“ Mais on sait que, pour obtenir certaines conditions ou pour parvenir à certains résultats du mouvement d’un système, il faut différentier la seconde équation, et évaluer la différentielle dans une position d’équilibre. Cette différentielle devient alors une fonction des forces en équilibre, telle que ces forces ne s’y évanouissent plus ; ce qui suffit pour prouver que des forces en équilibre ne se détruisent pas toujours et ne sont pas toujours, à l’égard d’un système, comme si elle n’existaient pas. ”

“ Mais, en se permettant de déplacer, à volonté, le point d’application des forces, tout cela se simplifie, et l’équilibre est toujours stable ou, si l’on veut, ne l’est jamais. Veut-on que l’équilibre soit stable ? On déplace le point d’application de la résultante des poussées du fluide, dans la position d’équilibre, et on le porte, sur la direction verticale de cette résultante, au-dessus du centre de gravité du corps ; cela suffit, comme nous venons de le dire, pour que l’équilibre soit stable. ”

“ Le moment du passage de la planète par le plan de l’équateur est celui où la déclinaison est nulle ; on a alors
équation dans laquelle les angles et de même que les deux rayons vecteurs et sont des fonctions très-connues, mais transcendantes du temps, et qui ne peuvent être développées qu’en séries infinies. Le problème est donc insoluble, dans le cas des orbites elliptiques ; et dans la supposition même d’un mouvement uniforme et circulaire, il exige l’emploi de la règle de fausse position. ”

“ Mais, lorsque, le périmètre d’un polygone régulier demeurant constant, le nombre de ses côtés croît continuellement, le rayon du cercle inscrit croît aussi sans cesse, tandis qu’au contraire celui du cercle circonscrit décroit ; le premier est toujours moindre et le second plus grand que le rayon du cercle dont la circonférence serait égale au périmètre du polygone ; mais ils tendent sans cesse, l’un et l’autre, vers cette limite commune. ”

“ Nous ne craignons pas d’avancer qu’à l’aide de ces diverses formules, toute intégrale quelconque, de la forme , peut-être évaluée numériquement, entre les limites données, moyennant un nombre fini et très-limité de termes, indépendamment du calcul intégral, et de toute notion d’infiniment petit, par les seuls moyens que fournit l’algèbre élémentaire, et avec toute la précision que l’on veut donner à son calcul ; pourvu seulement que la fonction ne devienne ni infinie ni imaginaire, dans l’étendue de l’intégration. ”

“ Si les trois plans se coupent en un point, la surface a un centre, lequel n’est autre que leur intersection ; s’ils se coupent tous trois, suivant une même droite, la surface a une infinité de centres situés sur cette droite ; s’ils se confondent, elle a une infinité de centres situés sur l’un d’eux ; enfin s’ils sont parallèles, ou si seulement leurs intersections deux à deux sont parallèles, la surface est dépourvue de centre ou, en d’autres termes, elle a son centre situé à une distance infinie. ”

“ THÉORÈME I. En ajoutant successivement à l’unité une suite de fractions ayant pour numérateurs les coefficiens négatifs d’une équation proposée, pris positivement, et pour dénominateurs la somme de tous les coefficiens positifs qui les précèdent respectivement, le plus grand des nombres résultans pourra être pris pour limite supérieure des racines de cette équation.
Il est entendu au surplus que, dans la pratique, il suffira de considérer le plus grand coefficient dans chacune des séries de termes négatifs. ”

“ THÉORÈME VIII. Si un cercle tracé sur une sphère, variable de grandeur, est constamment tangent à deux autres cercles de la même sphère, de grandeur et de situation invariable, l’arc de grand cercle conduit par ses points de contact avec eux, variable comme lui, coupera toujours néanmoins l’arc de grand cercle qui joint leurs pôles en un même point, lequel ne sera autre que l’intersection de cet arc de grand cercle avec l’arc de grand cercle tangent à la fois aux deux cercles. ”

“ « Si des forces appliquées à un système sont en équilibre, elles se détruisent, et sont à l’égard du système, comme si elles n’existaient pas ; en sorte qu’il est permis, dans tous les cas, de faire abstraction de ces forces, lorsqu’elles sont appliquées au système, ou de les y supposer appliquées lorsqu’elles ne le sont pas réellement. »
C’est principalement sur celle proposition, admise jusqu’à présent sans preuve, qu’est établie la démonstration du théorème relatif au déplacement du point d’application des forces. ”

“ Concluons de là que, si des fonctions de formes diverses prennent les mêmes valeurs, pour certaines valeurs déterminées, et voisines les unes des autres, de la variable indépendante, sans devenir infinies pour aucune valeur comprise entre celles-là ; ces fonctions prendront des valeurs peu différentes, pour d’autres valeurs de cette variable, comprises dans les limites qu’embrassent les premières ; mais il n’en sera plus de même des coefficiens différentiels successifs qui, d’une fonction à l’autre, pourront différer de plus en plus, à mesure que l’ordre en sera plus élevé. ”

“ D’ailleurs, comme les coordonnées et sont ici des quantités constantes, la proportion nous fait voir que la projection de la courbe demandée, sur le plan mené par le centre de la terre, perpendiculairement au rayon dirigé vers le centre du soleil, est une ligne droite qui passe par le centre de la terre, et qu’ainsi la courbe elle-même est un grand cercle du globe terrestre. ”

“ Le calcul de l’éclipse géocentrique n’a aucune difficulté. Il faudra déterminer, pour chaque instant proposé, les coordonnées (fig. 1) , du lieu géocentrique du centre de la lune sur le disque solaire. Ayant déjà désigné par la longitude du soleil, soit la longitude de la lune, et sa latitude ; on aura
ce sont là les valeurs absolues de ces coordonnées. Pour avoir leurs valeurs angulaires, exprimées en minutes et secondes du cercle dont le rayon est un, il faudra diviser par on aura ainsi
36. Dans l’intervalle d’un midi à l’autre, la longitude du soleil croît proportionnellement au temps. ”

“ Le principe, supposé vrai, qu’une force peut être censée appliquée à un point quelconque de sa direction n’empêche pas que la résultante d’un certain nombre de forces, agissant sur un corps solide, n’ait un point d’application déterminé [3] ; et, si d’ailleurs les équations qui doivent déterminer la résultante donnent des valeurs pour les coordonnées de son point d’application ; au lieu de dire, avec M. Poinsot, que cela doit être, parce que la résultante est censée appliquée à un point quelconque de sa direction ”

“ Si, au lieu de diviser en parties égales, on l’eût divisée en parties proportionnelles à des nombres donnés quelconques, les parallèles à la base, au lieu de diviser l’aire du triangle en parties égales, l’auraient divisée en parties proportionnelles à ces même nombres.
Le premier cas n’étant même qu’un cas particulier de ce dernier, c’est celui-ci qu’il suffira de démontrer. Il est évident d’ailleurs que tout se réduit à savoir diviser l’aire d’un triangle, par une parallèle à sa base en deux parties qui aient entre elles un rapport donné, celui de à par exemple. ”

“ Mais voici de nouvelles considérations qui nous paraissent de nature à mettre dans le plus grand jour tout le vide de l’hypothèse dont nous cherchons à écarter l’usage. Considérons l’ensemble des rayons visuels dirigés sans cesse de la terre en mouvement vers un astre aussi en mouvement ; ces rayons visuels, considérés comme indéfinis, engendreront dans l’espace une certaine surface gauche, dont la nature dépendra de celle du mouvement simultané des deux astres. ”

“ Le procédé auquel nous venons d’être conduit est aussi celui qu’on suit communément ; on suppose que l’ordonnée de la courbe cherchée est une fonction complète, rationnelle et entière de l’abscisse, dans laquelle on admet autant de termes qu’il y a de systèmes de valeur donnés, les coefficiens de ces termes sont inconnus, et on les détermine en exprimant que la courbe passe par les points donnés. Ces coefficiens une fois déterminés, rien n’est plus facile ensuite que d’assigner l’ordonnée et les coefficiens différentiels qui répondent à une abscisse quelconque ”

“ Le passage du théorème de Taylor au développement des fonctions de polynômes, ou des fonctions de fonctions, selon les puissances ascendantes de la variable, n’est autre chose que le passage de la différentiation d’une fonction, en regardant la différentielle de la variable principale comme constante, à la différentielle de la même fonction, en ne regardant aucune différentielle comme constante. Quant au passage du développement d’une fonction, selon les puissances ascendantes de la variable à celui selon les puissances ascendantes d’une fonction donnée de cette variable ”

“ Si donc, n’ayant d’autre instrument qu’un équerre, on veut construire la tangente et la normale en un point quelconque d’une ligne du second ordre, il ne s’agira que de construire, avec l’équerre, deux triangles rectangles ayant le sommet de l’angle droit au point dont il s’agit ; la droite menée de ce point à l’intersection des hypothénuses des deux triangles sera la normale, et conséquemment la perpendiculaire menée à cette droite, par le même point de la courbe, en sera la tangente. ”

“ Nous venons de voir que, lorsqu’une surface du second ordre a un centre, ce centre est déterminé par l’intersection des trois quelconques de ses plans diamétraux. Si de ce même centre, et d’un rayon quelconque, on décrit une sphère, cette sphère coupera en général la surface suivant une courbe à double courbure, aux différens points de laquelle menant des rayons, ces rayons seront les élémens rectilignes d’une certaine surface conique ayant même centre que la sphère. ”

“ L’angle que fait, dans un instant donné, le méridien d’un lieu avec le colure des équinoxes, est ce qu’on appelle ascension droite du milieu du ciel, ascension droite du méridien, ou angle horaire de l’équinoxe et, comme, dans toute cette analise, l’un de ses deux côtés sera toujours le colure des équinoxes, nous le nommerons simplement angle horaire. Au moment du midi vrai, l’angle horaire sera donc égal à l’ascension droite du soleil. ”

“ Quoi qu’il en soit, en l’admettant comme un théorème démontré ou comme une proposition évidente d’elle-même, il est facile d’en conclure la formule générale de l’équilibre entre des forces quelconques, appliquées à un système aussi quelconque. ”

“ Si, ne connaissant pas, à l’avance, la valeur exacte de on voulait juger du degré d’approximation obtenu après un certain nombre de pareilles opérations, il ne s’agirait que de faire un semblable calcul sur les rectangles circonscrits. On n’adopterait alors dans la valeur de que les chiffres décimaux communs aux deux résultats. Nous allons voir, au surplus, qu’en suivant toujours l’esprit de la même méthode on peut se procurer bien plus rapidement une valeur approchée du nombre et ce sera là notre première application. ”

“ Comme l’angle ou l’inclinaison de l’orbite vers l’écliptique, est un angle très-petit, pour toutes les planètes de notre système solaire, on voit que l’arc ou ne saurait différer beaucoup de l’arc ou qui est la longitude du nœud. On trouve effectivement égale, à peu près, à ce qui rend cette différence angulaire sensiblement proportionnelle au sinus de l’inclinaison de l’orbite. Si la planète se mouvait entièrement dans le plan de l’écliptique, on aurait exactement et le sinus de la déclinaison de la planète, ou se trouverait être
12. ”

“ Ainsi, le vœu manifesté par la puissance législative pourra être opposé à celui d’une majorité d’autant plus grande des citoyens ayant droit de concourir médiatement à la formation de la loi, qu’on aura employé un plus grand nombre d’intermédiaires dans l’élection des fonctionnaires composent cette puissance.
Si l’état est très-étendu, on ne pourra guère se dispenser, même en prenant pour de très-grands nombres, de prendre aussi assez grand. ”

“ Quant à la suppression des dénominateurs leur inutilité seule suffit pour la justifier. Si des personnes habituées aux considérations d’infiniment petits tiennent à conserver ces dénominateurs, dans le calcul différentiel, où leur considération abrège quelquefois les raisonnemens dans des questions de géométrie et de mécanique, mais où elle peut aussi égarer ; il n’y a pas la moindre raison de les conserver dans l’analise pure, ni, à plus forte raison, dans les dérivations où toute idée d’infiniment petit serait plus que déplacée. ”

“ On aurait pu m’objecter aussi que je supposais tous les suffrages partagés entre deux concurrens seulement, ce qui pouvait fort bien n’être point rigoureusement vrai ; mais, outre que, comme je l’ai déjà observé, cette supposition ne devait guère s’écarter de la vérité ; le cas de plus de deux candidats pouvait offrir un inconvénient beaucoup plus grave encore ; celui de présenter comme candidat ayant obtenu la majorité absolue des suffrages d’une compagnie, un individu réellement repoussé par cette majorité. ”

“ Elle est remplie, quoiqu’avec une différence presque insensible, lorsque la portion de courbe qui est comprise entre les limites de l’intégrale, est sans asymptote, sans imaginaires, sans point d’inflexion ni de rebroussement ; lorsqu’enfin elle ne s’écarte pas trop de quelque courbe rentrante ”

“ Les mêmes considérations établissent que réciproquement si, sans changer aucunement les dimensions d’une parabole ni la situation de son diamètre principal, on fait simplement glisser son sommet le long de ce diamètre ; à quelque système d’axes que la courbe soit d’ailleurs rapportée, on pourra toujours amener sa nouvelle équation à ne différer de la première que par son dernier terme. ”

“ Le jour de l’éclipse, les deux demi-diamètres apparens du soleil et de la lune seront respectivement et ce qui donne pour leur somme Comme cette somme est beaucoup plus petite que la moindre distance géocentrique des deux centres, on voit qu’il n’existera pas d’éclipse géocentrique ; le centre de la terre ne pouvant entrer ni dans l’ombre de la lune, ni même dans sa pénombre. Cela n’empêchera pas de déterminer, pour chaque instant, les deux coordonnées mais, quelque valeur qu’on suppose à le lieu apparent du centre de la lune sera toujours beaucoup au-delà du disque solaire ”

“ Il nous paraît que l’introduction des procédés que nous venons d’indiquer, dans la méthode de M. Laplace, pour la détermination des orbites des comètes, ne peut qu’ajouter beaucoup à sa précision, du moins dans le cas où l’on peut disposer d’un grand nombre d’observations ; mais cette méthode, comme beaucoup d’autres, aura toujours le grave inconvénient de n’être, au fond, qu’un tâtonnement bien dirigé. ”