Calcul mental

“ Pendant l'ébauche initiale des conceptions, inductives ou déductives, le principal office logique appartient directement aux sentiments qui dirigent et soutiennent la contention mentale , en s'aidant des images qui la rendent plus précise et plus rapide. Les signes n'y participent qu'accessoirement, pour fixer davantage les éléments et les résultats de chaque spéculation abstraite, trop exposés à s'altérer ou s'effacer sans un tel secours. Toute la science du calcul nous offre, même dès ses premiers pas, d'admirables exemples de cette précieuse aptitude. ”

“ La sensibilité, l’imagination, la raison, servent l’une à l’autre. Chacune de ces facultés ne serait qu’une maladie, qu’une faiblesse au lieu d’une force, si elle n’était pas modifiée ou complétée par la totalité de notre être. Les sciences de calcul, à une certaine hauteur, ont besoin d’imagination. ”

“ Or, étant donnée cette idée universelle de l’équilibre dans le rêve de la pensée, et les opérations du travail n’en étant que l’application, nous voyons, par-là même, comment l’homme a passé de l’intuition synthétique et spontanée à l’idée réfléchie et abstraite ; comment il a décomposé l’objet de sa vision, inventé les signes de la parole et du calcul, créé les mathématiques pures, dégagé en les nommant les catégories de son entendement. ”

“ Un calcul analogue peut s’appliquer aux faits de la conscience, selon les partisans de la psychologie contemporaine. Nos sentimens, nos idées, nos volontés subissent parfois des perturbations sans cause appréciable pour la conscience. ”

“ Après avoir rapporté tout le développement de nos facultés intellectuelles à l’exercice d’une sensibilité purement physique, ils n’en ont pas moins traité l’homme comme un être abstrait, comme une puissance algébrique, susceptible d’être modifiée par toutes les combinaisons de la pensée et du calcul. ”

“ Et pourquoi, je vous prie, les philosophes n'auraient-ils pas le même droit que les mathématiciens, d'autant plus grands qu'ils s'élancent plus loin dans les perspectives infinies du calcul et de l'abstraction ?
Sur le caractère de la psychologie qui ne
doit pas être la science de l'âme en elle-même, mais bien celle des manifestations intellectuelles et morales de l'homme vivant et pensant , j'aurais au moins quelques réserves à faire. ”

“ En attendant, il faut noter que la facilité au calcul se montre quelquefois chez les enfants ou chez les hommes dont l'intelligence est très-inférieure, tout aussi spontanément qu'aucune autre faculté admise comme primitive. ”

“ Est-il juste de dire que toutes nos connaissances impliquent la passivité de l'âme ?-On peut le dire des connaissances que nous devons directement aux sens ; mais en est-il de même de celles qui naissent de l'induction et du raisonnement? Le calcul, par exemple, ne peut-il pas nous conduire à des vérités positives qui sont réellement une conquête de l'esprit ? ”

“ Tout est et doit être calcul dans notre conduite ; si nous faisons des fautes, c’est parce que notre calcul, soit défaut de lumières, soit ignorance ou passion, n’embrasse pas tout ce qui doit entrer dans le résultat. ”

“ Que l’intuition métaphysique résiste victorieusement à l’épreuve d’une expérience effective et durable, à l’épreuve de calcul comme à l’épreuve de fonctionnement, à l’expérience complète qui met en jeu tous les réducteurs critiques de tous les genres, qu’elle se montre capable de supporter l’analyse sans se dissoudre ou s’évanouir, féconde en concepts dont l’entendement réussit à s’accommoder et qui l’agrandissent, bref, génératrice de lumière et de vérité dans tous les plans de l’esprit : ces caractères suffisent à la distinguer profondément de l’intuition esthétique. ”

“ Depuis que, se séparant de la métaphysique, elles ont abandonné la chimère d’une explication absolue des choses pour se réduire à l’expérience et au calcul, l’expérience, qui recueille les faits, le calcul, qui leur applique les lois de la pensée. La physique n’a rien à démêler avec l’essence impénétrable des choses. Les corps sont-ils ou non divisibles à l’infini ? ”

“ Enfin les mathématiques, soumettant tout au calcul, inspirent trop de respect pour la force ; et cette énergie sublime, qui ne compte pour rien les obstacles et se plaît dans les sacrifices, s’accorde difficilement avec le genre de raison que développent les combinaisons algébriques. Il me semble donc que, pour l’avantage de la morale, aussi-bien que pour celui de l’esprit, il vaut mieux placer l’étude des mathématiques dans son temps, et comme une portion de l’instruction totale, mais non en faire la base de l’éducation, et par conséquent le principe déterminant du caractère et de l’âme. ”

“ Examinons ce qu’il y a de vrai dans cette opinion ; et voyons si nous en devons conclure que nous avons réellement trois maniè res différentes d’opérer dans nos raisonnemens, suivant les occasions, ou si nous pouvons continuer à dire qu’il ne s’y agit jamais que de sentir des perceptions ou idées, et de sentir qu’une idée en renferme une autre. Je commence par convenir que calculer et raisonner sont deux choses extrêmement analogues, et que l’on peut dire qu’un calcul n’est qu’un raisonnement dans lequel on emploie une espèce particulière de signes. ”

“ Si nous n’avons que des idées imparfaites, ou si l’esprit ne regarde la question que d’un point de vue borné, ni l’analyse, ni le calcul ne lui apporteront plus de lumière, et ne donneront à nos résultats plus de justesse ou plus d’étendue : au contraire, on peut dire que cet art de réaliser en quelque sorte par le calcul de vagues conceptions n’est propre qu’à rendre l’erreur plus durable, en lui donnant pour ainsi dire une consistance. ”

“ Nous ne devons pas renoncer néanmoins à l'espoir de voir quelque jour la science psychologique, mieux cultivée, et peut-être même soumise avec succès à la mesure exacte du calcul. C'est alors seulement qu'on pourra obtenir dans son sein les résultats importants que l'avenir semble lui promettre, et dont certainement il lui tiendra la parole. ”

“ Ce qui les rend abordables, ce n’est nullement de grandes facultés intellectuelles, c’est une certaine discipline de l’esprit ou les formules et les théorèmes tiennent lieu de chef de file, dans toutes les évolutions du calcul. ”

“ Lorsque, par exemple, les mathématiciens établissent entre les vérités abstraites, successivement découvertes, un ordre et un lien de dépendance mutuelle, lorsqu’ils cherchent à déterminer le sens et l’extension de certains résultats, en apparence étranges, auxquels conduit le calcul, lorsqu’ils discutent sur l’origine et la nature des quantités négatives, imaginaires, infinitésimales, ils ne sauraient, pour faire un choix entre plusieurs solutions possibles, invoquer ni la démonstration, ni l’expérience. ”

“ L'observation attentive de ce précepte, trop méconnu, peut être d'un utile secours dans chaque question particulière, en dirigeant les efforts de notre esprit, à un instant quelconque de la solution, vers la véritable difficulté correspondante. À la vérité, l'imperfection de la science du calcul oblige souvent, comme je l'expliquerai dans la leçon suivante, à mêler très-fréquemment les considérations algébriques et les considérations arithmétiques pour la solution d'une même question. ”

“ Car pour cela il faut connaître par la perception intuitive les conditions de l’espace en vertu desquelles les causes agissent. Les calculs n’ont de valeur que pour la pratique, non pour la théorie. On pourrait même dire : Où commence le calcul, la compréhension cesse. Car le cerveau occupé de chiffres, pendant qu’il calcule, reste complètement étranger à l’enchaînement causal dans la marche physique des phénomènes ; il n’est rempli que de notions abstraites de chiffres. ”

“ Quoique l'abus de l'esprit mathématique, ou plutôt de l'esprit de calcul, ait été ainsi fréquemment nuisible, sous divers rapports, au vrai développement de l'étude positive des corps vivans, les biologistes qu'un sentiment exagéré de cette fâcheuse influence a conduits à méconnaître toute subordination réelle de cette étude à l'ensemble des études mathématiques n'en ont pas moins commis une erreur grave, directement préjudiciable au perfectionnement systématique de leur science. ”

“ Cette méthode qui .consiste à interroger sans cesse la nature par l'expérience, l'observation et le calcul, doubla les forces de l'esprit humain et agrandit indéfiniment l'espace où s'étaient renfermées jusque-là ses investigations. ”

“ Si cet argument avait une valeur quelconque, il devrait conduire à faire de toute science, même de la mathématique, une partie de la psychologie : car l’on ne se représente pas des nombres sans compter, on n’obtient pas des sommes sans additionner ni des produits sans multiplier. Toutes les opérations mathématiques sont liées incontestablement à des actes psychiques. Mais les objets des mathématiques, auxquels peuvent s’assimiler les objets de la logique pure, n’en restent pas moins des objets idéaux qui ne sont en rien donnés. ”

“ D’après ce principe, l’esprit humain peut encore faire un pas et pénétrer plus avant dans le sein de la Nature. Nous ignorons quelle est la figure des parties constituantes des corps ; nos neveux pourront, à l’aide du calcul, s’ouvrir un nouveau champ de connaissances. Lorsqu’ils auront acquis, par des expériences multipliées, la loi d’attraction d’une substance particulière, ils pourront trouver, par le calcul, la figure de ses parties constituantes. ”

“ Ainsi, quoique le premier sentiment systématique des lois invariables ait dû résulter des spéculations mathématiques, leur prépondérance logique tend certainement aujourd'hui à constituer un 768 régime mental très-peu convenable à la véritable étude de la nature, et maintient même directement, à divers égards essentiels, l'ancien esprit philosophique, surtout en paraissant consacrer les recherches absolues. ”

“ Au lieu d’axiomes, en tête des sciences, ils mettent des faits. Au lieu de définir les idées, ils les engendrent. Au lieu de commencer les mathématiques par une définition de la quantité et de la mesure, ils font naître et rendent distinctes par une foule d’exemples les idées de quantité et de mesure. Au lieu d’ouvrir la psychologie par la définition des facultés, ils nous mettent dans les circonstances où la notion des facultés doit se développer dans notre esprit. ”

“ Tenter de faire rentrer la science, dès son origine, dans le domaine du calcul, ce serait vouloir imposer à des théories portant sur des phénomènes effectifs, le caractère de simples procédés logiques, et les priver ainsi de tout ce qui constitue leur corrélation nécessaire avec le monde réel. ”

“ En effet, lorsqu’on parvient à rendre une question mathématique, c’est-à-dire lorsqu’on a eu l’art d’en saisir l’essence d’une manière assez simple pour que l’analyse puisse s’en emparer, la nature, docile à la voix de l’homme, sanctionne les oracles de la science. Un fait connu, bien apprécié, s’était présenté à la pensée de l’homme comme une conséquence d’un ordre de choses encore inconnu : il a su définir cet ordre ; et bientôt l’expérience, abondante en circonstances nouvelles, proclame, et le génie qui a deviné son existence, et l’excellence de la méthode qu’il a su employer. ”

“ L'effet général de cette analyse, quelle que soit la méthode employée, est donc de faire rentrer beaucoup plus promptement chaque question mathématique dans le domaine du calcul, et de diminuer ainsi considérablement la difficulté capitale que présente ordinairement le passage du concret à l'abstrait. Quoiqu'on fasse, on ne peut espérer que le calcul s'empare jamais de chaque question de philosophie naturelle, géométrique, ou mécanique, ou thermologique, etc., immédiatement à sa naissance, ce qui serait évidemment contradictoire. ”

“ Par l'ensemble des considérations indiquées dans cette leçon, on voit que, si le calcul différentiel constitue, de sa nature, un système limité et parfait auquel il ne reste plus à ajouter rien d'essentiel, le calcul intégral proprement dit, ou le simple traité de l'intégration, présente nécessairement un champ inépuisable à l'activité de l'esprit humain, indépendamment des applications indéfinies dont l'analyse transcendante est évidemment susceptible. ”

“ Les philosophes demandent aux mathématiques, à l’histoire naturelle, à la physiologie, les fondements d’une psychologie plus rigoureuse, d’une conception plus rationnelle et plus sûre du monde, d’une connaissance plus précise des lois de la pensée. ”

“ Les figures des êtres vivants ou, ce qui est la même chose, organisés, ne pouvant se calculer ni se construire rationnellement, comme celles qui ressortissent à la géométrie, nous les estimons par une action indécomposable de l’intelligence tout autre que la déduction dont se servent les mathématiques, action qu’on appelle soit intuition, d’un terme qui signifie vue, soit jugement, soit sentiment... ”

“ Mais, pour compléter la formule fondamentale, il suffit, en premier lieu, de placer, au début de ce vaste ensemble, la science mathématique, seul berceau nécessaire de la positivité rationnelle, aussi bien pour l’individu que pour l’espèce. ”

“ En vertu de cette hypothèse, les formules mathématiques, auxquelles nous sommes conduits par une recherche exacte, n’énoncent en réalité qu’une chose : la quantité de sensation qui, à chaque instant, fait irruption, est l’unité au moyen de laquelle la conscience mesure chaque fois le degré de l’augmentation qu’elle peut recevoir. ”

“ Mais lorsque les phénomènes célestes vinrent se ranger sous les lois du calcul, l’étude des mathématiques devint plus générale, et les bons esprits furent frappés d’une manière d’argumentation si différente de celle de l’école. ”