Superposition

“ On démontre facilement par la superposition, comme on l'a vu, que Deux perpendiculaires à une même droite ne se rencontrent pas ; et il en est de même pour Deux droites qui font avec une troisième des angles internes d'un même côté, supplémentaires entre eux (ci-dessus, p. 36, TH. m) De pareilles droites peuvent être nommées parallèles; et provisoirement, prenons cette propriété même pour définition, en évitant pour le moment d'attacher à ce mot parallèles d'autre sens que celui même de l'origine que nous venons d'attribuer aux deux droites. ”

“ On a indiqué la superposition comme moyen général de constater l'égalité des figures planes ; mais il n'en peut être de même des corps solides ou des volumes, qui ne sauraient se pénétrer; pour reconnaître l'égalité de ceux-ci, il faudra s'assurer que les limites, entre lesquelles ils sont renfermés, ont mêmes dimensions et mêmes dispositions, comme celles des objets sortis d'un même moule. Deux solides ou deux volumes sont dits équivalens, quand, sous des formes différentes, ils contiennent le même nombre de fois un
certain volume, pris pour unité de mesure ”

“ De ces suppositions fondamentales découle une conséquence qui, dans l’école de Werner, est considérée comme un axiome, savoir, que l’ordre de superposition décide celui de formation des matières pierreuses attachées au sol. ”

“ Par les points M' et N' on mène des perpendiculaires à ces deux droites et le point de concours A' est le sommet homologue du sommet A.
On détermine de la même manière les sommets B', C',. homologues de B, C. Et le polygone A'B'C'D'E' est égal au polygone ABCDE, car on peut faire coïncider leurs périmètres par la superposition. -' b. Dans certains métiers, on obtient la copie d'une figure par des procédés qui se rattachent plus directement au principe de l'égalité par superposition. ”

“ La formation calcaire prise de ce sa ble est composée de couches alternatives, de calcaire grossier plus ou moins dur, de marne argileuse et même d'argile feuilletée en couche très mince, et de marne calcaire; mais il ne faut pas croire que ces divers bancs y soient placés au hasard et sans règles : ils suivent toujours le même ordre de superposition dans l'étendue considérable de terrain que nous avons parcourue.
Il y en a quelquefois plusieurs qui manquent ou qui sont très-minces; mais celui qui étoit inférieur dans un canton, ne devient jamais supérieur dans un autre. ”

“ Mais direz-vous, nous n'avons que faire ici de la matière ; la multiplication et la division à l'infini ne se rapportent qu'à l'espace et au temps. A coup sûr ; mais le temps, l'espace et la matière nous sont donnés non pas séparément, mais en un seul bloc dans la loi du mouvement. Nombre de penseurs ont fait effort, sans doute dans un faux esprit de simplification, de séparer l'image du contenu de celle du contenant, ou
l'idée de la matière bornée de celle de l'étendue sans fin. ”

“ Nous nous efforçons d’atteindre en chaque objet les éléments générateurs, comme nous les atteignons dans la sphère, dans le cylindre, dans le cercle, dans le cône, et dans tous les composés mathématiques. Nous réduisons les corps naturels à deux ou trois sortes de mouvements, attraction, vibration, polarisation, comme nous réduisons les corps géométriques à deux ou trois sortes d’éléments, le point, le mouvement, la ligne, et nous jugeons notre science partielle ou complète, provisoire ou définitive, suivant que cette réduction est approximative ou absolue, imparfaite ou achevée. ”

“ Prenez un corps sollicité par deux forces dont les directions font un angle, il se meut suivant la diagonale ; chaque partie, chaque moment, chaque position, chaque élément de son mouvement est l’effet combiné des deux forces sollicitantes. ”

“ Sans doute, toute branche des mathématiques traite de concepts qui sont des concepts abstraits au plus haut point ; c’est l’abstraction qui fournit les notions de nombre, de ligne, de surface, d’angle, de masse, de force, de pression ”

“ Le mouvement alternatif du point qui va et vient sur le diamètre, enfermé par le cercle, est l’image du devenir d’ici-bas, fait de ruptures d’équilibre successives et contraires, équivalent changeant d’un équilibre immobile et en acte. ”

“ Dans les deux cas le point d'intersection B des deux droites est appelé le pied de la perpendiculaire ou de l'oblique.
On nomme angle droit tout angle dont l'un des côtés est perpendiculaire
à l'autre.
6. Un théorème est la proposition d'une vérité qu'il faut démontrer.
L'énoncé d'un théorème renferme deux parties, savoir: une hypothèse faite sur un certain sujet et une conclusion qui est la conséquence de l'hypothèse. Le raisonnement que l'on
fait pour déduire la conclusion de l'hypothèse, lorsque leur dépendance n'est pas évidente, est appelé la démonstration du théorème. ”

“ Construire l'intersection d'une surface de révolution par un plan et les tangentes à la courbe d'intersection — Résoudre cette question lorsque la figure génératrice est une droite qui ne rencontre pas l'axe. ”

“ Corollaire 1.er. Donc, pour qu’une droite soit moyenne proportionnelle de grandeur et de position entre et il faut qu’on ait en sorte que partage en deux parties égales l’angle formé par les droites
Exemple 2. Pour avoir la progression de grandeur et de position il faut qu’on ait, à la fois et
Corollaire 2. Donc, dans une progression de grandeur et de position, les grandeurs absolues des droits sont en progression géométrique, tandis que les angles qu’elles font avec l’axe des abscisses positives croissent en progression arithmétique. ”

“ La vîtesse d’un corps qui circule dans une section conique quelconque est à la vîtesse d’un corps qui fait sa révolution dans un cercle à la distance de la moitié du parametre principal, comme cette distance est à la perpendiculaire abaissée du foyer de la section sur la tangente. ”

“ Quels que soient le nombre, la grandeur et la direction de ces forces, si l’on fait varier infiniment peu, d’une manière quelconque, la position du point, le produit de la résultante par la quantité dont le point s’avance suivant sa direction est égal à la somme des produits de chaque force par la quantité correspondante. La quantité dont le point s’avance suivant la direction d’une force est la projection de la droite qui joint les deux positions du point sur la direction de la force ”

“ La projection d’une force sur un plan mené par un point fixe, multipliée par la distance du point à cette projection, est ce que l’on nomme moment de la force pour faire tourner le système autour de l’axe qui, passant par le point fixe, est perpendiculaire au plan. ”

“ Si, au lieu d’un point matériel unique, on considère un système de points matériels, la quantité de mouvement et la force vive du système seront la somme arithmétique des quantités de mouvement et des forces vives de tous les points du système. ”

“ Les astronomes déterminent habituellement l’équation du centre au moyen d’une série développée suivant les sinus des angles etc., dont les coefficients eux-mêmes forment des séries convergentes, selon les puissances croissantes de l’excentricité. ”

“ Enfin, on a vu, dans le Chapitre II, que la somme des intégrales du produit de chaque force finie du système par l’élément de sa direction, somme qui, dans l’état d’équilibre, est nulle, devient un minimum dans l’état du mouvement. ”

“ Oppositions physiquesOppositions physiques Les mathématiques étant le domaine propre de la Répétition et de l’Opposition, il n’est pas surprenant que les principes ou les concepts fondamentaux de la Mécanique, de la Physique et de la Chimie, élaborés par des mathématiciens, prêtent au monde réel, qu’ils prétendent expliquer, un amour prodigieusement abusif de l’uniformité et de l’équilibre, de la monotonie et de la symétrie, de la série processionnelle ou de la lutte tragique des forces et des êtres. ”

“ D'une manière analogue, la longueur d'une circonférence.
la surface d'un cercle, la surface et le volume d'une sphère sont fonctions du rayon pris pour variable indépendante, et réciproquement ; — le volume d'une masse de gaz est fonction de la pression qu'il supporte, et réciproquement ; — l'espace parcouru par un mobile de vitesse uniforme est fonction du temps, et réciproquement, etc... ”

“ Associés en proportions variées, ils forment tous ces groupemens, dont le nombre est en quelque sorte infini. Les forces qui les rattachent s’équilibrent des façons les plus diverses, et ces équilibres, toujours changeans, se succèdent à travers des métamorphoses sans fin. ”

“ Toutes les grandeurs géométriques, les longueurs, les aires, les volumes, les angles, sont qualifiées de grandeurs continues, parce qu’elles ont évidemment la propriété de croître ou de décroître avec continuité ; il en est de même des grandeurs que l’on considère en mécanique, telles que la vitesse, la force, la résistance. ”

“ SCOLIE II. Une même surface de révolution peut être engendrée d'une infinité de manières; car une ligne quelconque tracée sur la surface et tournant autour de l'axe de révolution, engendre les mêmes parallèles, et par conséquent la même surface de révolution. ”

“ Le double mouvement fondamental, de composition après absorption, et d'exhalation du produit de la décomposition, qui constitue la vie générale, ne peut, en effet, être un seul instant suspendu, sans déterminer aussitôt la tendance directe à la désorganisation. ”

“ Nos remarques, jusqu’à présent, s’appliquent surtout à la masse en général, mais on ne doit pas oublier qu’elle présente simultanément un double aspect, masse externe, masse interne, et que le rapport de l’une à l’autre offre un intérêt singulier pour l’étude de la forme dans l’espace. ”

“ Si la force est inclinée à un plan donné de position, en prenant sur sa direction, à partir du point où elle rencontre le plan, une ligne pour la représenter, la perpendiculaire abaissée de l’extrémité de cette ligne sur le plan sera la force primitive décomposée perpendiculairement à ce plan. ”

“ Exercice 945 2211. Problème. Un segment parabolique est limité par une corde perpendiculaire à l'axe; par une des extrémités de cette corde, on mène une parallèle à l'axe. Mener une tangente limitée aux côtés de l'angle droit et telle que le point de contact soit le milieu du segment intercepté.
(Voir Méthodes, no 318.) Exercice 946 2212. Problème. Couper un cône de révolution de manière que la section soit une ellipse, une parabole, ou une hyperbole données. ”

“ Or, pendant un siècle et demi, après Newton, mathématiciens et physiciens faisaient des efforts inouïs pour trouver différentes démonstrations, qu'on nommait démonstrations statiques, pour la loi de la composition des forces cette loi qui nous donne le moyen de trouver une force unique pouvant produire, lorsqu'elle est appliquée à un corps, exactement le même effet que deux forces appliquées au même point et agissant simultanément. ”

“ Caustique, s. f. dans la Géométrie transcendante, est le nom que l’on donne à la courbe que touchent les rayons réflechis ou réfractés par quelqu’autre courbe. Voyez Courbe. Si une infinité de rayons de lumiere infiniment proches tombent sur toute l’étendue d’une surface courbe, & que ces rayons soient supposés réfléchis ou rompus suivant les lois de la réflexion & de la réfraction, la suite des points de concours des rayons réflechis ou rompus infiniment proches, formera un polygone d’une infinité de côtés ou une courbe qu’on appelle caustique ”

“ Sans remonter jusqu’à la création, je suppose l’univers au premier moment comme une masse compacte, indistincte, non différenciée, indivise, identique ; et je me sers du mot division pour désigner le premier moment cosmogonique, à peu près comme la Genèse se sert du terme Séparation. ”

“ Deux opinions principales divisent aujourd’hui les physiciens, sur les causes générales des combinaisons des corps [6] .
Les uns supposent que toutes les forces proviennent d’une impulsion première, qui a sa source dans la force propre des premières parties de matières, dont nous venons de parler. ”

“ Ainsi, les corps arrondis ou à superficies courbes, sont ceux sur lesquels on ne peut appliquer une règle ; telle qu'une boule ou forme appelée sphérique. Ou peut toujours appliquer la règle en tous sens sur un plan ou superficie plate.
Diversité des corps solides.
Corps rond. — Corps parfait de régularité qui se termine par une seule surface courbe rentrante sur elle-même. Un œuf ou sphéroïde est terminé aussi par une seule surface arrondie et allongée. Les procédés mécaniques de l'industrie produisent une infinité de corps à surfaces courbes. ”

“ THÉORÈME. Le lieu des milieux des cordes menées à une surface quelconque du second ordre, par un quelconque des points de l’espace, est une autre surface du second ordre, semblable à la première et semblablement située, passant par le centre de celle-ci et par le point donné. ”

“ Tant que les forces composantes et les forces décomposantes s’équilibrent, nous restons sous la forme présente. Mais dès qu’elles cessent un seul instant de se balancer, nous nous transformons. Si ce sont les forces composantes qui l’emportent, nous venons au jour ”

“ Donc a : b :: b : c, et b : c :: c : d, c’est-à-dire, que les quantités a, b, c, d, etc., sont en progression géométrique ; d’où il suit que les différences a−b, b−c, c−d, etc., forment aussi une progression géométrique. ”

“ Les forces par lesquelles les corps, qui se meuvent dans des espaces libres, sont détournés du mouvement rectiligne & contraints à décrire des courbes, sont entr’elles comme les fléches des arces évanouissants parcourus en temps égaux, & ces fléches convergent vers le centre des forces, & coupent les cordes des arcs évanouissants en deux parties égales ”

“ Transformation parabolique. — En prenant une parabole pour courbe directrice, dans la théorie des polaires, on transforme immédiatement la grandeur d'un segment rectiligne; ce qui conduit avec une grande facilité à de nombreux résultats. ”

“ Comme nous connaissons l'effet d'une force appliquée au centre de masse d'une part, et de l'autre l'effet d'un couple, nous pouvons nous figurer celui de la force unique F appliquée en A, qui équivaut à la réunion des précédents.
246. Effet de plusieurs forces. — Dans le cas où plusieurs forces agissent sur un système, nous pouvons les transporter toutes au centre de masse, et là les composer comme les forces appliquées à un point matériel, puis composer aussi les couples auxquels ces transports auront donné naissance. ”