Carré parfait

“ Nous voyons par là que le carré de 57 se compose : 1° du carré des unités 49; 20 du produit 35 des dizaines par les unités et du produit 35 des unités par les dizaines, ou, en réunissant ces deux parties en une seule, de 2 fois le produit des dizaines par les unités;
(a) On appelle carré parfait tout nombre tel que l'on en peut trouver un autre qui, multiplié par lui-même, le reproduit exactement. Nous verrons plus loin que tout nombre entier, qui n'a pas de racine carrée exacte en nombre entier, n'en a pas non plus en nombre fractionnaire, et par conséquent n'est pas un carré parfait. ”

“ Il suit de là que tout nombre, pour être un carré parfait, doit avoir tous ses facteurs premiers en nombre pair, et réciproquement, tout nombre dans lequel chaque facteur premier est en nombre pair, est un carré parfait.
(Ainsi, 900 est un carré parfait, puisque, décomposé en facteurs, il donne 2X2X3X3X5X5, et sa racine carrée est égale à 2 X 3 X 5 ou 30) . ”

“ Quand un nombre n'est pas un carré parfait, sa racine, à une unité près, ou simplement sa racine est la racine du plus grand carré contenu dans ce nombre. Par exemple, 21 étant compris entre 16 et 25, le plus grand carré qui soit contenu dans 21 est 16, dont la racine est 4. ”

“ COROLLAIRE. — Pour qu'un nombre soit carré parfait, il faut et il suffit que les exposants de ses facteurs premiers soient pairs. Cette condition est nécessaire d'après le théorème précédent, et elle est suffisante d'après les théorèmes (76) et (77) .
REMARQUE. — Le dernier chiffre du carré d'un nombre est toujours le dernier chiffre du carré de sa racine. Les carrés des
neuf premiers nombres étant terminés par les chiffres 1, 4, 5, 6, 9, tout nombre qui ne sera pas terminé par l'un de ces chiffres ne sera pas carré parfait. ”

“ Si nous ployons un carré parfait diagonalement une seule fois, d'un angle à l'autre qui lui est opposé, nous obtenons deux triangles rectangles isocèles, ayant pour hypoténuse la diagonale ou le pli qui adonné les deux triangles, et pour côtés, les côtés du carré.. ”

“ C’était un carré parfait que couronnait, à sa partie supérieure, une petite corniche de proportion exacte, et dont la partie inférieure était garnie de moulures moyennes. L’espace libre formait un dé rectangulaire un peu plus large que haut. ”

“ Le carrd de l'liypoldnuse.
carte de visite et des ciseau.x, s'en aervir pour faire la démonstration du théorème du carré de l'hypoténuse. Coupez la carte de manière à en conserver un carré parfait ABCD (fig. 52) . Coupez ce carré suivant BE, -c'est-à-dire par le sommet B et un point E quelconque pris sur Ab. Coupez ensuite par les sommets A et C, suivant AF et CG, perpendiculaires sur BE. Détachez du carré le triangleX et placez-le en haut de la figure. AB coïncidant avec CD. Détachez de même le triangle Y (qui est égal au triangle X) et mettez-le & gau- ”

“ Pareillement la partie du carré est la partie dénommée d’après le nombre égal à ce carré, que ce nombre soit entier ou fractionnaire ; et il en est de même relativement à la partie du cube. Et, pour en rendre l’évidence plus palpable, disposons ces parties en tableau :
La partie du cube est à la partie du carré comme la partie du carré à la partie de la racine, comme la partie de la racine à l’unité, comme l’unité à la racine, comme la racine au carré, et comme le carré au cube. ”

“ Car toute vérité, si profonde qu'elle soit, est intelligible, et peut s'énoncer au moyen de la parole , qui est le moule et
la représentation du vrai. Je suppose, par exemple, que vous ignoriez les mathématiques, et que j'aie mission de vous les apprendre , voici une vérité de cet ordre que je devrais quelque jour vous présenter : Si l'on construit un carré sur l'hypothénuse d'un triangle rectangle, la surface de ce carré sera égale à la surface des carrés que l'on construirait sur les deux autres côtés du même triangle. ”

“ « Un cube et des carrés sont égaux à des côtés et un nombre (** [17] ) . »
Faisons BD (fig. 27) égale au côté d’un carré égal au nombre donné des côtés, et CB égale au nombre donné des carrés. Que CB soit perpendiculaire à BD. Construisons un solide ayant pour base le carré de BD, et égal au nombre donné. ”

“ Le produit qui résulte de la multiplication d'un nombre par lui-même est le carré de ce nombre. La racine d'un carré est le nombre qui, multiplié par luimême, donne le carré.
L'addition des figures semblables fournit une preuve décisive de la nécessité d'abandonner les échelles, quand on veut faire les opérations d'une manière qui puisse se démontrer rigoureusement. ”

“ En géométrie, le carré est une figure plane qui a quatre côtés égaux et quatre angles droits. Pour connaître la surface d'un carré, on n'a qu'à multiplier par lui-même le nombre qui représente la longueur de l'un des côtés du carré. ”

“ D’abord je mesurai, avec le plus grand soin, le carré sis au-dessous des doubles colonnes placées de chaque côté de la porte, et, par cette mensuration, je compris bientôt son admirable symétrie. C’est ce que je vais, ici, expliquer brièvement. Si on élève un carré ABCD et qu’on le divise par trois lignes équidistantes horizontales et par trois autres semblables perpendiculaires, on obtiendra seize carrés ; superposant à ce carré une figure qui n’en soit que la moitié, puis y traçant des divisions égales aux premières, on obtiendra en tout vingt-quatre carrés. ”

“ Si donc tous ces nombres sont espacés de manière à conserver entr'eux la même distance , il est évident que leur ensemble formera un carré (i) A B D C que nous nommerons Table d'Addition. Il n'y aura donc, pour s'en servir, qu'à considérer les deux nombres qu'on se propose d'ajouter , l'un dans la ligne A C , et l'autre dans la ligne A B, et à descendre perpendiculairement à cette dernière jusqu'à la rencontre du nombre placé vis-à-vis de celui considéré dans la ligne A C, et suivant la seconde ligne.
(i) Un carré est une figure de quatre côtés, qui a tous ses angles et ses côtés égaux. ”

“ La seconde puissance d'un nombre a reçu le nom de carré parce que c'est de ce nom qu'est qualifiée la figure géométrique ci-dessous, dont les quatre côtés sont égaux, et dont l'aire ou la surface, ou si l'on veut la superficie, qui porte encore le même nom de carré, s'obtient en multipliant le côté par lui-même. ”

“ Remarquons que le carré reste magique si l’on ajoute un même nombre à tous ses nombres ou si on les multiplie par un même nombre.
On a donné dans l’Antiquité une importance symbolique à ces combinaisons qu’on retrouve dans presque tous les talismans.
Les carrés magiques deviennent diaboliques, s’ils sont tels que si on divise le carré en deux rectangles égaux ou inégaux et qu’on échange les deux parties, le carré reste magique.
Exemple :
CHARLES XII Quelques personnes ont voulu faire passer ce prince pour un bon mathématicien ”

“ Ces premières ouvertures aiguillonnent l’esprit du jeune homme. Son maître lui ayant dit que la diagonale d’un carré est incommensurable, immesurable aux côtés et aux bases, lui apprend qu’avec cette ligne, dont on ne saura jamais la valeur, il va faire cependant un carré qui sera démontré être le double du carré A B C D.
Pour cela, il lui fait voir premièrement que les deux triangles qui partagent le carré sont égaux. ”

“ Je ne veux parler que des conversions sans contraposition qui me suffisent ici, et qui sont simples ou par accident comme on les appelle. Les conversions simples sont de deux sortes ; celle de l’universelle négative, comme : nul carré n’est obtusangle, donc nul obtusangle n’est carré ; et celle de la particulière affirmative, comme : tout carré est rectangles, donc quelque rectangle est carré. ”

“ Le côté d'un carré figuré est comme la racine d'un carré numérique; car quand le côté est décuplé, la surface est centuplée, ou cent fois plus grande; et réciproquement, quand le côté est divisé par 10, la surface devient 100 fois plus petite. ”

“ On appelle carré magique un carré divisé en plusieurs petits carrés égaux dans lesquels on place les termes d'une progression quelconque de nombres, ordinairement d'une progression arithmétique, de manière que les nombres de chaque "ba-nde, soit horizontale, soit verticale ou diagonale, forment toujours le même total. ”