Henri Poincaré

“ Mais, demande M. Couturat, comment sait-on que ce groupe est d’ordre 6 ? Parce que tout déplacement peut être regardé comme la combinaison de six mouvements élémentaires indépendants, c’est-à-dire, au fond, parce que la position d’un corps dans l’espace est déterminée par six variables indépendantes. Or, si l’on cherche la raison de ce dernier fait, on trouve finalement que c’est parce que l’espace a trois dimensions. ”

“ J’ai dit cela en effet à la fin d’un paragraphe où j’avais énoncé certaines propositions, je voulais conclure que ces propositions, qui nous semblent nécessaires, à nous qui savons la géométrie, ne nous sont pas réellement imposées et qu’une discussion plus complète est indispensable. Cette discussion, je me suis ensuite efforcé de la faire.
« On commence par plonger l’homme physique dans l’espace à trois dimensions, et on cherche comment il entre en relation avec cet espace. » ”

“ Mais, comme je ne pouvais traiter toutes les questions à la fois, j’ai, comme M. Couturat, « admis ce postulat ». Pour représenter une sensation par les variations d’une grandeur, il faut un premier travail d’élaboration dont je n’ai pas parlé et que l’expérience ne peut faire à elle seule.
En assistant pas sur ce point, je faisais une concession aux adversaires de la thèse que je soutenais ; j’en faisais une autre en traitant les six muscles de l’œil comme un « bloc ».
VIII « Ainsi que M. Poincaré l’avoue de bonne grâce, on raisonne comme si l’on savait déjà la géométrie » (p. 638) . ”

“ IV Je suis parfaitement d’accord avec M. Lechalas, sur la parenté du raisonnement par récurrence et du principe de raison suffisante.
Ce principe est la source de l’induction mathématique comme de toute induction. Malheureusement, en s’élevant jusqu’à lui, on perd en précision ce qu’on gagne en généralité. ”

“ Tout raisonnement analytique est stérile.
V Mon désaccord avec M. Couturat semble plus profond. Peut-être cependant serons-nous plus près l’un de l’autre quand je serai mieux expliqué ; je m’étonne en effet que ma pensée ait été si mal comprise, je ne croyais pas avoir été si obscur.
Suivons pas à pas la critique de M. Couturat.
L’ensemble des déplacements possibles d’un corps solide forme un groupe de transformations ; ce groupe constitue l’espace ; ce groupe est d’ordre 6. ”

“ Des échanges d’observations, sans pouvoir aboutir à un accord ont cependant un bon côté. Nul de nous ne peut se flatter d’être toujours parfaitement clair, mais souvent il ne s’apercevra qu’il a été obscur qu’en voyant qu’il n’a pas été compris. ”

“ L’esprit juge alors qu’il est plus commode de regarder le déplacement observé comme la résultante de deux changements : 1o un changement peu différent du déplacement observé, et qui sera considéré comme le déplacement réel ”

“ La pétition de principe, continue M. Couturat, n’est pas moins manifeste dans la définition du point. Certains déplacements ont un caractère commun on dit qu’ils laissent fixe un point de l’espace. Qu’est-ce à dire ? ”

“ « L’espace et la géométrie », que M. Couturat a critiqué dans le numéro de septembre 1896. Je voudrais exposer en quelques mots les réflexions que m’ont suggérées les articles de MM. Lechalas et Couturat.
Je ne veux pas engager une polémique qui, en pareille matière, serait forcément stérile ; il est aisé de comprendre pourquoi. Dans les études de ce genre, on s’efforce de s’affranchir du joug de certains habitudes d’esprit ; on cherche à rompre quelques-unes des associations d’idées auxquelles nous sommes accoutumés. ”

“ « Ou bien le caractère par lequel on définit le point est purement analytique, et alors c’est arbitrairement qu’on lui attribue un sens géométrique. » (p. 660) .
« D’autre part, l’effort d’accommodation ne donne par lui-même aucune indication sur la distance de l’objet. » ”