P. E. Ancien professeur de mathématiques

“ Lorsque deux nombres sont tels que l'un est le produit de l'autre par un nombre entier, on dit que le premier est divisible par le second, ou bien le second est un diviseur du premier, ou encore le premier est un multiple du second, ou le second est un sous-multiple du premier, ou enfin le second est une partie aliquote du premier. ”

“ Mais après avoir déterminé le premier chiffre du quotient, si l'on veut encore altérer le diviseur, on apportera une nouvelle augmentation au quotient, et si après chaque chiffre trouvé au quotient, on veut de nouveau altérer le diviseur, on donne chaque fois une augmentation de plus au quotient; il est vrai, chaque augmentation est plus petite qu'une unité du dernier chiffre du quotient, mais comme il y en a autant que de chiffres trouvés au quotient, leur somme peut dépasser une unité du dernier chiffre du quotient, d'autant plus facilement qu'on doit avoir plus de chiffres au quotient. ”

“ Pour avoir le caractère de divisibilité d'un nombre premier qui ne divise pas la base du système de numération, il faut chercher la plus petite puissance de la base qui, divisée par ce nombre premier, donne 1 pour reste.
Le degré de la puissance indique combien on doit prendre de chiffres dans les différents groupes que l'on forme en partant de la droite du nombre proposé, pour savoir s'il est divisible par le nombre premier. ”

“ Le nombre de divisions à faire pour avoir le plus grand commun diviseur de deux nombres ne peut jamais dépasser le double de l'exposant de la plus petite des puissances de 2 supérieures au plus petit des nombres proposés. ”

“ Tout nombre premier est diviseur du nombre que l'on obtient en augmentant d'une unité le produit de tous les nombres entiers qui précèdent ce nombre premier. (Cette proposition est connue sous le nom de théorème de Wilson.) ”

“ Lorsque le diviseur est plus grand que 10, il est clair qu'en abandonnant à la droite du dividende tous les chiffres qui expriment des unités décimales plus petites que l'unité décimale proposée pour l'approximation du quotient, on diminue le quotient d'une partie plus petite qu'un dixième de cette unité. ”

“ Le nombre total des diviseurs d'un nombre, y compris l'unité et le nombre lui-même, est égal au produit qu'on obtient en multipliant entre eux les nombres formés en augmentant d'une unité les exposants des différents facteurs premiers qui entrent dans la composition des nombres. ”

“ Quel que soit le nombre proposé, la théorie ramène toujours le calcul à l'extraction de la racine carrée d'un nombre entier à moins d'une unité; mais le plus souvent les chiffres de ce nombre entier ne sont pas connus à priori, il faut préalablement les calculer, et c'est pour cette opération qu'on a cherché une méthode abrégée, méthode qui consiste à ne pas calculer les chiffres du nombre entier qui n'influent pas sur les chiffres que l'on veut calculer pour la racine carrée. ”

“ En admettant que tous les chiffres du multiplicateur soient employés, l'erreur du produit trouvé doit être moindre, comme on l'a vu, que la somme des chiffres du multiplicateur, exprimant des unités décimales du même ordre que celles que l'on veut avoir au produit. Or, dans cet exemple, la somme des chiffres du multiplicateur est plus petite que 100; donc il suffit de calculer des unités cent fois plus petites que les centièmes, c'est-à-dire des dix-millièmes. ”

“ Lorsqu'à la gauche d'un nombre on prend plus du tiers des chiffres exacts et qu'on remplace les autres par des zéros, on a un nombre approché dont la racine cubique diffère de celle du nombre proposé de moins d'une unité. ”

“ Lorsque les m premiers chiffres à gauche d'un nombre sont exacts, ou, plus exactement, lorsque l'erreur vraie d'un nombre est plus petite qu'une unité du me chiffre à partir de la gauche, l'erreur relative du nombre est plus petite que la fraction dont le numérateur est l'unité, et le dénominateur se composedu premier chiffre à gauchedunombre suivi de (m-t) zéros. ”

“ Tout nombre premier avec un autre est premier avec les puissances de cet autre.
Car les puissances d'un nombre sont des produits dont les facteurs sont tous égaux à ce nombre ; alors tout nombre premier avec un autre est premier avec les facteurs des produits qui sont les puissances de cet autre; donc il est premier avec les puissances de cet autre.
22. Tout nombre premier avec un produit est premier avec chacun des nombres composant le produit. ”

“ B a a Dans ces deux derniers cas, comme l'erreur relative du quotient diffère très-peu de la somme des deux erreurs rela- tives, on peut la considérer comme sensiblement égale à la somme des deux erreurs relatives. Dans le premier cas elle difrere de (A + ) B g et dans le second elle diffère de \ATBy B—s 19. Connaissant la limite de l'erreur relative que doit avoir
le produit de plusieurs nombres que l'on ne peut obtenir qu'approximativement, trouver la limite de l'erreur relative que doit avoir chaque nombre. ”

“ Une limite supérieure d'une erreur relative est une fraction plus grande que l'erreur relative, et une limite inférieure est une fraction plus petite que l'erreur relative. On prend toujours une fraction décimale pour la limite ; par exemple, l'er1 reur relative d'un nombre est moindre que -——, cela veut 1000 dire que le nombre exact a été remplacé par un nombre approché et que l'erreur faite est moindre que la millième partie du nombre exact. ”

“ Lorsqu'il est 2, c'est que le premier chiffre de A' est 1 ou 2, alors 3c est ou 3 ou 6, toujours plus grand que 2. Lorsque le premier chiffre de Â' est 3, c'est que le premier chiffre à gauche de A' est 2 ou 3, ou 4, ou 5, ou 6 ”