André

“ On peut en conséquence assimiler les fractions nominales à toute petite espèce d'unité, n'importe l'ordre et le rang dans lesquels elles seront rangées , puisqu'elles représentent une unité quelconque ; pour en être convaincu , on n'a qu'à examiner qu'après les aunes , en France , on place une fraction nominale après les centimètres ; il en est de même comme après les centimes , les centiares , les milligrammes et autres unités semblables. On opère encore de la même manière dans presque toutes les contrées du globe où cette fraction nominale est connue et ni usage ”

“ Dans l'Amérique septentrionale un aigle, un dollar et 1/2 , V4 ? etc., pour les mesures un yard, une aune et V2 , 1/4 , etc.; pour les poids un quintal et 1/2, l/4, etc.; en Afrique un dollar et y2 , 1/4 , etc.
(ainsi qu il en existe en matière d'argent) , pour les mesures comme en Angleterre, étant les mêmes. Enfin en Asie , où il existe des possessions de toutes les nations , on établira le même calcul , c'est-à-dire de placer une fraction nominale telle qu'elle vient d'être citée, après l'unité principale de la monnoie, du poids, de la mesure , etc. ”

“ Multiplier une fraction par une autre, c'est multiplier les deux numérateurs ensemble, ainsi que les deux dénominateurs, comme s'il s'agit de multiplier 3/4 par 2/3 , on multipliera 3 par 2 , ce qui donnera 6 pour numérateur, et 4 par 3 qui fait 12 pour dénominateur , et cette fraction 6/12 sera le produit de la multiplication. ”

“ Il est néanmoins incontestable que de toutes les divisions et subdivisions faites de l'unité , celle qui s'opère par décimales est la plus commode dans les calculs , c'est à-dire qu'on partage l'unité en parties de dix en dix fois plus petites. Or , pour évaluer en décimales les parties plus petites que l'unité , comme la livre , la toise , etc., composées de dix parties, on suppose la dizaine composée de dix unités simples , comme la livre est de 20 sols. Ces nouvelles unités, comparées aux dizaines , sont nommées dixièmes ”

“ De la soustraction des nombres entiers et des parties décimales.
La soustraction est l'opération par laquelle on retranche un petit nombre d'un plus grand , pour trouver le reste ou la différence qui est le résultat de la règle. ”

“ On a déjà démontré avec assez de clarté , dans la preuve, ou ( explication sur les fractions de la Preuve) du troisième exemple de la règle d'Alliage, comment on doit calculer les fractions, pour nous dispenser d'en établir de nouveau les règles auxquelles elles donnent lieu, qui sont après la multiplication des entiers; de multiplier le numérateur de la fraction par le nombre qui doit être multiplié, et diviser ensuite par le dénominateur pour trouver les entiers qui doivent être ajoutés à la multiplication , et en additionnant la totalité, on trouve exactement la portion que l'on cherche. ”

“ On a établi dans toutes ces opérations une seconde colonne pour la réduction des fractions au même dénominateur quoique cette précaution soit inutile; car on sait communément, en voyant ces fractions seulement, que l/a vaut 4/8 et que Ih vaut 2/8 et la fraction 5/8 valant 5/s font en total 11 huitièmes desquels on ôte un entier et il reste 3/8 que l'on pose, on porte ensuite un dollar aux unités et on achève l'opération ainsi qu'il a été démontré.
On doit donc additionner la colonne des fractions sans la réduire à un autre dénominateur, puisqu'on peut opérer comme dans une addition simple. ”

“ La quantité qu'on a prise d'abord pour unité est elle-même composée d'un certain nombre d'unités plus petites; comme par exemple le franc est composé de cent parties ou unités plus petites , qu'on appelle centimes. Ainsi nous posons en principe , qu'une ou plusieurs petites parties du centime forment ce qu'on appelle une fraction de l'unité d'un centime. ”

“ On aurait pu multiplier le reste de la division, qui est 59, par 16 onces , pour avoir au quotient une certaine quantité d'onces , ce qui devient inutile; car si on considère , en faisant cette dernière opération , qu'il reviendra encore à chaque fabricant, II onces et 53/8, d'once , on voit bien que puisqu'il y a des onces et en outre une fraction, il est plus facile d'établir
une fraction après les unités , ce qui simplifie une opération telle que la multiplication s'il s'agit de calculer de quelle somme est débiteur chaque fabricant pour la quantité de soie qu'il aura reçue. ”

“ On veut soustraire 3/4 de 7/8 : comme dans ces deux fractions la dernière contient exactement la première, puisque 8, second dénominateur, est juste le double de 4, premier dénominateur , la fraction 7/3 demeurera fixe et invariable, et on dira: on peut multiplier 4 dénominateur par 2, qui donne des huitièmes aussi, donc on doit multiplier le numérateur 3 par 2 , ce qui fait 6/s , méthode très-facile pour avoir un dénominateur commun, et par suite, qui de 7/g ôte 6/8 , reste l/S pour résultat de la soustraction. ”

“ Une longue habitude de calculer , ayant prouvé à l'auteur qu'on pouvoit, sans aucune crainte, se dispenser de prolonger les décimales, et les rendre par conséquent mille fois plus petites, comme l'unité principale, en continuant de les subdiviser de dix en dix, pour obtenir des millièmes, des dix millièmes, cent millièmes, millionièmes, etc., il a imaginé de réduire toutes ces décimales par une seule fraction , que l'on place immédiatement après les unités de centimes ”

“ Pour l'exécution de ce que dessus en décimales, ou devra mettre à la suite du nombre cube imparfait trois fois autant de zéros qu'on veut avoir de décimales à la racine; opérez ensuite l'extraction comme elle a été indiquée, et après l'opération faite, séparez autant de chiffres qu'on vouloit avoir de décimales , sur la droite de la racine par le moyen d'une virgule. ”

“ Il s'agit ici de l'intérêt que l'on peut avoir dans une entreprise, et d'aucun temps on n'a encore exprimé différemment cet intérêt, si ce n'est par une fraction nominale, telle que l/i , 1/3 , 1/4 ou a/s , 3/8 etc.; cette expression est donc de rigueur , ainsi qu'elle se trouve énoncée dans un acte de société, et on ne pourra point dire dans un acte , monsieur. a 5o centimes par franc d'intérêt , puisque l'expression n'est pas reçue. ”

“ Après avoir opéré comme ci-dessus pour la preuve de la division , il est venu 32 entiers comme le dividende , et c'est la preuve.
Nous parlerons en peu de mots des fractions de fraction ; c'est une suite de fractions séparées par l'article de; comme 'A de 3/4 ; 3/8 de 5/6 de 7/9 ; etc., sont des fractions de fraction ; on opère par un moyen bien simple, c'est de les réduire à une seule fraction, en multipliant tous les numérateurs entr'eux et tous les dénominateurs entr'eux. ”

“ Dans ce dernier Tableau N.o 5 , j'ai établi, comme au Tableau N.° 3 , une colonne pour y réunir le total de l'intérêt qui est de 2 ou 3 pour cent suivant la quantité de mois portant intérêt , et multipliant la somme des capitaux par le nombre placé dans la colonne total , on obtient de suite en francs et centimes l'intérêt que doit porter la somme en capital.
Exemple : Au débit de ce compte , le premier article au DOIT, portant 2 mois et 1/s d'intérêt, calculé à 1/2 p. par mois, font 1 et 1/4 p. ”

“ Un orfèvre a un ouvrage de 16 marcs d'argenterie à faire au prix de 49 francs le marc, il est au dépourvu d'argent à ce titre juste, mais il en a de deux différens" titres, de 54 francs et de 43 francs, on demande combien il doit en prendre de chaque titre pour compléter les 16 marcs d'argenterie demandés.
Il faut placer les deux titres de l'argent 54 et 43 l'un dessous l'autre, et le prix du marc au milieu entre deux accolades, ensuite mettre la différence du titre d'argent au prix du marc, vis-à-vis chaque titre en croix, ainsi qu'on le voit ci-dessous.
Position de la Règle. Opération. ”

“ Si on observe qu'on comprend vivement que 4 ou 6 mois à 1/2 pour cent par mois , font un total de 2 ou 3 pour cent, et par même suite qu'on a bientôt multiplié la somme en principal par 2 ou 3, même de mémoire , ce qui, en séparant deux figures sur la droite du produit de la multiplication , donne l'intérêt cherché ; il doit donc convenir à tout calculateur d'adopter la méthode fournie dans le dernier modèle N.o 3.
Observation. Comme souvent il arrive qu'il y a dans les sommes en principal des centimes ”

“ Si j'ai donné quelques exemples d'addition avec fractions , mon but est de faire concevoir ce que c'est r qu'une fraction, les élèves par ce moyen s'y habituent de bonne heure , elles leur deviennent familières des le principe, et si elles se rencontrent dans toutes les opérations elles ne peuvent surprendre ni entraver le calculateur qui en a déjà connoissance. ”

“ Pour faciliter la jeunesse et se familiariser dès le principe avec les fractions les plus communes qui figurent si fréquemment dans tous les calculs et tous les comptes , il est essentiel de faire connoître que 2 1/2 équivalent un entier; ainsi que quatre quarts, trois tiers , cinq cinquièmes , six sixièmes , sept septièmes , huit huitièmes , neuf neuvièmes , dix dixièmes , etc. ”

“ Pour trouver ensuite les unités de la racine, qui ne contient plus que deux parties du carré , je double le
nombre 4 des dizaines trouvées qui est 8 que je place sous le nombre 70, disant ensuite : en 70 combien de fois 8, on trouve qu'il y est contenu 8 fois, lequel nombre 8 on écrit au quotient, ainsi que sous le 4 pour diviseur , et on dira 8 fois 8 font 64, aller à 64, il y a zéro, et retiens 6, puis 8 fois 8 font 64 et 6 de retenus font 70, aller à 70, il y a zéro, ensorte qu'il ne reste rien. ”

“ Les comptes d'intérêts, qui s'établissent dans le commerce parmi négocians ou banquiers, étant fort utiles et d'une grande ressource, nous avons jugé à propos d'en établir un ou deux, pour la facilité des personnes qui en font usage , n'ayant rien négligé pour qu'aucune des parties ne soit lésée, et que les calcus établis à cet effet donnent la plus grande précision, tant pour une partie que pour l'autre. ”

“ Ainsi qu'on le voit ci-dessus on a fait la preuve de la règle , qu'on achèvera plus bas, cette preuve quoique prématurée est facile à concevoir; car en multipliant les onces trouvées par chaque différent prix 5 on a un nombre quelconque, et l'addition de tous ces nombres divisée par la quantité d'onces qu'a donné l'opération , fixe nécessairement pour résultat le prix de l'once auquel l'ouvrage doit être fait. ”

“ Comme il convient d'accoutumer les jeunes gens, dès le commencement et par de bons principes, aux fractions qui deviennent trop pénibles et très-difficiles quand on vient tout à coup les leur soumettre , soit dans les multiplications , soit dans les divisions , et d'après plusieurs essais que j'en ai fait sur mes élèves, il est indispensable de commencer des additions en nombres entiers et fractions ou parties d'unité. ”