Numération

“ Ce que nous venons de dire renferme la numération parlée d'une manière complète. Mais on peut faire quelques remarques utiles pour aider la mémoire. On peut remarquer la répétition des mots; dixaine, centaine qui revient périodiquement après lès mots unité, mille, million, billion, etc. Ces derniers mots qui paraissent de trois en trois rangs, forment une espèce de cadre de la numération qui aide l'esprit à comprendre les grands
nombres, parce que cela les partage en tranches de trois ordres : la tranche des unités, la tranche des mille, la tranche des millions, etc. ”

“ C'est le stage où de la numération quinaire primitive, donnée par les doigts de la main, on passa à la numération décimale, basée sur le calcul digital des deux mains, laquelle est demeurée, pour presque tous les peuples, le point de départ des computs plus complets et plus perfectionnés qui arrivent à ne plus connaître de limite à la multiplication infinie ni à la division infinie. ”

“ Définition. — On appelle numération la partie de l'arithmétique qui apprend : 1° à former les nombres, 20 à les nommer, 3° à les écrire. Nous allons nous occuper successivement des trois parties dont se compose la numération.
12. Formation des nombres. — L'unité est un nombre (7) .
Si l'on ajoute l'unité à elle-même, on a un nouveau nombre; si à celui-ci on ajoute l'unité, on a le suivant, et ainsi de suite. Donc pour
avoir un nouveau nombre, il suffit d'ajouter l'unité à un nombre déjà obtenu. ”

“ Système de numération. 1. On appelle unité un objet quelconque.
2. Dans un assemblage d'unités, le nombre indique combien il y a de ces unités. Lorsque, par exemple, on dit qu'il y a vingt arbres dans une allée, le nombre est vingt.
Le nombre est une chose essentiellement abstraite plus tard nous en donnerons une définition générale.
5. L'Arithmétique est la science des nombres
4. ”

“ Quoique la manière d'écrire et d'énoncer les nombres entiers soit nécessairement familière à ceux qui abordent l'étude théorique de l'arithmétique, ce système de numération a une telle importance dans l'art de faire les calculs, qu'il est essentiel d'en indiquer avec soin les principes. ”

“ Mes additions renferment la théorie des différents systèmes de numération ; quelques observations sur l'addition et la soustraction ; les principes relatifs aux changements qu'opèrent, dans un produit ou dans un quotient, ceux que l'on fait subir aux facteurs de ce produit, ou au dividende et au diviseur d'une division ; d'autres principes sur la multiplication ; quelques moyens d'abréger, dans certains cas, la multiplication et la division ”

“ Un nombre qu'on énonce sans désigner l'espèce des unités, comme quand on dit simplement trois ou trois fois, quatre ou quatre fois, s'appelle un nombre abstrait; et lorsqu'on énonce en même temps l'espèce des unités, comme quand on dit quatre kilogrammes, cent tonneaux, on l'appelle nombre concret.
Nous définirons les autres espèces de nombres à mesure qu'il en sera question.
DE LA NUMÉRATION ET DES DÉCIMALES.
7. La numération est l'art d'exprimer tous les nombres par une quantité limitée de noms et de caractères. Ces caractères s'appellent chiffres. ”

“ Numération, opérations fondamentales; caractères de divisibilité ; nombres premiers et nombres premiers entre eux ; théorie du plus grand commun diviseur entre deux ou plusieurs nombres ; décomposition d'un nombre en ses facteurs premiers, exposé des différents systèmes de numération; opérations sur les fractions ordinaires et sur les fractions décimales; conversion des fractions ordinaires en fractions décimales et réciproquement; opérations sur les nombres complexes; extraction des racines carrées et cubiques, des nombres entiers et des fractions ; système métrique. ”

“ Telle est la numération actuelle; elle est la base de toutes les autres manières de compter, quoique dans plusieurs arts on ne s'assujettisse pas toujours à compter uniquement par dizaines, par dizaines de dizaines, etc.
17. Pour évaluer les quantités plus petites que l'unité qu'on a choisie, on partage celle-ci en d'autres unités plus petites.
Le nombre en est indifférent en lui-même, pourvu qu'on puisse mesurer les quantités qu'on a dessein de mesurer ”

“ De la numération que nous venons d'exposer, et qui est 'purement de convention, il résulte qu'à mesure qu'on avance de droite à gauche, les unités dont chaque nombre est composé sont de dix en dix fois plus grandes, et que par conséquent, pour rendre un nombre dix fois, cent fois, mille fois plus grand, il suffit de mettre à la suite du chiffre de ses unités un, deux, trois, etc., zéros ”

“ DÉFINITION. La numération écrite a pour objet d'écrire les nombres d'une manière abrégée à l'aide* d'un petit nombre de caractères appelés cKiffres.
Il y a dix chiffres, dont neuf significatifs, qui représentent les neuf,premiers nombres, savoir
et le zéro (0) qui n'a pas de valeur par lui-même. ”

“ Si à ce dernier nombre on ajoute une unité, on forme mille mille, ou un million. On compte par millions comme par mille, et l'on distingue des unités, dizaines, centaines de millions.
Mille millions valent un billion, qu'on nomme milliard en termes de finances. Mille billions valent un trillion, etc., et, en continuant, on aurait quatrillion, quintillion, sextillion, septillion, octillion, nonillion, décallion, etc.
31. En résumant, nous trouvons le tableau suivant, que l'on appelle par analogie échelle de numération. ”

“ CINQ centaines, HUIT dizaines, QUATRE unités.
Si le nombre des centaines était plus grand que neuf, on les réunirait dix par dix, d'une manière analogue, pour en former des mille, et ainsi de suite.
Notre procédé de numération consiste donc à former des collections de dix en dix fois plus grandes qui s'appellent unités de différents ordres. Dix unités simples ou du premier ordre forment une dizaine ou une unité du second ordre; dix dizaines forment une centaine ou une unité du troisième ordre; en général, dix unités d'un certain ordre forment une unité de l'ordre suivant. ”

“ Définition de l'arithmétique. — 7. Définition des nombres entiers. — 8. Numération parlée; unités des divers ordres qui dérivent toutes, d'une manière simple, de l'unité principale.
— 9. Importance particulière des unités simples , mille, .millions, billions, etc., dans le système de numération parlée. — 10. Numération écrite; convention sur laquelle elle repose. — il. Un chiffre peut être
considéré comme représentant des unités d'un ordre quelconque inférieur à son rang. ”

“ Si l'on retranche un, deux, trois, etc., zéros sur la droite d'un nombre, on le rend dix fois, cent fois, mille fois, etc., plus petit, ou on le divise en autant de parties égales.
24. Comme on ne saurait être trop exercé sur le système de numération,je vais terminer son exposé par des exemples sur l'art d'écrire et d'énoncer les nombres: 10. Écrire en chiffres le nombre quatre quintillions quatre trillions vingt-quatre billions trois cent-cinq millions trois cent mille cinq cent vingt unités. ”

“ Mais on ne dit pas dix cent mille, on dit un million. Voilà donc un troisième ordre d'unités, savoir l'ordre des millions, qui aura aussi des dixaines et des centaines, et l'on dira dix millions, cent millions. Mais on ne dit pas dix cent millions, on dit un billion (d) . Voilà donc un quatrième ordre d'unités, savoir l'ordre des billions, qui aura aussi des dixaines et des centaines. Viendront ensuite les trillions, les quadrillions, etc.
3. Scholie II. Il suit de notre système de numération qu'un nombre, quel qu'il soit, est toujours plus petit qu'un autre nombre qui a un chiffre de plus. ”

“ Le mot quantité est donc un terme plus général que celui de nombre qui estcompris dans sa signification, puisque les nombres sont susceptibles d'augmentation et de diminution comme toute espèce de quantité.
XII. Sous l'expression en chiffres d'un nombre ou de son NOM, car l'expression en chiffres est l'une et l'autre chose à la fois, il faut, par la pensée, voir le nombre lui-même qui doit toujours être présent àl'esprit. Ainsi, dans la numération chiffrée : 11,111,1111,11111. ”

“ Continuez ainsi jusqu'à la dernière colonne, au-dessous de laquelle vous écrirez la somme telle que vous l'aurez trouvée.
22. Nota. — On peut voir, par ce qui précède, que l'addition n'est, comme nous l'avons dit plus haut, qu'un moyen abrégé de faire la numération. Une addition est donc une numération, en prenant ce mot dans le sens expliqué n° 18.
2° DE LA MULTIPLICATION.
23. Il arrive quelquefois que les nombres qu'il faut ajouter les uns aux autres sont égaux; soit, par exemple, proposé le problème suivant : On a acheté 47 mètres de drap, à raison de 145 francs le mètre ”

“ Une fois la base admise et inconnue, on a voulu que les mesures qui en dérivent fussent, comme sa gé- nération, conformes à notre système de numération décimale , dans leurs composés, et dans leurs subdivisions.
Pour cela, on a d'abord choisi dans chaque classe de mesure, celle qui, plus facile à manier que les autres, présenterait plus d'avantages pour l'usage habituel, et on lui a donné un nom. Ainsi on a appelé mètre, une mesure de longueur dont les. marchands, fabricants, constructeurs peuvent se servir pour évaluer des lon- gueurs ”

“ D. Lisez le nombre 37.208.516.901.410 mètres ?
R. Je partage ce nombre comme le précédent, j'arrive à la tranche des trillions où je trouve des dizaines et je dis : 37 trillions, 208 billions, Mb millions, 901 mille, 410 unités ou mètres.
LEÇON TROISIÈME.
De la Numération décimale.
28. D. Que faut-il concevoir de la numération décimale?
R. Il faut concevoir une nouvelle unité dix fois plus petite que l'unité simple, à laquelle on donne le nom de dixième ou déci ”

“ Ce n'est point par un vain désir d'innover que de bons esprits ont régularisé la dénomination des dizaines. Si le principe de cette réforme était strictement suivi, je crois qu'on hâterait beaucoup les progrès des enfans dans la numération.
Il n'est point d'instituteur qui ne sache combien les enfans éprouvent de difficultés à écrire les nombre 70 et go ”

“ Ils travailleront désormais pour les facultés, pour les colléges, pour les séminaires, pour les écoles, pour les commerçants, pour les industriels, pour les ingénieurs de tous les ordres, pour quiconque, en un mot, veut enseigner la science des nombres sans fatigue, ou faire pour ses propres besoins, et pour ainsi dire en s'amusant, tous les calculs qui se font avec tension d'esprit et perte énorme de temps. ”

“ Cet exercice, tout en remémorant ce qu'on a appris précédemment, a encore l'avantage d'habituer les élèves, quoique d'une manière usuelle, à placer les unités de même nature les unes sous les autres.
NUMÉRATION DES NOMBRES ENTIERS.
5e TRANCHE. 4e TRANCHE. 30 TRAIVCIIE. 2 e T R 11 l" TRANCHF..
-. ---.- .- -Trillions. Billions. Millions. Mille. Unités. ”

“ On peut continuer ainsi indéfiniment. Il suffit de savoir que mille billions font un trillion, mille trillions un quatrillion, etc.
9. REMARQUE. Dans l'emploi habituel de notre système de numération, les unités des 4e, 7e, 10e.. ordres (mille, millions, billions.) jouent le rôle le plus important. Les autres disparaissent en effet du langage, et, si l'on excepte les dizaines et les centaines, l'on n'a même pas créé de mots particuliers pour les distinguer ”

“ UNITÉS MILLE. MILLIÈMES.
MILLIONS MILLIONIÈMES.
BILLIONS. BILLIONIÈMES.
On voit par l'examen de ce tableau que les nombres décimaux se partagent par tranches comme les nombres entiers ; mais il est impossible, dans la pratique, de suivre cette division. On verra, dans les tableaux suivans, que l'unité décimale varie suivant la quantité de chiffres dont le nombre décimal est composé. Lorsqu'il est composé de quatre chiffres, l'unité est des dix-millièmes ”

“ Quand les nombres à additionner sont exprimés par plus d'un chiffre, voici la RÈGLE : On écrit les nombres les uns sous les autres, en faisant correspondre, dans la même ligne verticale, les chiffres qui représentent des unités de même ordre, et l'on souli-
(1) Nous ne voyons pas grand avantage à faire des tables d'addition.
La méthode la plus simple, c'est de s'exercer beaucoup à composer des sommes, en s'aidant avec les dix doigts , qui paraissent être l'origine de notre système de numération ; et, par l'habitude, l'esprit arrive promptement à former les combinaisons les plus ordinaires. ”

“ DEM. De combien de chiffres une tranche est-elle composée ?
RÉp. De trois chiffres.
D. Combien de chiffres dans 7 5 ?
R. Deux chiffres.
Et il conclura de lui-même qu'il faut un zéro avant y5.
S'il est embarrassé pour écrire quatre unités, on lui fera faire le même raisonnement , ce qui le conduira de suite à mettre deux zéros avant le 4, et il s'habituera, par ce moyen, à écrire les nombres les plus difficiles.
NUMÉRATION DES DÉCIMALES.
BILLIONS. MILLIONS. MILLE. UNITÉS. MILLIEMES. MILLIONIÈMES. BILLIONLÈMES.j .-. ”

“ Dans un ouvrage sur l'arithmétique, imprimé à Paris en 1056 (*) , elle invite les Souverains à faire cette heureuse application; et, pour la rendre plus facile, elle publie elle-même des tables de conversion des sous et deniers, des onces, gros et grains, des pieds, pouces et lignes , en fractions décimales de la livre-monnaie, de la livre-poids et de la toise.
C'est donc le vœu de Marie Crous que notre système décimal des poids et mesures est venu réaliser au bout d'un siècle et demi. ”

“ Dans le tableau ci-dessus, le premier chiffre et le dernier sont tous deux le chiffre i ; voilà leur valeur absolue; mais le premier ne vaut qu'une unité, tandis que le dernier vaut une centaine de triHions; voilà leur valeur relative.
L'élève devra apprendre par cœur l'exercice suivant :
La 1re tranche se nomme unités, La 2e mille, La 3e millions, La 4e billions, La 5e trillions,
La 2c tranche se nomme mille, La 4e billions, Lai" unités, La 5e trillions, La 3e millions.
Les trois chiffres de chaque tranche se nomment : le 1er unités, le 2e dizaines, le 3e centaines. ”

“ Cet ordre, qui parait l'inverse de celui de notre numération, devenait l'ordre direct pour ceux qui regardaient et recevaient les signaux.
que c'est bien de nombres qu'il s'agit, se tire, d'abord, de ce qu'il est question plus haut d'une ancienne méthode d'après laquelle on allumait autant de feux que l'on avait de milliers d'hommes à signaler. Ensuite, dans l'énumération des divers éléments, ;-olxËla, que l'on représente sur la gauche, le texte ne dit pas que ce sont ceux depuis & jusqu'à ~, mais bien ceux depuis un, TK fxèv ocnb èvog, en toutes lettres. ”