Fraction

“ A moins de dérouler devant toi, ma chère Élisa, l'immense tableau de ce qui, dans l'univers connu, a reçu le nom d'unité, on ne saurait effleurer que d'une manière imparfaite la théorie des fractions: il faut, en ceci, se contenter du principe. Fort heureusement, le calcul décimal nous offre une compensation, un terme moyen fort agréable ; toute fraction possible peut se réduire en décimales ; et j'ai l'avantage de t'annoncer, pour la première fois, que les fractions anciennes n'existent plus que pour ceux qui persistent à s'en servir. ”

“ Nous savons développer une fonction en fraction continue ; nous savons, dans quelques cas, revenir d’une fraction continue à la fonction génératrice ; nous savons aussi, dans quelques cas, reconnaître qu’une fraction continue est incommensurable ”

“ Si vous avez bien compris, mes enfants, ce que c'est que le numérateur et le dénominateur d'une fraction, vous en conclurez tout de suite que plus le numérateur d'une fraction est grand, plus la fraction est grande, puisqu'on prend alors un plus grand nombre des parties de l'unité; et que, au contraire, plus le dénominateur est grand plus la fraction est petite, puisqu'alors l'unité est partagée en un plus grand nombre de parties. ”

“ Dans tout ce que l’on entreprend, il faut donner les deux tiers à la raison et l’autre tiers au hasard. Augmentez la première fraction, vous serez pusillanime ; augmentez la seconde, vous serez téméraire. ”

“ On appelle nombre le résultat que l'on obtient en mesurant ou en comptant une grandeur. Or, lorsqu'on mesure une grandeur, il peut arriver : 1 ° qu'elle contienne son unité un nombre exact de fois; 2° qu'elle ne soit qu'une ou plusieurs parties de son unité; 3° qu'elle contienne son unité une ou plusieurs fois avec un reste. De là trois espèces de nombre : le nombre entier, la fraction et le nombre fractionnaire. ”

“ A l’École normale supérieure, au contraire, ou dans les Facultés, on dira : une fraction, c’est l’ensemble de deux nombres entiers séparés par un trait horizontal ; on définira par des conventions les opérations que peuvent subir ces symboles ; on démontrera que les règles de ces opérations sont les mêmes que dans le calcul des nombres entiers, et on constatera enfin qu’en faisant, d’après ces règles, la multiplication de la fraction par le dénominateur, on retrouve le numérateur. ”

“ Il y a exception pour les dénominateurs, 2, 3, 4; au lieu de deuxième, troisième, quatrième, on dit demi, tiers, quart.
Lorsqu'une grandeur est une fraction de l'unité, cette fraction est le nombre qui lui sert de mesure. ”

“ Quand deux fractione sont égales, elles forment une proportion à laquelle ou peut appliquer toutes les propriétés des proportions arithmétiques, et en particulier celle-ci : le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
Enfin, lorsque plusieurs fractions sont égales, la fraction qui a pour numérateur la somme de leurs numérateurs, et pour dénominateur la somme de leurs dénominateurs, est égale à chacune des fractions proposées. ”

“ On dit qu'un nombre est entier, quand il est formé par rassemblage d'unités entières. Trois metret, cent litres.
Mais on peut partager, par la pensée ou autrement, une unité en autant de parties que l'on veut, et chaque partie est une fraction. — On peut concevoir la réunion de deux ou plusieurs fractions, et le nombre qui les exprime s'appelle aussi une fraction, ou mieux, une expression fractionnaire. Tels sont : trois quarts de mètre, vingt-deux centièmes de mètre. ”

“ Si on ajoute aux deux termes de la fraction des nombres de plus en plus grands, on obtiendra une série de fractions croissantes, et qui s'approcheront de l'unité autant qu'on voudra, en restant constamment moindres que l'unité. ”

“ Exprimez chacun de ces accords par la fraction qui lui est propre ; multipliez ensuite ces deux : fractions ensemble, c’est-à —.dire, numérateur par numérateur, & dénominateur par dénominateur : le nombre qui en proviendra exprimera l’accord qui résulte de la somme de deux donnés.
Exemple premier. Soient la quinte & la quarte à ajouter ensemble ; l'expression de la quinte est 2/3, celle de la quarte est 3/4 : multipliez 2/3 par 3/4 ; le produit est 6/12 ou 1/2, qui est l’expression de l’octave. On sait effectivement que l’octave est composée d’une quinte & d’une quarte. ”

“ Pour extraire la racine carrée d'une fraction dont aucun terme n'est un carré parfait, multipliez les deux termes par le dénominateur, puis extrayez la racine carrée de la fraction qui en résulte, d'après la règle donnée pour le second cas, et vous aurez la racine carrée de la fraction proposée à moins d'une partie de l'unité de l'espèce marquée par le dénominateur ; ou, ce qui revient au même, multipliez le numérateur par le dénominateur, extrayez la racine carrée du produit à moins d'une unité, et donnez à cette racine, le dénominateur de la fraction proposée. ”

“ Et de l'autre part, l'utilité d'exposer, 1° les moyens à l'aide desquels on parvient à la décomposition d'un produit ou d'un nombre quelconque, en ses facteurs premiers ou non premiers ; 2°. De faire connaître qu'on peut simplifier une fraction irréductible, par le moyen des fractions continues, procédé employé parfois, aux dépens de l'exactitude, pour juger, d'une manière très approchée, de la valeur d'une fraction, qui, réduite à sa plus simple expression, reste encore sous la forme de nombres considérables et premiers entre eux. ”

“ MS. Définition des fractions. — 146. Les fractions peuvent être plus grandes que l'unité. — 147. Les nombres entiers peuvent être considérés comme des fractions, et cela d'une infinité de manières. —
148. Une fraction est le quotient de la division de son numérateur par son dénominateur. ”

“ Tout rapport commensurable est égal à une fraction à termes entiers. — 208. Rapports inverses; le produit de deux fractions inverses est l'unité. — 209. Si deux grandeurs sont représentées par des nombres, leur rapport est égal au quotient de la division de ces nombres. — 210. Définition des proportions. ”

“ Si j'ai donné quelques exemples d'addition avec fractions , mon but est de faire concevoir ce que c'est r qu'une fraction, les élèves par ce moyen s'y habituent de bonne heure , elles leur deviennent familières des le principe, et si elles se rencontrent dans toutes les opérations elles ne peuvent surprendre ni entraver le calculateur qui en a déjà connoissance. ”

“ On marque un rapport comme une fraction, en tirant une ligne, & écrivant sur cette ligne le premier terme du rapport, & le second terme sous la même ligne. Ainsi marque le rapport de 6 à 2. De même a b marque le rapport de la grandeur représenté par a à la grandeur représentée par b, & on nomme antécédent le premier terme a, & conséquent le second terme b. On nomme aussi, comme dans les fractions, le premier terme a le numérateur, & le second terme b le dénominateur, & l’on regarde un rapport a b comme une fraction littérale. Reyneau. Scienc. ”

“ Cette remarque donnant aux fractions continues de cette forme un nouveau degré d’intérêt, on peut se proposer de les combiner avec des quantités rationnelles de toutes les manières qui naissent de la diversité des opérations du calcul, et d’obtenir le résultat en fraction continue de même forme qu’elles ; et tel est le sujet qui va nous occuper,
Soit
une fraction continue donnée, équivalente conséquemment à une des racines de l’équation
et soit un nombre rationnel donné. ”

“ REAfARQUE I. Comme un nombre entier peut être assimilé à une fraction dont le dénominateur est 1, .on peut comprendre, dans le cas général de la multiplication d'une fraction par une fraction, tous les cas où l'un des facteurs est un nombre entier ”

“ La fraction est une partie de l'unité.
Comme une demi-aune de drap, trois quarts d'heure.
9. Le nombre fractionnaire est celui qui résulte de la réunion d'une fraction avec une ou plusieurs unités entières.
Tels sont un mois et demi, neuf francs et sept dixièmes de franc.
10. L'unité est concrète ou abstraite.
11. L'unité est concrète ou déterminée quand on en indique, l'espèce.
Comme un livre, une table.
12. L'unité abstraite ou indéterminée est celle dont on ne faiç pas connaître l'espèce.
Tels sont un, une fois. ”

“ En arithmétique, la grandeur à diviser est représentée par un nombre, et on cherche le nombre qui représente le quotient.Pour diviser une grandeur par une fraction, il suffit de la multiplier par la fraction diviseur renversée.
Soit, par exemple, à diviser par A 7 une grandeur que j'appelle A. Par définition, A est égal à quatre fois le septième du quotient. Ce septième est donc le quart de A, et par conséquent le quotient est les sept quarts de A, ou le produit de A par la fraction i. Ce qu'il fallait -démontrer. ”

“ Après avoir opéré comme ci-dessus pour la preuve de la division , il est venu 32 entiers comme le dividende , et c'est la preuve.
Nous parlerons en peu de mots des fractions de fraction ; c'est une suite de fractions séparées par l'article de; comme 'A de 3/4 ; 3/8 de 5/6 de 7/9 ; etc., sont des fractions de fraction ; on opère par un moyen bien simple, c'est de les réduire à une seule fraction, en multipliant tous les numérateurs entr'eux et tous les dénominateurs entr'eux. ”

“ La multiplication et la division des fractions se ramenant à des multiplications sur des nombres entiers, les élèves doivent être exercés à supprimer les facteurs communs aux deux termes de la fraction résultante avant d'effectuer les multiplications. ”

“ Tout nombre entier pouvant être considéré comme une fraction, dont le nombre entier est le numérateur, & l’unité le dénominateur, si l’on ajoûte le même nombre de zéro au numérateur & au dénominateur, le nombre entier, considéré comme fraction, sera changé en nombre décimal sans changer de valeur. ”

“ Peut-on dire de quelle fraction de lui-même le plus grand est égal au plus petit ou le plus petit supérieur au plus grand ? Non assurément. Car comment préciser quel est le tiers de 10 ou le quart de 1 1 ? Et, en parlant de fi action, j’entends une fraction irréductible comme ‘/2, Vs. ”

“ Pour se faire une idée nette des fractions , il faut concevoir que la quantité qu'on a prise d'abord pour unité, est elle-même composée d'un certain nombre d'unités plus petites, comme l'on conçoit, par exemple, que la livre est composée de vingt parties ou de vingt unités plus petites, qu'on appelle sous.Une ou plusieurs de ces parties forment ce qu'on appelle une fraction de l'unité. ”