Ch.-Philippe Cahen

“ Nous avons fait dans cette voie une tentative qui, nous n'en doutons pas, sera suivie par de plus habiles, désireux de marcher sur la trace des Poncelet et des Poinsot, et notre espoir le plus vif est de voir un jour la mécanique rationnelle cesser d'être le domaine exclusif des hautes écoles et devenir abordable au plus grand nombre.
Vulgariser une science quand ce n'est pas aux dépens de la rigueur des démonstrations, c'est rendre service à ceux auxquels cette science est nécessaire. ”

“ Variation de la puissance vive intérieure. On voit donc que, pour étudier les variations que peut éprouver par suite du choc la puissance vive totale d'un système, on peut faire abstraction de la puissance vive extérieure du système, qui est invariable, et ne considérer que la puissance vive intérieure.
Ce qui veut dire que la puissance vive totale est indépendante du mouvement du centre de masse et nous permet, pour simplifier cette étude, de supposer ce point
immobile et de le prendre comme repère fixe du mouvement de nos deux masses. ”

“ Entre les mains de Galilée, d'Huygens et même de Newton, elle avait déjà abordé les problèmes compliqués de dynamique, celui de la chute des graves, celui du pendule et celui du mouvement planétaire.
Mais dans ces problèmes il n'est question que du mouvement de corps qu'on peut assimiler à des points matériels.
Le premier problème de mécanique traitant du mouvement d'un corps est celui du pendule composé qu'avait résolu Huygens. ”

“ La cinématique des accélérations qui mériterait un nom à part, constitue déjà un degré de plus dans la hiérarchie de la science ; à la notion de masse près, c'est presque de la dynamique.
La notion d'accélération n'a pas, comme celle de vitesse, été connue par Aristote et les anciens'; elle ne fait son apparition qu'avec la loi de la chute des graves, et là encore il n'est question que d'accélérations tangentielles, et il faut aller jusqu'à Newton pour trouver des traces de la notion d'accélération normale. ”

“ Cet énoncé constitue la première partie de ce qu'on appelle le principe d'inertie.
C'est, en réalité, un axiome plus métaphysique que mathématique sans lequel la mécanique ne saurait exister.
Mais comme l'énoncé de cet axiome ne précise aucune loi, soit de nombre soit de forme, on ne peut pas le considérer comme servant de base à une théorie mathématique.
158. Principe d'inertie. — Seconde partie. — La proposition suivante, au contraire, qui est l'énoncé d'une
loi de nombre et de forme est un véritable postulatum servant de point de départ à toute la théorie du mouvement des corps. ”

“ Envisagée à ce point de vue universel, la notion de moment est d'un usage fréquent, même ailleurs que dans la cinématique, c'est ce qui fait qu'on n'a pas cru devoir conserver la dénomination de vitesse aréolaire qui semble porter des restrictions à la généralité de la vérité démontrée sous le nom de théorème des moments. ”

“ La notion de force se présente à nous naturellement à l'état statique par l'effort que produit un corps pesant au repos sur son appui.
C'est parce que la statique est l'aînée des branches de la mécanique, c'est parce que par elle ont débuté la plupart des traités, que la notion de force a usurpé le premier rang.
Mais du moment où nous nous décidons à ne considérer la statique que comme un cas particulier de la dynamique ; Du moment où nous considérons la dynamique comme n'étant au fond que la cinématique avec la notion de masse en plus ”

“ Si maintenant nous supposons, au contraire, le moment total des quantités de mouvement par rapport au centre de masse, c'est-à-dire la vitesse aréolaire résultante, par rapport au centre de masse, nulle, cela signifie que notre système invariable n'est animé d'aucun mouvement de rotation, mais d'une simple translation qui n'est autre chose que celle de son centre de masse. ”

“ Lorsqu'un système est assujetti à avoir un point fixe, la seule condition d'équilibre est que la résultante soit
nulle, ou sinon qu'elle passe par le point fixe sur lequel elle donnera lieu à des pressions ou à des tensions.
334. Lorsqu'il y a un axe fixe, comme dans le cas du
treuil, il peut y avoir équilibre, comme dans le cas général, lorsque la résultante et le couple résultant sont nuls; mais si la résultante n'est pas nulle, il y a encore équilibre lorsqu'elle rencontre l'axe fixe. ”

“ Il ne restait donc plus de grand principe à découvrir, et Huygens n'eut qu'à développer et à compléter chacune des découvertes de Galilée.
Huygens, né à La Haye en 1629, s'occupa surtout de compléter la théorie du pendule mise à l'ordre du jour,
comme on l'a vu par Galilée, et d'appliquer cette théorie à la mesure du temps, mesure dont les observations astronomiques faisaient sentir un besoin urgent et qui eut une immense influence sur les progrès de la mécanique céleste. ”

“ Que le mouvement le plus général d'un système sous l'influence d'impulsions antérieures se compose : 1° Du mouvement décrit ci-dessus de l'ellipsoïde d'inertie;
2° D'une translation rectiligne et uniforme de tout le système, y compris l'ellipsoïde d'inertie et le plan P.
220. Tel est, dans toute sa généralité, l'énoncé du principe d'inertie dont nous avons fait un postulatum dans un cas beaucoup plus restreint. ”

“ Nous nous sommes borné jusqu'ici à constater que les divers corps n'avaient pas même masse; nous n'avons de notions précises que de la masse d'un corps, tandis que nous avons fait abstraction d'une foule de propriétés qui ne laissent pas que d'intervenir dans les fonctions mécaniques, telles que la dureté, l'élasticité, etc., dont jusqu'ici nous ne savons pas donner de définition mathématique précise. ”

“ Conservation du moment de la quantité de mouvement. — La quantité de mouvement d'une sphère homogène étant une grandeur constante, en grandeur, et toujours mesurée sur la trajectoire rectiligne du centre de la sphère, son moment par rapport à un point quelconque est constant aussi.
(*) On appelle donc masse d'une sphère homogène le rapport constant entre une impulsion appliquée au centre de cette sphère et la vitesse de translation qui en est résultée.
On verra plus loin que cette définition s'étend à un corps de forme quelconque (Translation du centre de masse) . ”

“ Nous énonçons donc dès le début ces fameux principes que le monde a mis des siècles à découvrir et qui ont fait de la mécanique une science rationnelle qui, comme la géométrie, édifie sur ces principes comme base une succession non interrompue de syllogismes, qui finissent par ne plus laisser aucune de ses profondeurs inexplorées. ”

“ Si maintenant nous soumettons le centre de masse d'un système invariable à une impulsion I, il se développera, en vertu de l'invariabilité du système entre ce point et les sphères qui composent le système, certaines impulsions intérieures, à la suite desquelles tout le système prendra un certain mouvement dans lequel chaque sphère aura son mouvement propre. ”

“ La cinématique est en réalité la science des mécanismes indépendamment des efforts déployés par leurs organes.
La dynamique, au contraire, et c'est ce qui la distingue de la cinématique, nous apprend à nous rendre compte des efforts mis en jeu par chacun des organes d'un mécanisme. ”

“ Sa théorie de l'ellipsoïde d'inertie ne laisse plus aucune incertitude dans notre esprit sur les lois au premier abord si complexes du mouvement d'un corps sous l'action d'impulsions antérieures.
Les principes fondamentaux de la mécanique rationnelle sont d'une telle simplicité que rien ne semble plus s'opposer à leur développement par la méthode géométrique. ”

“ Lorsqu'un système devient invariable, il continue à se mouvoir, et son mouvement se compose : 1° D'une translation égale à celle que produirait l'impulsion résultante sur la masse totale concentrée au centre de masse; 2° D'une rotation autour du centre de masse qui ne dépend que du moment total des quantités de mouvement. ”

“ Archimède à la prise de Syracuse, jusqu'en 1583, la mécanique ne fit aucun progrès, et il est remarquable que, pendant cette longue période qui s'écoula depuis l'origine du monde jusqu'en 4583, il ne se soit trouvé qu'un seul homme pour étudier les effets des forces sur les corps, et que personne, pendant dix-sept siècles, n'ait eu l'idée de marcher à la suite d'Archimède. ”

“ Bornons-nous, en passant, à mentionner une nouvelle définition de la masse qui résulte de celle de la force ; la formule f=mj c prouve que : La masse d'un point matériel est le rapport d'une force qui agit sur ce point à l'accélération que cette force détermine. ”

“ Mais ce n'est pas seulement un simple désir de symétrie entre la cinématique et la dynamique qui nous a guidé dans cette voie.
Nous sommes convaincu en effet que, si l'on cesse d'envisager la force au point de vue purement statique, cette notion de force est bien plus complexe et bien moins naturelle que celle d'impulsion.
Quand nous voyons un projectile cheminer dans l'air, notre premier mouvement est de songer à l'impulsion qu'il a dû recevoir ”

“ Nous n'avons pas, en effet, pour but d'étudier la théorie du choc, mais seulement de mettre en évidence l'utilité de la notion de puissance vive au point de vue d'une étude plus approfondie des propriétés contingentes de la matière, propriétés que, jusqu'ici, nous avons passées sous silence à cause de notre ignorance complète sur ce point. ”

“ Pourquoi, en effet, lui dirait-on, prendre le taureau par les cornes, pourquoi débuter par une idée que l'humanité a mis des siècles à concevoir au lieu de commencer par l'idée si simple, et en quelque sorte innée de vitesse et dont d'ailleurs celle d'accélération se déduit si aisément. ”

“ On voit donc par là que si un mouvement est toujours l'effet de forces, certaines forces peuvent, dans certains cas, ne modifier en rien un mouvement préexistant. Est-ce à dire que ces forces sont sans effet? Ce serait contraire au bon sens, car qui dit force, dit effet, une force ne se manifestant à nous que par un effet. ”

“ Si nous nous représentons cette nouvelle force comme émanée d'un autre point, nous savons qu'en vertu du principe d'égalité de l'action et de la réaction, cet autre point a, pendant la seconde période d'action de la force, subi de la part du point m une force à chaque instant égale et opposée, c'est-à-dire qu'en définitive le point M n'a fait que céder à un autre le travail effectué par la première force. ”

“ La statique, on le sait, n'est qu'un cas particulier de la dynamique qu'elle a précédée historiquement de dix-sept siècles. Aujourd'hui encore, beaucoup d'auteurs commencent par la statique à l'exemple de D'Alembert, qui déduit les équations générales du mouvement de celles de l'équilibre. ”

“ On voit par là que la connaissance de la cinématique doit forcément précéder celle de la dynamique qui n'est destinée qu'à la compléter.
Cinématique des vitesses. — Après avoir, au début de la cinématique, mis en évidence dans le mouvement le plus général que peut prendre une figure, la présence de deux modes de mouvements élémentaires, les translations et les rotations dont la simultanéité constitue le
mouvement héliçoïdal, nous avons immédiatement fait ressortir de la comparaison de ces deux modes de mouvements les théorèmes des moments. ”

“ Étant admis ce principe que la force vive ne peut augmenter par la seule action du choc et sans intervention d'aucune action secondaire, telle qu'un ressort, c'est-à-dire sans l'intervention d'une force nouvelle, il nous reste à examiner si la force vive peut ne pas diminuer. ”

“ On voit dès lors qu'un couple tangentiel n'influe que sur la grandeur de l'accélération périodique et non sur la suite de ses positions, c'est-à-dire qu'un pareil couple ne donne naissance qu'à des accélérations angulaires de même direction que l'accélération angulaire périodique. ”

“ Nous pouvons supposer qu'à un moment donné tous les points du système S' ont même vitesse que ceux du système S ; cette supposition n'a, en effet, rien de contraire aux lois de la cinématique, étant la reproduction sur un corps de même forme d'un mouvement existant sur un corps de cette forme. ”

“ Un couple n'étant en réalité que la vitesse de l'extrémité G de 0 G, il en résulte que les couples se composent comme les vitesses.
DEUXIÈME PARTIE
COMPOSITION DES FORCES APPLIQUÉES A UN SYSTÈME
244. Effet d'une force unique. — Nous n'avons parlé jusqu'ici que de l'effet d'une force sur un point matériel, ce qui signifie, si l'on se reporte à la définition du point matériel, l'effet d'une force sur le centre de masse d'un système. ”

“ Cette propriété remarquable de la puissance vive justifie l'importance qu'on a attachée à la notion du travail bien mieux que le besoin d'évaluer un travail industriel, en faisant ressortir l'influence de cette notion sur l'étude de la constitution des corps. ”

“ Reportons-nous à la figure précédente, au cône des tangentes.
Nous avons vu que : L'accélération tangentielle a pour effet UNIQUE de déplacer le point m sur la génératrice om = v de ce cône, c'est-à-dire de faire varier EN GRANDEUR la vitesse v du mouvement du point M; GRANDEUR sur laquelle l'accélération normale n'a aucune influence.
L'accélération normale, au contraire, n'influe en rien
sur la longueur du rayon om, c'est-à-dire sur la grandeur de la vitesse, mais uniquement sur sa DIRECTION, car c'est elle qui tend à faire marcher le rayon o m sur le cône. ”

“ L'intérêt de ce cas particulier tient à ce qu'en pratique on a fort rarement à s'occuper des conditions d'équilibre d'un système libre, mais fréquemment de celles de divers organes de machines, tels que roues, leviers, etc., organes qui ne peuvent prendre qu'un nombre limité de mouvements tels qu'une rotation dans l'un ou l'autre sens, etc. ”

“ La quantité de mouvement totale du système, on le sait, est constante tant qu'il n'intervient aucune action extérieure, et comme le choc est une action purement intérieure, elle reste constante malgré le choc ”

“ Galilée en conclut que ex, étant l'inclinaison de l'hélice génératrice d'une vis, cette relation donne la condition d'équilibre de lavis, F étant une force tangente au noyau
de la vis.
La force f qui agit à l'extrémité du levier de la vis est liée à F par la relation trouvée précédemment (équilibre du treuil) .
On en conclut facilement, en éliminant F, une relation entre f et P.
Galilée ne manque pas d'ailleurs de faire remarquer que, dans la vis comme dans les machines précédentes, on perd en vitesse ce qu'on gagne en force et réciproquement. ”

“ On voit donc par cet exemple que la notion d'impulsion est pour nous tous antérieure à celle de force.
Un joueur de billard non mathématicien a rarement l'idée de songer au frottement qui est une force. ”