Nombre négatif

“ Quand le déterminant de la forme est négatif ou positif quarré, et qu’on a en même temps les représentations du nombre par la forme sont limitées, et parconséquent aussi les solutions de l’équation proposée, s’il en existe.
3o. Quand est positif non quarré, ou qu’il est quarré, et qu’on a en même temps si le nombre peut être représenté par la forme le nombre des représentations sera infini. ”

“ L’esprit réaliste, sous l’influence des premières découvertes relatives aux rapports mathématiques des phénomènes, formule l’identité du concret et de l’abstrait, en réalisant le nombre. Les nombres sont pris pour les essences des choses, pour les choses mêmes qu’ils déterminent. Les nombres réunis forment le Multiple, qui doit son existence à l’Un, principe de la limite. La série des conditionnés remonte ainsi à l’Inconditionné sous l’aspect mathématique. Une opposition et une alliance s’établissent à la fois entre le Multiple sans terme, qui est l’Infini, et le Fini, qui est le Nombre. ”

“ C’est la soustraction seule qui éveille en nous l’idée de nullité, ou, comme on dit par pure extension de mots, l’idée d’un nombre nul. C’est elle aussi, qui, dans certains problèmes, amène en résultat des nombres négatifs. Les nombres négatifs sont des différences qui ne sont pas des nombres. Ils tirent leur origine d’une combinaison arbitraire, mais fondée sur une généralisation légitime, de symboles connus. ”

“ Les quantités ne seraient-elles que des qualités différentes, et dix, cent, mille ne représenteraient-ils que ces qualités différentes et non une grandeur continue formée d’égalités réelles ?
En d’autres termes, le nombre est-il réellement le souvenir d’une répétition de sensations identiques, ou est-il le souvenir d’un changement qualitatif ?
La recherche est assez difficultueuse et de nombreux mathématiciens et psychologues, négligeant le fond même du problème, donnent une origine logique et rationnelle à la quantité. ”

“ La science des quantités abstraites nous donne les règles de calcul les plus savantes et les plus sûres, sans nous dire ni comment nous formons l’idée de nombre, ni pourquoi nous avons des idées abstraites, ni quelle est la cause première de la justesse d’une équation. ”

“ En ces étranges et invincibles pensées, j’entrevois seulement que l’un n’est pensé dans le nombre que par son rapport à lui-même, par cette opposition et distinction qui fait qu’il est le même en tous et pourtant autre. Non pas en même temps le même et en même temps autre ; mais plutôt il semble que l’un se meut et se transporte, selon un ordre qui fait naître les nombres, éternellement naître les nombres. Et puisqu’il y a ici quelque loi de production qui fait naître toujours les mêmes nombres selon le même ordre, en cette loi serait la vérité éternelle des nombres, et peut-être l’idée. ”

“ C’est encore à cette mesure que nous estimons la valeur représentative de nos conceptions abstraites. Pouvons-nous croire par exemple que les notions mathématiques sont de pures créations de notre esprit, alors que nous les voyons, autant que l’imperfection de nos mesures permet d’en juger, réalisées hors de nous, en tout ordre de phénomènes ? Si c’étaient, comme on l’a soutenu parfois, choses purement idéales, par quel prodigieux hasard les phénomènes, qui dans cette hypothèse seraient étrangers au nombre et à la quantité, s’enchaîneraient-ils suivant des lois de nombre et de quantité ? ”

“ Si nous y revenons, c’est pour constater à leur égard comme pour les autres écoles, quels principes ils posent, et comment ces principes tombent sous notre classification. Or, ils paraissent penser que le nombre est principe des êtres sous le point de vue de la matière, en y comprenant les attributs et les manières d’être ; que les éléments du nombre sont le pair et l’impair ; que l’impair est fini, le pair infini ; que l’unité tient de ces deux éléments, car elle est à la fois pair et impair, et que le nombre vient de l’unité ; enfin que les nombres sont tout le ciel. ”

“ De là la notion mathématique des quantités néga­tives. Une quantité est négative par rapport à une autre, en tant qu’elle n’y peut être réunie que par une opposition, c’est-à-dire en tant que l’une fait disparaître dans l’autre une quantité égale à elle-même. C’est à la vérité un rapport d’opposition ; et des quantités qui sont ainsi opposées se détruisent réciproquement en nombre égal : de sorte que l’on ne peut donner absolument le nom de négative à une quantité ; mais il faut dire que, dans + a et — a, l’un est la quantité négative de l’autre. ”

“ Les quantités négatives sont le contraire des positives : où le positif finit, le négatif commence. Voyez Positif.
Il faut avouer qu’il n’est pas facile de fixer l’idée des quantités négatives, & que quelques habiles gens ont même contribué à l’embrouiller par les notions peu exactes qu’ils en ont données. Dire que la quantité négative est au-dessous du rien, c’est avancer une chose qui ne se peut pas concevoir. ”

“ Les nombres négatifs ne peuvent être représentés par une forme positive, ni les nombres positifs par une forme négative. Si est la représentante d’une certaine classe, la forme sera celle de la classe négative, et il suit de là qu’il y a autant de classes positives que de négatives, et que les dernières seront déterminées, lorsque les premières le seront. Ainsi, dans les recherches sur les formes de déterminant négatif, il suffit le plus souvent de considérer les classes positives, puisque leurs propriétés se rapportent facilement aux classes négatives. ”

“ Dans tout système de numération, un nombre entier se compose d'un multiple du plus petit des nombres supérieurs à la base augmenté de la somme des chiffres de rang impair à partir de la droite et le résultat diminué de la somme des chiffres de rang pair. ”

“ Si, pour se servir des mots humains, quelque chose qui soit démontrée ici-bas, vous semble infinie, soyez certain d’y entrevoir une des faces de Dieu. Poursuivons. Vous vous êtes approprié une place dans l’infini du Nombre, vous l’avez accommodée à votre taille en créant, si toutefois vous pouvez créer quelque chose, l’arithmétique, base sur laquelle repose tout, même vos sociétés. De même que le Nombre, la seule chose à laquelle ont cru vos soi-disant athées, organise les créations physiques ; de même l’arithmétique, emploi du Nombre, organise le monde moral. ”

“ D’autres facteurs que le nombre interviennent donc, assez puissans, assez efficaces pour rétablir l’équilibre entre des chiffres aussi disproportionnés, pour compenser une aussi formidable infériorité du facteur que l’on tient pour le premier de tous. Ces autres facteurs, chacun les connaît ; on les a vus à l’œuvre, l’histoire nous les montre à chaque page, forces vives d’une nation, incessamment actives dans leurs combinaisons infiniment variées. A l’opposé du nombre, elles sont insaisissables et impondérables. ”

“ Ne soyons pas si puristes et soyons reconnaissants au continu qui, si tout sort du nombre entier, était seul capable d’en faire tant sortir.
Ai-je besoin d’ailleurs de rappeler que M. Hermite a tiré un parti surprenant de l’introduction des variables continues dans la théorie des nombres ? Ainsi le domaine propre du nombre entier est envahi lui-même, et cette invasion a établi l’ordre, là où régnait le désordre. ”

“ On trouve deux représentations du nombre par la forme dans lesquelles est positif, savoir, qui donnent pour l’expression proposée les valeurs et comme n’est pas représentable par la forme il s’ensuit qu’il n’y a que les deux valeurs que nous venons de trouver. ”

“ La notion de nombre réel, fournie par la médiation entre un nombre quelconque et l’unité, était matière à des démonstrations aussi rigoureuses, aussi évidentes que celles de l’arithmétique, et en même temps incompréhensibles par l’imagination. Cette notion force l’intelligence à saisir avec certitude des rapports qu’elle est incapable de se représenter. ”

“ ET LE PYTHAGORISME. 49
sance du nombre, mais dans toutes les actions, toutes les paroles de l'homme, dans tous les arts, et surtout dans la musique'. Le nombre et l'harmonie repoussent l'erreur; le faux ne convient pas à leur nature. L'erreur et l'envie sont filles de l'infini, sans pensée, sans raison ; jamais le faux ne peut pénétrer dans le nombre, il est son éternel ennemi. La vérité seule convient à la nature du nombre, et est née avec lui. ”

“ D'après cela : cinq plus sept et 5 +7, par exemple, sont des expressions non vulgaires, l'une verbale, l'autre en chiffres, du même - nombre, dont douze est l'expression vulgaire verbale, et 12 l'expression vulgaire en chiffres.
XIV. Le nombre 1, le premier ou le plus petit de tous les nombres, celui dont tous les autres se composent, est le seul qui n'ait pas d'expression en chiffres, ce qui devait être a cause de sa simplicité ; aussi l'homme qui, le premier, dans les temps les plus reculés, éleva le doigt, dont il est l'image, pour manifester le nombre 1, commença la science des nombres. ”

“ Car autrement le nombre dans sa latitude, comprenant le rompu, le sourd, le transcendant et tout ce qui se peut prendre entre deux nombres entiers, est proportionnel à la ligne, et il y a là aussi peu de minimum que dans le continu. ”

“ En effet un nombre, c’est ce qui est nombrable ou ce qui est déjà nombre ; dans le cas même où un nombre est seulement quelque chose de nombrable, puisque ce nombrable peut, par définition, être nombre, le nombre n’est pas infini. ”

“ Si l’on examine un nombre à plusieurs chiffres, composé d’une manière en apparence arbitraire, à titre de plaisanterie ou par vanité, on constate invariablement qu’il est rigoureusement déterminé, qu’il s’explique par des raisons qu’en réalité on n’aurait jamais considéré comme possibles. Je vais d’abord analyser brièvement un exemple de prénom arbitrairement choisi et soumettre ensuite à une analyse plus détaillée un exemple de nombre lancé au hasard, « sans penser à rien ». ”

“ Mon but est ainsi nettement délimité ; je n'aborderai donc pas les questions, plus philosophiques que mathématiques, que pose la conception de la suite des entiers. Cette notion est considérée par moi comme acquise et parfaitement claire.
ne donne jamais qu'un nombre'fini de notations. Ce nombre pourra être grand; cela dépendra du nombre des symboles, de leur choix plus ou moins heureux, de l'ingéniosité des lois de combinaisons prévues; mais il sera toujours fini. Toute numération s'appliquant à un ensemble infini de nombres est, à certains égards, fictive. ”

“ Toutes ces difficultés, et bien d’autres du même genre, prouvent jusqu’à l’évidence qu’il n’est pas possible, que ni le nombre, ni les grandeurs, soient séparés. Ensuite la divergence d’opinion entre les premiers philosophes au sujet du nombre, montre le trouble continuel où les jette la fausseté de leurs systèmes. ”

“ Toutes les fois qu’il se représente un nombre comme nombre, il se le représente nécessairement avec une vertu et une valeur mystiques qui appartiennent à ce nombre-là, et à lui seul, en vertu de participations également mystiques. ”

“ On peut multiplier, diviser, élever aux puissances, etc., sans rien apprendre de nouveau sur la nature du nombre. Et pourtant, si l’on tient à penser clairement, on veut savoir ce que c’est que le nombre. ”

“ Si le nombre présente des entiers suivis de fractions, comme deux livres, huit sous ; cinq toises, trois pieds, quatre pouces, etc., il s'appelle nombre complexe. Dans le cas contraire, comme deux livres; cinq toises, etc., il est incomplexe.
On dit enfin qu'un nombre est abstrait, lorsqu'il ne désigne aucune espèce d'unités en particulier, comme deux, vingt, mille, etc. Dans le cas contraire, il est concret.
3. La science des nombres s'appelle arithmétique. ”

“ Nos anciens regardaient le nombre treize comme un nombre fatal, ayant remarqué que de treize personnes réunies à la même table, il en meurt une dans l’année ; ce qui n’arrive jamais quand on est quatorze... ”

“ Il n'est pas exact de dire simplement et absolument que le nombre infini implique contradiction, qu'il est une absurdité. Il peut être tel accidentellement dans tous les cas où vous le déclarez ; mais ces cas ne sont pas les seuls ; et c'est vous jeter dans d'inextricables difficultés, c'est vous exposer à vous contredire forcément, que de généraliser une pareille proposition. Dans beaucoup d'autres cas, le nombre infini se présente comme l'unique réponse, réponse presque toujours évidente, à des questions que vous comprenez parfaitement. ”

“ Au nombre des idées inexactes , qui prévalent, même parmi les personnes instruites, domine surtout celle que les chiffres de la Statistique doivent être toujours positifs et certains, comme ceux d'un calcul purement arithmétique, ou comme les supputations d'un compte financier; et c'est parce qu'ils se refusent à cette identité impossible que des esprits étroits les condamnent. ”

“ L’indice est ce qui distingue deux symboles inverses. Changer l’indice de S, c’est remplacer S par S′ ; changer l’indice de S′, c’est remplacer S′ par S.
5. Théorème. Le négatif d’un concept est, pour le fond, identique avec l’inverse de ce concept ; en d’autres termes, le négatif d’un direct est un inverse.
Démonstration. Soit S un concept ; son négatif est 1 ‒ S (4) ; or 1 ‒ S = S′ (2) qui est l’inverse de S (4) ; c. q. f. d.
6. Corollaire. Le négatif de l’inverse est identique avec le direct.
7. Théor. Le négatif d’un négatif est identique avec le positif. ”

“ En effet les fausses images des choses extérieures que nous comptons et qui sont produites par le nombre secret qui dirige nos calculs, absorbent la pensée et font souvent évanouir ce nombre quand on l’a saisi. ”

“ Mais le nombre, considéré seul, n'est qu'une force, une quantité plus grande qu'une autre.—Précisément: une quantité supérieure de bien est un bien plus grand et un droit.—Mais par là 47 vous reconnaissez que ce qui donne du prix au nombre, c'est ce dont il est formé; ce qui rend la quantité précieuse, c'est la qualité de ses éléments. ”

“ Puisque le grand nombre obéit, et obéit jusqu’à se laisser imposer la souffrance et la mort, alors que le petit nombre commande, c’est qu’il n’est pas vrai que le nombre soit une force. Le nombre, quoi que l’imagination nous porte à croire, est une faiblesse. ”

“ Tout nombre entier pouvant être considéré comme une fraction, dont le nombre entier est le numérateur, & l’unité le dénominateur, si l’on ajoûte le même nombre de zéro au numérateur & au dénominateur, le nombre entier, considéré comme fraction, sera changé en nombre décimal sans changer de valeur. ”