s'appelle nombre pair.
56. Tout nombre qui n'a d'autre diviseur que lui-même ou l'unité, comme 1, 2, 3, 5, 7, 11, i3, 17, 19, 2.3 , etc., s'appelle nombre premier ou impair. ”

“ REMARQUE. Quand les chiffres de rang impair ont une somme plus grande que ceux de rang pair, on peut dire : un nombre entier est égal à un multiple de 11, augmenté de l'excès de la somme des chiffres de rang impair sur la somme des chiffres de rang pair. Quand, au contraire, la somme des chiffres de rang pair est la plus grande, on peut dire : un nombre entier est égal à un multiple de 11, diminué de l'excès de la somme des chiffres de rang pair sur celle des chiffres de rang impair. ”

“ HADRIEN.→ Je ne sais ce que signifie le mot terme que vous venez d’employer, ni ceux de dénomination ou de quantité des parties. SAPIENCE.→ Lorsque des nombres aussi grands qu’on voudra sont rangés dans un ordre croissant, le premier est appelé terme mineur et le dernier terme majeur; et lorsque faisant une division nous disons que tel nombre forme telle partie d’un autre nombre, nous faisons une dénomination (88) ; et quand nous énumérons combien il y a [399] d’unités dans chaque partie, nous exposons ce qu’on appelle la quantité des parties. HADRIEN.→ Et quel est le nombre impairement pair? ”

“ RÉPONSE. Le nombre k est-il pair, c'est-à-dire compris sous la formule 2* n? Il y en a AUTANT de chaque espèce, n de chaque, puisque 2. n se divise EN 2 parties égales, chacune de n Cela est évident. Car les nombres commençant par un impair et finissant par un pair, et étant alternatifs, il y en a autant de pairs que d'impairs. ”

“ En eflet : prenons un nombre quelconque de marrons, mais tel que sa division EN 2 parties égales n,n soit possible, la virgule marquant la division on le partage EN 2 nombres égaux, chacun de n ; Il est évident que le nombre total n'est autre que n + n ou 2. n, c'est-à-dire la somme de 2 nombres égaux ou identiques, chacun de n, et par conséquent un nombre PAIR, en vertu de la définition [452] . ”

“ L’infini des Nombres est un fait prouvé pour votre Esprit, dont aucune preuve ne peut être donnée matériellement. Le Mathématicien vous dira que l’infini des Nombres existe et ne se démontre pas. Dieu, cher pasteur, est un nombre doué de mouvement, qui se sent et ne se démontre pas, vous dira le Croyant. Comme l’Unité, il commence des Nombres avec lesquels il n’a rien de commun. L’existence du Nombre dépend de l’Unité qui, sans être un Nombre, les engendre tous. Dieu, cher pasteur, est une magnifique Unité qui n’a rien de commun avec ses créations, et qui néanmoins les engendre ! ”

“ Sans doute, ainsi que l’ont dit les Pythagoriciens, les Nombres se trouvent partout dans le monde où nous vivons, dans le ciel, que nous contemplons, dans la nature, que nous cherchons à interpréter. Le nombre est à l’état d’unité dans chacun des individus que nos sens perçoivent ; il est à l’état de multiplicité dans les collections que les individus peuvent former, soit dans une même espèce, soit dans des espèces différentes. Sans doute encore, il y a dans l’univers, dans le monde, des proportions et des harmonies, comme il y en a dans les sons que calculent les mathématiques. ”

“ LE GROUPE NOMINAL § 95. Le groupe nominal est l’ensemble constitué par le substantif (ou l’adjectif prédicat, cf. § 150) et les éléments construits avec lui.
Ces éléments peuvent se répartir en deux groupes : déterminants, qui ajoutent à la notion nominale une caractérisation abstraite de l’ordre de celles qu’exprime la flexion (genre, nombre, etc.) ; compléments, mots pleins, exprimant une notion plus ou moins concevable indépendamment de la notion exprimée par le nom régi. ”

“ Si vous avez bien compris, mes enfants, ce que c'est que le numérateur et le dénominateur d'une fraction, vous en conclurez tout de suite que plus le numérateur d'une fraction est grand, plus la fraction est grande, puisqu'on prend alors un plus grand nombre des parties de l'unité; et que, au contraire, plus le dénominateur est grand plus la fraction est petite, puisqu'alors l'unité est partagée en un plus grand nombre de parties. ”

“ On entend par parties, une ou plusieurs fractions d'un nombre que l'on appelle entier, lequel se divise ou se fractionne en plus ou moins de parties égales, comme 4/4, 6/6, 8/8 et 12/12, etc., c'est-à-dire que chacun de ces, nombres se compose seulement de 4, 6, 8 et 12 parties égales, et que par conséquent chacune ou plusieurs de ces parties réunies ensemble sont des fractions de l'entier comme 1/4, 2/6, 3/8 et 4/12.
DES NUMÉRATEUR ET DÉNOMINATEUR.
On distingue deux principaux termes dans les fractions; Le premier se nomme numérateur et le second dénominateur ”

“ Voyez si le plus grand dénominateur contient exactement tous les autres , s'il ne les contient pas tous, essayez son double, ensuite son triple, son quadmple, etc., jusqu'à ce que vous ayez trouvé un des multiples de ce plus grand dénominateur, qui contienne exactement tous les autres dénominateurs; divisez ce multiple successivement par chacun des dénominateurs, et écrivez chaque quotient auprès de la fraction dont vous avez pris le dénominateur pour diviseur ; enfin multipliez les deux termes de chaque fraction par le nombre écrit auprès. ”

“ Et pour que ces paragraphes soient plus savants, pour qu’ils soient véritablement scientifiques nous les numéroterons. Tout le monde sait que la numérotation c’est la numération, et que la numération, que le numéro fait le commencement de la science. Car le numéro en bon français n’est-il pas le nombre et le nombre ne fait-il pas l’une partie, n’est-il pas l’une matière des deux de la mathématique. ”

“ « Toutes les lettres ou chiffres avec parenthèses ou crochets d’une équation sont réunis en un seul groupe, c’est-à-dire qu’ils forment un polynôme. On les compose sans espace. »
xxxx J. Dumont [11] exprime la même règle : « Toutes les lettres, parenthèses, chiffres et crochets d’une formule se groupent sans espace », en faisant toutefois une exception pour les lettres grecques détachées, « au moyen d’une fine espace, des lettres italiques qui les accompagnent ».
26. Afin d’indiquer que la racine d’un nombre est à chercher, on emploie le signe
qui est désigné sous le nom de radical. ”

“ Le nombre est la propriété par laquelle les noms expriment l'unité ou la pluralité.
En d'autres termes, le nombre dans les noms indique si l'on parle d'un seul être ou de plusieurs êtres.
Il y a deux nombres : le singulier et le pluriel.
On se sert du singulier quand on parle d'un seul être : un homme, une table ; on se sert du pluriel quand on parle de plusieurs êtres : des hommes, des tables.
Les noms au pluriel ont une s, qu'on ne trouve pas dans les noms au singulier. ”

“ Non seulement chaque chiffre exprime à sa façon une idée essentielle, mais la combinaison des chiffres, c’est-à-dire leur rang dans la série et leur place dans le nombre, se réalise conformément aux lois mêmes de la logique scientifique. En ce sens, ils constituent une véritable langue nouvelle dont les phrases, ici les nombres, sont formées selon des règles syntaxiques constantes au moyen de mots, ici les chiffres. ”

“ Exprimez chacun de ces accords par la fraction qui lui est propre ; multipliez ensuite ces deux : fractions ensemble, c’est-à —.dire, numérateur par numérateur, & dénominateur par dénominateur : le nombre qui en proviendra exprimera l’accord qui résulte de la somme de deux donnés.
Exemple premier. Soient la quinte & la quarte à ajouter ensemble ; l'expression de la quinte est 2/3, celle de la quarte est 3/4 : multipliez 2/3 par 3/4 ; le produit est 6/12 ou 1/2, qui est l’expression de l’octave. On sait effectivement que l’octave est composée d’une quinte & d’une quarte. ”

“ Quand un nombre contient un nombre entier d’unités, & qu’il contient de plus de ces sortes de parties, qui sont des dixièmes de l’unité, des centièmes, des millièmes, &c. l’on ajoûte les chiffres qui marquent ces parties dans la même ligne au devant de l’unité, en allant dans ce cas de gauche à droite, & quand il manque un chiffre dans l’un des rangs, on marque 0 dans ce rang-là pour distinguer les rangs qui sont plus à droite. ”

“ Les impairs sont 1 de plus que les pairs, puisqu'ils commencent et finissent par un impair. Les pairs sont donc la petite moitié de 2. n + 1, c'est-à-dire n; et les impairs sont la grande moitié, c'est-à-dire n + 1 524. 1° D'un nombre plus petit k a un nombre plus grand n, COMBIEN y a-t-il de nombres? ”

“ DES MOTS ET DES SIGNES QUI SERVENT A LA NUMERATION.
174. Les nations civilisées de l'Europe, à l'exemple des peuples asiatiques, ont adopté et consacré pour la notation d'une certaine série d'idées, celles de nombre et de quantité, des signes qui ne se rattachent point au système suivi pour la notation des autres idées exprimées par les mots de leur langue parlée. Les signes de nombre, ou chiffres, n'ont aucune sorte de rapport avec les sons articulés par lesquels on rappelle l'idée de ces mêmes nombres, car leur nature s'éloigne entièrement de celle des lettres. ”

“ Quand plusieurs chiffres sont placés sur la même ligne, comme les lettres d'un mot, chaque chiffre significatif représente des unités de l'ordre correspondant à la place qu'il occupe, comptée à partir de la droite.
Ainsi dans le nombre 2864, le 4 représente des unités simples, ou des unités du 1" ordre; le 6 des unités du 2° ordre, ou des dizaines; le 8 des unités du 3e ordre ou des centaines, etc. Lire un nombre écrit en chiffres.
si. DÉFINITION. Lire un nombre écrit en chiffres, c'est exprimer ce nombre par des mots. L'énoncé du nombre est la phrase qui l'exprime. ”

“ Définition. — On appelle numération la partie de l'arithmétique qui apprend : 1° à former les nombres, 20 à les nommer, 3° à les écrire. Nous allons nous occuper successivement des trois parties dont se compose la numération.
12. Formation des nombres. — L'unité est un nombre (7) .
Si l'on ajoute l'unité à elle-même, on a un nouveau nombre; si à celui-ci on ajoute l'unité, on a le suivant, et ainsi de suite. Donc pour
avoir un nouveau nombre, il suffit d'ajouter l'unité à un nombre déjà obtenu. ”

“ On est dix gentlemen qui mettent chacun un louis et qui s’affublent, chacun, par voie de tirage au sort, d’un numéro différent, de 0 à 9. Celui qui a le numéro qui correspond au chiffre des unités du nombre de milles parcourus dans les vingt-quatre heures a gagné la poule. ”

“ Système de numération. 1. On appelle unité un objet quelconque.
2. Dans un assemblage d'unités, le nombre indique combien il y a de ces unités. Lorsque, par exemple, on dit qu'il y a vingt arbres dans une allée, le nombre est vingt.
Le nombre est une chose essentiellement abstraite plus tard nous en donnerons une définition générale.
5. L'Arithmétique est la science des nombres
4. ”

“ THÉORÈME III. La condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre entier soit le carré d'un autre nombre entier est que tous ses facteurs premiers aient des exposants pairs.
1° Cette condition est nécessaire ; car, un nombre étant décomposé en facteurs premiers, on forme son carré en doublant les exposants de ses facteurs, qui, par là, deviennent tous pairs. ”

“ III. En se fondant sur la proposition précédente et sur celle qui a été énoncée (Chap. I, ex. III) , on peut prouver que l'opération du plus grand commun diviseur exige un nombre de divisions au plus égal à cinq fois le nombre des chiffres du plus petit des deux nombres.
CHAPITRE VII.
THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS.
Définitions.
109. Un nombre entier est dit premier lorsque n'a pas d'autres diviseurs entiers que lui-même et l'unité. ”

“ A l'exception de premier et second, tous les adjectifs déterminatifs numéraux ordinaux se forment des adjectifs déterminatifs numéraux cardinaux en changeant f en vième, pour ceux qui finissent en f; en changeant l'e muet en ième, pour ceux qui finissent en e; enfin, en ajoutant ième à ceux qui finissent par une consonne.
« Neuf, neuvième.
« Douze, douzième.
« Cinq, cinquième, » etc.
Les adjectifs dèterminatifs numéraux partitifs ou adjectifs dèterminatifs numéraux indéfinis sont ceux qui
servent à marquer le nombre, la quantité, d'une manière indéterminée, indéfinie. ”