Point fixe

“ STATIQUE ET DYNAMIQUE. 3
9. On désigne sous le nom de mouvement la relation entre deux points, quand la ligne droite qui les réunit varie en grandeur ou en direction, ou en grandeur et en direction à la fois.
Un corps se meut relativement à un point, quand un point quelconque du corps est en mouvement relativement à ce point.
10. Point fixe. Quand on dit d'un point qu'il est en mouvement ou en repos, on donne ou l'on conçoit toujours un autre point .réel ou idéal, relativement auquel se produit l'état de mouvement ou de repos. Un pareil point porte le nom de point fixe. ”

“ Les distances d'un point d'une ellipse ou d'une hyperbole à un foyer et à la directrice correspondante (G., nos 845 et 850) ;
9. Les distances d'un point fixe aux points où toute droite menée par ce point fixe coupe deux parallèles (n° 63) .
10. Question analogue pour deux circonférences, en prenant pour
point fixe un des centres de similitude ; on a : ~ (n° *®) ;
Le produit de deux lignes est constant quand on considère :
14. Les deux segments d'une corde menée par un point fixe (G., n° 259) ;
42. La sécante entière et sa partie extérieure quand le point fixe est extérieur (G., n° 261) ”

“ PROBLÈME. Deux systèmes de deux points, situés sur un même plan, déterminant deux droites, que quelque obstacle empêche de construire ; déterminer, en n’employant que la règle seulement, le point de concours de ces deux droites ?
 PROBLÈME. Deux systèmes de deux droites, situés sur un même plan, déterminant deux points que quelque obstacle empêche de construire ; déterminer, en n’employant que la règle seulement, la droite qui passe par ces deux points ? ”

“ Pourquoi est-il nécessaire, en d’autres termes, qu’une figure soit libre de se mouvoir de telle façon qu’un point, une droite et un plan de cette figure, si cette droite passe par ce point et ce plan par cette droite, puissent venir s’appliquer sur un point quelconque de l’espace, sur une droite quelconque passant par ce point, sur un plan quelconque passant par cette droite ? ”

“ Le mot point entre dans beaucoup de locutions, comme lorsqu’on dit point de centre, qui porte sa définition, point d’appui, point d’équilibre, qui signifient le lieu précis où un corps trouve a être supporté, à se tenir sans tomber, et hors duquel il tomberoit. ”

“ Si l'on suppose, en effet, qu'un point se meuve sur un plan sans que son cours soit déterminé en aucune manière, on devra évidemment regarder ses deux coordonnées, dans quelque système que ce soit, comme deux variables entièrement indépendantes l'une de l'autre. ”

“ En un mot, assigner la valeur d'une des coordonnées d'un point dans quelque système que ce puisse être, c'est toujours nécessairement déterminer une certaine ligne sur laquelle ce point doit être situé. ”

“ Ils se sont institués, gratuitement, le centre de tout, le point de comparaison dont ils rapprochent tout, le modèle sur lequel ils prétendent tout régler ; et la hauteur dont ils font preuve n’est qu’une nuance de la bassesse. ”

“ Et tu verras que, si en histoire elle n’est même pas un point noir, elle est pour nous, dans le temps et dans l’espace, à la fois le centre vers qui nous rayonnons, et notre point de départ, et notre point d’arrivée. ”

“ Encore moins voudrais-je que l’on commençât par le point, n’ayant ni longueur, ni largeur, ni profondeur, pour arriver à la ligne, n’ayant que de la longueur, de là à la surface ayant longueur et largeur, et enfin au solide ayant longueur, largeur, et profondeur. Le point dans ce sens est la dernière et la plus extrême des abstractions. C’est un être si complètement abstrait et si purement idéal, que c’est le néant lui-même à qui l’on conserve pour toute existence, la propriété d’avoir certains rapports de situation avec des êtres réels ou supposés tels. ”

“ En réfléchissant à l'ensemble des conditions nécessaires pour qu'une ligne droite soit susceptible d'une mesure directe, on voit que le plus souvent elles ne peuvent point être remplies à la fois, relativement aux lignes que nous désirons connaître. ”

“ Sachons reconnaître que nos mesures, adaptées à notre taille, à la durée de notre existence, empruntées aux dimensions et au mouvement de ce point de l'univers que nous habitons; que ces mesures, dis-je, et pour l'espace et pour le temps, sont hors de proportion avec les dimensions et la durée des oeuvres du Créateur. ”

“ Nous nous efforçons d’atteindre en chaque objet les éléments générateurs, comme nous les atteignons dans la sphère, dans le cylindre, dans le cercle, dans le cône, et dans tous les composés mathématiques. Nous réduisons les corps naturels à deux ou trois sortes de mouvements, attraction, vibration, polarisation, comme nous réduisons les corps géométriques à deux ou trois sortes d’éléments, le point, le mouvement, la ligne, et nous jugeons notre science partielle ou complète, provisoire ou définitive, suivant que cette réduction est approximative ou absolue, imparfaite ou achevée. ”

“ Écartez de sa position d’équilibre un pendule idéal, simple point mathématique : une oscillation sans fin se produit, le long de laquelle des points se juxtaposent à des points et des instants succèdent à des instants. ”

“ PROBLÈME I. Étant donnés, sur un plan, trois droites indéfinies et deux points, correspondant respectivement à deux d’entre elles ; sur quelle courbe doit être situé un troisième point pour que les trois points puissent être considérés respectivement comme les pôles des trois droites, par rapport à une même section conique ? ”

“ Nous ferons remarquer à ce sujet que, dans la plupart des cas, il est facile de remédier à ces deux inconvénients en remaniant quelques lignes.
On met une espace d’un point avant le point virgule, le point d’exclamation et le point d’interrogation. ”

“ Mais alors nous pouvons nous demander si la position relative d’un objet par rapport à d’autres objets a varié ou non, et d’abord si la position relative de cet objet par rapport à notre corps a varié ; si les impressions que nous cause cet objet n’ont pas changé, nous serons enclins à juger que cette position relative n’a pas changé non plus ; si elles ont changé, nous jugerons que cet objet a changé soit d’état, soit de position relative. Il reste à décider lequel des deux. J’ai expliqué dans Science et Hypothèse comment nous avons été amenés à distinguer les changements de position. ”

“ Équation d'un plan dont on connaît les traces sur deux des plans coordonnés, - Réciproquement toute équation du premier degré à trois variables, coordonnées parallèles à trois axes, exprime un plan. — Trouver l'équation d'un plan passant par trois points donnés par leurs coordonnées. - Trouver l'équation d'un plan considéré comme contenant toutes les perpendiculaires menées à une droite par un point de cette droite, laquelle passe par l'origine. ”

“ Les divers points remarquables sont désignés par les mêmes lettres que les points correspondants des autres figures. Pour trouver les diverses valeurs finales obtenues en partant d’un point singulier donné, il faut suivre les courbes pleines ou pointillées, en allant toujours en descendant (puisque sur la figure l’axe des positifs est dirigé vers le bas) jusqu’à la droite
Fig. 4.
On trouve ainsi que
Je rappelle que représente deux valeurs finales imaginaires conjuguées. ”

“ VIII. Je détermine toutes les constantes du problème, d’après les circonstances initiales du mouvement, et je donne les valeurs définitives des coordonnées d’un point quelconque, après le temps en coordonnées initiales et en fonctions du temps ; de sorte que, dans chaque cas particulier, il ne reste que des substitutions et deux intégrations à effectuer. ”

“ I. La loi universelle, le caractère fondamental de l’être, est la tendance à persister dans sa manière d’être.
Les conditions sous lesquelles l’être nous apparaît sur la scène du monde, sont l’Espace et le Temps.
L’espace est la condition et la forme la plus apparente et la plus élémentaire de la stabilité, ou de la permanence ; le temps la condition universelle du changement. Le changement le plus simple, comme le plus général est aussi celui qui est relatif à l’espace même, ou le mouvement. ”

“ C’est simplement la condition, et non le point ou le lieu où cette condition a pris naissance, que les atomes cherchent à rétablir ; — ce qu’ils désirent, c’est simplement cette condition qui est leur normalité. « Mais ils cherchent un centre, — dira-t-on, — et un centre est un point. » ”

“ Lors qu'un plan touche une sphere qui a pour centre le centre de la terre, chaque point pris dans ce plan est dit estre dans un mesme plan de niveau avec le point d'attouchement.
3. Un point est dit avoir son apparence dans le plan du niveau, lors qu'il paroist dans ce plan; foit qu'il y soit réellement, ou que les refractions l'y fassent paroistre. ”

“ De la ligne droite et dù plan.
i. Toute la science de la Perspective repose, comme on sait, sur le principe (*) , que les lignes parallèles représentées sur le tableau concourent en un point ; et ce point n'est autre chose que l'intersection avec le tableau d'une droite menée par
(*) Voyez les notes.
Vœil y parallèlement au sysèine des lignes représentées.
2. On peut généraliser le principe, et en tirer - des conséquences utiles pour la pratique : Tous les plans parallèles mis en perspective ont une ligne de concours. ”

“ Solution. Prenons respectivement pour plan des et pour axe des le plan tangent et la normale en un point quelconque de la surface cherchée, lequel point sera conséquemment l’origine des coordonnées rectangulaires ; et soit un autre point quelconque de cette surface. ”

“ Si vous aviez maintenant le point B placé relativement au point A, comme il l'est dans votre modèle, il ne s'agirait plus que de tracer la ligne réunissant les deux points. Cherchez donc la position du point B, en appréciant la distance qui le sépare du point A, et cela avec le seul jugement de votre œil ; car toute mesure prise à l'aide d'un instru-
ment supprimerait précisément l'exercice qui, seul, peut former la justesse du coup d'œil. ”

“ Equilibre d'un point matériel. — Lorsqu'un point matériel, que nous supposerons primitivement en repos, vient à être soumis aux actions simultanées de diverses forces, il peut arriver que ces forces se contre-balancent mutuellement, de telle manière qu'il reste en repos malgré l'action des forces. ”

“ Prenez un corps sollicité par deux forces dont les directions font un angle, il se meut suivant la diagonale ; chaque partie, chaque moment, chaque position, chaque élément de son mouvement est l’effet combiné des deux forces sollicitantes. ”

“ Ne confondons pas le point de départ qui, à notre avis, s’impose presque toujours, avec le point d’arrivée, qui est libre, ou qui tout au moins peut varier selon les circonstances et selon les efforts des gens. ”

“ Je suppose qu’à chaque point de l’un corresponde un point de l’autre et un seul, et inversement ; et de plus que les coordonnées d’un point soient des fonctions continues, d’ailleurs tout à fait quelconques, des coordonnées du point correspondant. Je suppose d’autre part qu’à chaque objet du premier monde, corresponde dans le second un objet de même nature placé précisément au point correspondant. Je suppose enfin que cette correspondance réalisée à l’instant initial, se conserve indéfiniment. ”

“ Le point et virgule (;) , le point d’exclamation (!) , le point d’interrogation (?) se séparent du mot, de la lettre ou du signe qu’ils suivent, par une espace de 1 point et demi, ou 2 points au plus, suivant l’espacement de la ligne.
27. Le deux-points (:) (anciennement appelé comma) prend avant et après lui l’espace forte de la ligne où il se rencontre, c’est-à-dire s’espace comme un mot. ”

“ Et, si un point jouit de cette propriété, par rapport à trois plans déterminés, non parallèles, il en jouira par rapport à tout autre plan quelconque ; et sera conséquemment le point dont il s’agit ici. ”

“ Un système situé sur un plan, ou, comme on le dit, un système plan, peut être regardé comme la projection sur son plan de divers systèmes situés dans l'espace, étant tous du même genre comme étant tous soumis à une certaine et même loi de formation. ”

“ Quittez ces abstractions, faites un premier pas vers la nature, la grandeur se détermine vous rencontrez l’étendue et bientôt le mouvement. L’étendue, dans ses déterminations et ses lois universelles, voilà l’objet de la géométrie ; le mouvement, considéré d’une manière abstraite, voilà l’objet de la mécanique rationnelle. ”

“ On aura de la peine à le convertir.
☞ Convertir, en terme de Logique & de Rhétorique, c’est retourner, rétorquer un argument, le montrer par des côtés opposés, en changeant l’attribut en sujet, & le sujet en attribut. Convertere, intervertere.
☞ On le dit aussi des termes qui peuvent se dire l’un de l’autre. Etendue & divisibilité sont deux termes qui se convertissent. Tout ce qui est étendu en longueur, largeur & profondeur, est un corps. Tout corps est ce qui est étendu en longueur, largeur & profondeur. ”

“ Sans conteste possible, l’emploi du point est préférable à celui de la virgule et de l’espace : 1° dans aucun cas il n’occasionne de surprise ou de confusion de lecture ; 2° point n’est besoin d’en conseiller la présence dans telle circonstance et la suppression dans telle autre ; 3° dans les opérations, dans les tableaux, le gros point, fondu sur demi-cadratin, tout comme les chiffres, simplifie le travail de l’ouvrier ”

“ Le principe sur lequel repose la réflexion est basé sur cette vérité : que l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion; en d'autres termes, l'angle sous lequel un rayon lumineux tombe sur une surface est égal à celui suivant lequel il s'y réfléchit. ”

“ Pour le géomètre pur lui-même, cette faculté est nécessaire, c'est par la logique qu'on démontre, c'est par l'intuition qu'on invente. Savoir critiquer est bon, savoir créer est mieux. Vous savez reconnaître si une combinaison est correcte; la belle affaire si vous ne possédez pas l'art de choisir entre toutes les combinaisons possibles. La logique nous apprend que sur tel ou tel chemin nous sommes sûrs de ne pas rencontrer d'obstacle; elle ne nous dit pas quel est celui qui mène au but. Pour cela il faut voir le but de loin, et la faculté qui nous apprend à voir, c'est l'intuition. ”

“ Mais quand vous aurez montré que la ligne droite est une idée nécessaire, vous n’aurez pas montré qu’elle est une chose nécessaire, et c’est sur les choses mêmes, avez-vous dit...
eudoxe. — Je vois, Ariste, que vous distinguez idée et chose ; pour moi je ne puis comprendre qu’une idée nécessaire ne soit pas une chose nécessaire ; et j’entends prouver que la ligne droite est une chose nécessaire.
ariste. — Voulez-vous dire qu’il puisse exister dans la nature une seule ligne droite parfaite ? ”