E. B. C.

“ Il est certain que , tant que les nombres à multiplier entr'eux ne contiendront qu'un seul chiffre, il n'existe pas d'autre moyen que celui d'ajouter l'un d'eux à lui-même une fois de moins que ne l'indique l'autre. Mais pour éviter des longueurs dans un-semblable procédé, on a formé, une fois pour toutes, tous les nombres produits par la multiplication ou plutôt par l'addition de tous les nombres simples pris chacun autant de fois que l'indique chacun de ces nombres. ”

“ Ce ne sera pas le grand nombre d'exemples dont on a coutume de fatiguer la jeunesse a l'aide d'une aveugle routine , qui rappellera les règles en faisant faire à l'unique mémoire tous les frais d'une répétition fastidieuse ; c'est au raisonnement seul, c'est-à-dire à son jugement, que l'élève en devra le souvenir ; il porlera sans cesse dans son esprit le flambeau du calcul qui n'aura besoin que de quelqu exercice pour en rendre faciles l'habitude et l'usage. ”

“ Nous ne définirons pas même l'Arithmétique qui formera l'ensemble des connaissances que nous nous proposons de développer, et dont on aura une bien plus juste idée quand on en aura saisi l'esprit et le but vers lequel elle doit tendre. ”

“ Supposons, en effet, que les deux nombres à multiplier soient, l'un 26,738, et l'autre 4,25 ; si nous considérons le premier comme le nombre entier 26738 , et le second comme le nombre entier 425 , il est clair que nous aurons alors un nombre mille fois trop grand à multiplier par un autre nombre 100 fois trop grand , et que de là il s'ensuivra un produit , en nombre entier, cent mille fois trop grand ; le vrai produit ne pourra donc être obtenu qu'en rendant le précédent cent mille fois plus petit, ou en détachant sur sa droite , par la virgule , cinq chiffres décimaux. ”

“ En général, on peut multiplier le dividende et le diviseur par un même nombre sans changer en rien le quotient. Tels sont les changemens par voie de multiplication, et en y substituant le mot de moindre ou plus petit à celui de plus grand , et réciproquement , on obtiendra les changemens inverses par voie de division , et l'on pourra encore déduire cette conséquence qui aura ses applications dans la pratique de la division : c'est qu'en général on peut diviser
le dividende et le diviseur par un même nombre, sans: troubler le quotient (i) . ”

“ Si donc tous ces nombres sont espacés de manière à conserver entr'eux la même distance , il est évident que leur ensemble formera un carré (i) A B D C que nous nommerons Table d'Addition. Il n'y aura donc, pour s'en servir, qu'à considérer les deux nombres qu'on se propose d'ajouter , l'un dans la ligne A C , et l'autre dans la ligne A B, et à descendre perpendiculairement à cette dernière jusqu'à la rencontre du nombre placé vis-à-vis de celui considéré dans la ligne A C, et suivant la seconde ligne.
(i) Un carré est une figure de quatre côtés, qui a tous ses angles et ses côtés égaux. ”

“ Il faut encore opérer ici comme s'il s'agissait de nombres entiers, après avoir toutefois place , comme dans l'addition , les nombres à retrancher, de manière que les unités d'une même espèce se correspondent dans la même colonne (le plus grand des nombres est ordinairement situé au-dessus du plus petit, et l'on complète , si l'on veut, les décimales en mettant à la droite de celui des deux nombres qui en a le moins, un nombre suffisant de zéros. ce qui ne change pas la valeur du nombre comme nous l'avons vu) , et avec l'attention importante de fixer ”

“ Lorsque la division ne peut avoir lieu , au moins exactement en nombre entier, comme dans le cas que nous venons de citer, on se contente quelquefois d'écrire le reste au-dessus du diviseur et de séparer ces deux nombres par un trait : ainsi, l'on aurait ici pour quotient 234 g ? ce dernier nom b re qui accompagne le quotient entier 234 , et qui est aussi le symbole d'un quotient que l'on n'a pu réaliser, rentre dans une classe de nombres que l'on nomnefractions et que nous ne considérerons point ici, leur théorie un peu plus délicate surpassant les bornes que nous nous sommes prescrites. ”

“ Tous les changemens que nous opérerons sur les nombres vont devenir maintenant un jeu du principe de la numération et l'introduction de tout mécanisme de calcul, ou de composition et de décomposition de nombres qui constituent au fond l'Arithmétique ; ils sont compris dans ce qui suit : 16. i.0 On peut ou placer à la droite du nombre proposé , ou à sa gauche, ou parmi les chiffres compris entre les deux extrêmes du nombre , un ou plusieurs zéros , et plus généralement un ou plusieurs chiffres (significatifs (i) ou .non) . ”

“ Le chiffre des centaines du quotient doit donc être tel, qu'en le multipliant par le diviseur 8 , on aie pour produit 18 ou le multiple de 8 le plus approchant de 18 à cause des retemies qu'a pu fournir la multiplication par 8 des autres chiffres du diviseur , et qui se sont combinées ou confondues avèc le produit des centaines par 8. Le nombre qui remplit cette condition est 2 ; mais 2 centaines multipliées par 8 donnent 16 centaines, et le dividende en contient 18 ”

“ Il peut arriver que dans sa composition le produit renferme moins de chiffres qu'il n'y a de chik fres décimaux dans les deux facteurs ensemble ; en ce cas, on supplée le vrai produit cherché par des zéros mis à la gauche de celui obtenu , et en assez grand nombre pour déterminer ensuite , par la virgule , un nombre de décimales égal à celui des deux facteurs ensemble, Supposant, par exemple , qu'on ait à multiplier 0,0023 par 0,004 , la règle prescrite conduira à un produit qui sera en nombre entier 92 ”

“ Telle est. donc la puissance des décimales qui, comme l'on voit, sont des parties de l'unité entière , de dix en dix fois plus petites que cette unité, qu'on peut pousser aussi loin qu'on voudra leur nombre , ou pour mieux dire , l'approximation vers l'unité entière. Quelquefois cette approximation a des bornes , et souvent elle est interminable et même périodique ”

“ On peut diminuer de beaucoup le tâtonnement que nécessite Iç procédé de la division , et qui augmente à mesure que le dividende et le diviseur ont plus de chiffres, et que les chiffres de la gauche du diviseur sont plus petits par rapport aux autres. ”

“ POUR LA DIVISION : en considérant le dividende comme un produit dont le diviseur et le quotient sont les facteurs , nous rappellerons ici ce qui a déjà été reconnu par suite de cette considération , c'est-à-dire , que le diviseur, multiplié par le quotient, doit reproduire le dividende sans reste ; de sorte que si la division n'avait pu se faire exactement, il faudrait ajouter le reste au produit précédent pour'
(1) En général l'ordre des facteurs devient, indifférent pour la composition d'un produit, quel que soit le nombre des facteurs. ”

“ On doit n'y voir, au surplus, qu'un premier pas fait vers la science du calcul, l'on peut dire même une préparation pour l intelligence dans les théories qu'elle renferme, et dont une ilaboralioll suivie formera le jugement en même temps qu'elle conduira aux applications qu'elles supposent, et qui, alors, seront fondées sur un solide raisonnement. Il ne reste plus qu'à consulter l expérience pour la confirmation de ces avantages. ”

“ Qu'il prenne un second caillou, il' se formera aussi bien l'idée de deux caillous comme d'un seul ; de sorte qu'en laissant à part la dénomination de caillou , il aura très-bien l'idée de deux.
il pourra être tenté de réunir aux deux caillous précédens un autre caillou , ce qui lui donnera le sentiment de trois caillous ou de trois seulement, et rien ne l'empêchera de continuer de même jusqu'à ce qu'il soit parvenu à posséder autant de caillous que la nature lui a donnée de doigts ”

“ Il ne nous reste maintenant pour tefminêr la théorie de la multiplication , qu'à faire une application des principes précédens à un cas qui se présente fréquemment, et pour lequel on abrège beaucoup le procédé usité dans cette opération. Il s'agit de celui où quelqu'un des facteurs , ou plus généralement tous les deux sont terminés par des zéros. On opère alors sans avoir égard aux zéros , et seulement on en tient compte dans le produit en plaçant à sa droite autant
de zéros qu'il y en avait dans les deux facteurs. ”

“ En continuant ainsi la suite de ces tableaux et leur formation , on parviendra bientôt au dixième qui sera terminé par un nombre égal à. d:x-dixaines, que l'on nommera cent, et que l'on écrira 100. Il résulte donc de là que dix-dixaines composeront un nouvel ordre de nombres que l'on nommera cent ou centaine, qui devront se composer encore comme les nombres simples ou les dixaines , c'est-à-dire jusqu'à dix, ce qui donnera lieu encore à dix nouveaux tableaux de la composition desquels nous allons nous occuper.
9. Il nous suffira du premier pour concevoir tous les autres. ”

“ On pourrait aussi facilement juger de l'erreur qui serait résultée d'une toute autre disposition du premiei\chiffre des produits partiels ou de l'un d'entr'eux.
58. Lorsque , dans la composition intérieure du multiplicateur, il se trouve quelques zéros, il devient entièrement inutile de s'occuper des zéros , puisque la multiplication ne donnerait d'autres produits que zéro, et l'on passe de suite à la multiplication par le premier chiffre significatif qui vient après , en ayant soin de placer toujours le premier chiffre du produit
sous la colonne du chiffre multiplicateur. ”

“ En effet, il est clair (et il en sera de même dans tous les autres cas) que 363g , qui est le dividende après avoir ôté du premier chiffre g le produit du chiffre correspondant 2 dans le diviseur multiplié par 3 , contient 3 fois le nombre 789; car 3 mille valent 3o centaines qui contiennent 3 fois 7 centaines avec un reste 9 centaines , ces 9 centaines valent go dixaines qui contiennent 3 fois 8 dixaines ou 24 dixaines , avec un reste 18 dixaines ou 180 qui contient évidemment 3 fois 9 ou 27 , avec un reste ”

“ Ce n est certainement pas en commençant une se/ente quon apprend il la bien sentir ; el je ne suis que trop convaincu que l'esprit a besoin d'exercice et que l'on verra d'autant mieux, que l'on aura vu davantage ou de plus loin. ”

“ Tun au- ..tre, pour savoir de combien le second surpasse le premier , ou enfin, pour connaître , si l'on veut, la différence qui doit exister entre ces deux nombres., tel est l'objet qu'on se propose dans cette opération, dont le résultat porte selon les cas et indistinctement le nom d'exces, reste ou dffiérence. Ainsi, chercher l'excès d'un nombre sur un autre , en prendre la différence , ou enfin trouver le reste de deux nombres à retrancher entr'eux, c'est toujours sous-entendre la soustraction. ”

“ Nous voulons parlel. des décimales.
89. Si l'on divise un nombre entier quelconque par l'unité simple ou par l suivi d'autant de zéros que l'on voudra , il en résultera au quotient tous les chiffres du dividende, à l'exception du dernier , si le diviseur n'a qu'un zéro, où tous les chiffres du dividende , à l'exception des deux derniers, si le diviseur
tst termine par ceux zéros, ou tous les cnnires au dividende , excepté les trois derniers, si le diviseur est terminé par trois zéros , ainsi de suite. ”

“ « Pour » - multiplier un nombre composé quelconque par un » nombre sinjple, il faut multiplier chacun des chif» fres du premier pris comme multiplicande par le » multiplicateur». Cette règle qui est générale, littéralement , souffre néanmoins des restrictions quant au sens dans lequel il faut commencer l'opération , ce qui n'est pas toujours indifférent, comme dans l'exemple qui va suivre ”

“ Un semblable quotient, borné aux unités en93. Un sem b la b le quoti ent, borné aux un i tés entières , est dit à moins d'une unité près ; arrêté aux dixièmes , il est dit a moins d'un dixième près ; arrêté aux centièmes , il est dit, a moins d'un centième près, et ainsi de suite. ”

“ « Un homme, eu mourant, laisse à chacun de » ses amis , qui sont au nombre de vingt-cinq , une francs 9 » somme de 2 73450,2 5. pour être ^partagée entr'eux » par portions égales , quelle sera celle de chacun des » ^partageans » ?
La solution de cette question se trouvera évidemment en divisant le second des deux nombres par le premier, et le quotient devra être ici de même espèce que le dividende. ”

“ Proposons-nous de diviser 13649,23 par 6,587 et de pousser l'approximation du quotient jusqu'aux millièmes ; nous aurons , en nous conformant à la règle prescrite et pour satisfaire à la question , le tableau du calcul suivant :
Reste suivi de trois zéros. i. er 9660 équivalent aux trois restes. 2. e 3073o suivis chacun dam zéro., 3. e 4^820 Reste qui doit être négligé. 4298.
106. Lorsque le dividende renferme plus de chif-
fres décimaux que le diviseur, on peut toujours se dispenser de compléter les décimales , et par cela même on peut abréger l'opération comme nous allons le voir. ”