Quotient

“ Dans une progression par quotient, un terme quelconque est toujours égal au premier, multiplié par la raison élevée à une puissance dont le degré est marqué par le nombre de termes qui sont avant celui que l'on considère ”

“ THÉORÈME II. Si, après avoir divisé successivement chacun des coefficiens négatifs d’une équation par le coefficient du premier terme, on extrait de chaque quotient une racine dont le degré soit le nombre des termes positifs qui précèdent le coefficient négatif dont il s’agit, le plus grand des nombres qu’on obtiendra en augmentant chacune de ces racines d’une unité pourra être pris pour limite supérieure des racines de l’équation proposée. ”

“ Et ce que nous venons de dire s'appliquant à tout autre nombre, on peut en conclure que toutes les fois qu'une division donne un reste, on obtiendra l'expression exacte du quotient en ajoutant à la partie entière trouvée pour quotient une fraction dont le reste sera le numérateur, et dont le diviseur sera le dénominateur. ”

“ C'est ainsi que les dénominations redeviennent tantôt les mêmes après avoir été différentes, et tantôt différentes après avoir été les mêmes ; artifice qui nous fait considérer les choses sous tous les points de vue possibles, et qui, d'identité en identité,-nous conduit de connaissance en connaissance. Observons cet artifice, étudions-le, et nous deviendrons inventeurs.
Lorsque deux divisions à faire sont identiques, elles ont le même quotient, et on prend le quotient de la division qui s'effectue pour quotient de celle qui ne peut s'effectuer. ”

“ Tout produit de facteurs consécutifs (en nombre quelconque) est divisible par le produit d'un nombre égal de facteurs consécutifs commençant par l'unité. Le quotient de la division est un nombre figuré. ”

“ Ce qui est d'autant plus évident que, l'une et l'autre espèce de fraction, outre l'avantage qu'elles ont de compléter le quotient de deux nombres entiers, quand ce quotient n'est pas lui-même un nombre entier, ont en outre la propriété de désigner la mesure des grandeurs plus petites que l'unité (99) ”

“ Dans une progression géométrique dont le premier terme, le dernier terme et le quotient sont connus, on trouvera le nombre des termes en ajoutant une unité au degré de la puissance du quotient par laquelle il faudrait multiplier le plus petit terme pour avoir le plus grand. ”

“ Remarque I. D’après les deux remarques précédentes, on voit qu’on a aussi 1.o le moyen d’obtenir le dernier terme du quotient ; 2.o le moyen d’obtenir un terme quelconque de ce quotient, lorsque tous ceux qui doivent le suivre sont déjà obtenus ; ce qui peut fournir une seconde solution du problème [1] .
Remarque II. Lorsque le quotient ne doit avoir que deux termes, on les obtient immédiatement, en divisant les termes extrêmes du dividende par les termes extrêmes du diviseur ; respectivement ; sauf ensuite à s’assurer, par la multiplication, si le quotient obtenu est exact. ”

“ Remarque I. Quelques auteurs (Legendre, Supplément à la théorie des nombres) disent qu’après avoir trouvé une racine approchée il faut diviser la proposée par et chercher les racines du quotient. Ce procédé est très-vicieux ; parce qu’en négligeant le reste de la division, on altère le quotient qui n’est plus exact. Son défaut d’exactitude peut changer des racines imaginaires en racines réelles, égales ou inégales et vice versâ ; et l’on sent que cela arrivera sur-tout quand l’axe de la courbe passera fort près d’un sommet. ”

“ Quand vous verrez que pour résoudre un problème il vous faut faire une division, vous chercherez quelle est la quantité à partager, c'est-à-dire le dividende. Si c'est un nombre concret, vous saurez de quelle nature seront les unités du quotient ”

“ THÉORÈME III. La puissance d'un quotient est égale au quotient des puissances.
Appelons C le quotient de A par B, nous aurons A = BXC; A2=B2XC2;
THÉORÈME IV. Si on élève un nombre incommensurable à des puissances successives, on l'élève à une puissance ayant pour indice le produit des indices.
Élevons le nombre incommensurable A au carré, puis au cube, nous aurons r2! ”

“ Donc le quotient de 718 divisé par 25, est un nombre frationnaire 28,72.
82. Ainsi, pour évaluer le quotient du reste d'une division, on multiplie ce reste par 10, 100, 1000., selon que l'on veut avoir des dixièmes, des centièmes ou des millièmes à la fraction décimale du quotient, et on poursuit la division comme pour les nombres entiers.
83. Souvent il arrive que l'évaluation ne peut pas être faite exactement en fraction décimale; par exemple: 15 : 7. ”

“ On dit qu'un quotient est approché à 1 unité, à 0,1, à 0, 01 près lorsqu'il contient le plus grand nombre d'unités, de dixièmes, de centièmes. qui, multipliés par le diviseur, donnent un produit inférieur au dividende. ”

“ Divisez ou par suivant que sera pair ou impair, en faisant la division en dehors, dans le premier cas, et en dedans, dans le second, et prenant le quotient de manière que le reste ne soit ni nul ni abstraction faite de son signe. Ce reste sera la valeur de
Divisez le quotient par en faisant la division en dedans dans le premier cas, et en dehors dans le second, et prenant encore le quotient de manière que le reste ne soit ni nul ni abstraction faite de son signe. ”

“ REMARQUE. La division d'un nombre incomplexe par un nombre incomplexe, lorsque le quotient doit être complexe, revient à l'évaluation des fractions; car, dans l'exemple précédent, après, avoir divisé 961.867** par 4320., et obtenu au quotient 222t., et pour reste 2827t. , le quotient total pouvait s'écrire 2.2':. HH, en sorte que les calculs qu'on a ensuite effectués, avaient pour objet l'évaluation de la fraction -H de toise. ”

“ MS. Définition des fractions. — 146. Les fractions peuvent être plus grandes que l'unité. — 147. Les nombres entiers peuvent être considérés comme des fractions, et cela d'une infinité de manières. —
148. Une fraction est le quotient de la division de son numérateur par son dénominateur. ”

“ La foule a besoin qu'avant de lui montrer le quotient d'une idée, on lui fasse toucher au doigt et à l'œil, comme dans une addition, l'opération de chiffres dont ce quotient est le dernier mot et le résumé. ”

“ Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, on divise d'abord ce nombre par 2, puis le quotient par 2, puis le nouveau quotient par 2, et ainsi de suite autant de fois que possible ; puis on divise par 3 autant de fois que possible ”

“ Faites multiplier le nombre pensé par un nombre quelconque Il votre choix faites diviser la produit pur tel nombre qu'il vous plaira multiplier le quotient par un autre nombre quelconque; diviser le produit par un nombre h votre volonté et diviser le quotient par le nombre pensé. Pendant que la personne qui a pensé le nombre fait cette opération, vous prenez vous-même un nombre quelconque que vous multipliez et divisez avec les nombres mômes que vous fournissez à la personne, et vous divisez aussi le dernier quotient par le nombre que vous avez pris. ”

“ Tout rapport commensurable est égal à une fraction à termes entiers. — 208. Rapports inverses; le produit de deux fractions inverses est l'unité. — 209. Si deux grandeurs sont représentées par des nombres, leur rapport est égal au quotient de la division de ces nombres. — 210. Définition des proportions. ”

“ Si elle se fait exactement, le quotient doit toujours être un nombre impair. S'il y a un reste, le quotient et le reste doivent toujours être d'espèce différente — Conséquence — COMMENT une personne qui ne connaît aucune des règles de l'arithmétique, ni les tables d'addition et de multiplication, mais seulement les termes techniques, et par habitude, les nombres pairs et impairs, à la vue de leur expression vulgaire en chiffres, FEUT-ELLE juger, d'un coup d'œil, s'il y a CERTITUDE ou NON que la division PAR considérable qu'un ARITHMÉTICIEN du 1 "ordre vient d'effectuer est FAUSSE'? ”

“ Le degré de la plus haute puissance d'un nombre pre- mier plus petit que n, qui soit diviseur du produit des n premiers nombres entiers, est la somme des quotients entiers obtenus en divisant n par le nombre premier, le quotient entier trouvé par le nombre premier, le deuxième par le nombre premier, ainsi de suite jusqu'à un quotient plus petit que le nombre premier. ”

“ Observant de mettre 1, qui ne divise point, sous le premier nombre 8, du quotient, qui est un nombre entier ; ainsi - ; & un zéro, sous chacun des nombres qui le suivent. Par la raison que tout ce qui vient après cet en¬
tîer, sont des fractions, qui se suivent en raison sou-décuple. ”

“ Poussons plus loin l'examen des conséquences de notre formule. On propose le problème : réformer avec deux autres facteurs , dont l'un est donné, un produit composé de deux facteurs; —la solution est celle qui donne le quatrième d'une proportion par quotient. ”

“ Puisque la somme de tous les termes est égale au produit du plus grand terme par le quotient, moins le plus petit terme, le tout divisé par le quotient diminué d'une unité (374) , si l'on multiplie ces deux quantités égales par un même nombre , savoir par le quotient diminué d'une unité, les produits seront égaux ( 34) j or le produit de la somme de tous les termes par le quotient diminué d'une unité , est égal à la somme de tous les termes multipliée par le quotient, moins la somme de tous les termes (36) ”

“ Nous avons déjà fait voir (nos 157 et 158) que si une forme de déterminant renferme la forme de déterminant , et se change en par la substitution , , , , on a , et que si l’on a , la forme non-seulement renferme la forme , mais lui est équivalente, et que partant, si renferme sans lui être équivalente, le quotient sera entier . Ainsi le problème à résoudre est : Juger si une forme donnée de déterminant renferme la forme donnée de déterminant où est supposé un nombre positif . ”

“ Après avoir opéré comme dans la première règle , on trouvera au quotient pour quatrième terme 24 , qui est le premier terme de la règle de trois proposée.
2.me Exemple.
Un entrepreneur ayant 20 ouvriers, a déboursé dans une semaine 240 francs, il veut savoir com bien il déboursera la semaine suivante s'il veut employer 32 ouvriers. ”

“ L'extraction des racines carrées et cubiques des
nombres avec une certaine approximation en décimales.—La résolution de l'équation du premier degré à une inconnue. On insistera sur la pratique du calcul. — De la possibilité de résoudre plusieurs équations à plusieurs inconnues ; applications pour le premier degré, et particulièrement à la question des partages proportionnels. — Théorie des proportions déduite des équations qui expriment l'égalité des deux rapports. — Somme des progressions par différence et par quotient. Théorie des exposants négatifs et fractionnaires. ”

“ Définition de la division , du dividende, du diviseur, du quotient. —
ol. Définition du reste. — o2. Le reste est toujours moindre que le diviseur. — 60. Autre point de vue sous lequel on peut considérer la division; on prouve qu'il conduit au même résultat. - 84. Moyen de
reconnaître si le quotient est plus grand ou plus petit qu'un nombre donné. ”

“ Ainsi : 12: 12:: 20: 20 Ou bien : 12: 20 : : 12 : 20 Proportion évidente puisque les rapports formés de même termes doivent donner une égale raison.
Toute proportion se compose donc de quatre termes , que l'on distingue en extrêmes et en moyens.
-Les deux extrêmes sont l'antécédent du premier rapport et le conséquent du second ; les deux moyens sont le conséquent du 1er rapport et l'antécédent du 2'.
La proportion par quotient est celle dont nous faisons le plus fréquemment usàge, même dans le langage ordinaire. ”