Henri Poincaré

“ Il nous est aussi impossible de nous représenter les corps extérieurs dans l’espace géométrique, qu’il est impossible à un peintre de peindre, sur un tableau plan, des objets avec leurs trois dimensions.
L’espace représentatif n’est qu’une image de l’espace géométrique, image déformée par une sorte de perspective, et nous ne pouvons nous représenter les objets qu’en les pliant aux lois de cette perspective. ”

“ S’ils fondent une géométrie, ce ne sera pas comme la nôtre, l’étude des mouvements de nos solides invariables ; ce sera celle des changements de position qu’ils auront ainsi distingués, et qui ne sont autres que les « déplacements non-euclidiens », ce sera la géométrie non-euclidienne.
Ainsi des êtres comme nous, dont l’éducation se ferait dans un pareil monde, n’auraient pas la même géométrie que nous.
Le monde à quatre dimensions. — De même qu’un monde non-euclidien, on peut se représenter un monde à quatre dimensions. ”

“ Commençons par la première question et cherchons d’abord le sens du premier axiome. Toutes les parties de l’espace sont qualitativement semblables : un point est qualitativement semblable à un autre point, une droite à une droite, un plan à un plan. Qu’on y prenne bien garde toutefois : la géométrie projective n’exige pas seulement que deux points ou deux plans quelconques, au sens ordinaire de ces mots, soient regardées comme qualitativement semblables. ”

“ Cela posé, « l’axiome de la distance » s’impose-t-il à nous ?
Est-il nécessaire que deux points déterminent toujours une quantité, c’est-à-dire que deux couples de points puissent ne pas être congruents ? Est-il absurde, en d’autres termes, de supposer que, dans le groupe de transformations qui servent à définir l’égalité des figures, on ne puisse pas toujours en trouver une qui transforme un couple de points quelconque en un autre couple de points également quelconque ? ”

“ Il est aisé de voir que cette crainte est vaine ; en effet, pour qu’on puisse appliquer la loi de relativité en toute rigueur, il faut l’appliquer à l’univers entier. Car si on considérait seulement une partie de cet univers, et si la position absolue de cette partie venait à varier, les distances aux autres corps de l’univers varieraient également, leur influence sur la partie de l’univers envisagée pourrait par conséquent augmenter ou diminuer, ce qui pourrait modifier les lois des phénomènes qui s’y passent. ”

“ Des êtres dont l’esprit serait fait comme le nôtre et qui auraient les mêmes sens que nous, mais qui n’auraient reçu aucune éducation préalable, pourraient recevoir d’un monde extérieur convenablement choisi des impressions telles qu’ils seraient amenés à construire une géométrie autre que celle d’Euclide et à localiser les phénomènes de ce monde extérieur dans un espace non-euclidien ou même dans un espace à quatre dimensions. ”

“ Rien n’empêche de supposer qu’un être ayant l’esprit fait comme nous, ayant les mêmes organes des sens que nous, soit placé dans un monde où la lumière ne lui parviendrait qu’après avoir traversé des milieux réfringents de forme compliquée. Les deux indications qui nous servent à apprécier les distances, cesseraient d’être liées par une relation constante. Un être qui ferait, dans un pareil monde, l’éducation de ses sens, attribuerait sans doute quatre dimensions à l’espace visuel complet. ”

“ À mes yeux, la seule géométrie dont on puisse dire en toute rigueur qu’elle est purement qualitative, c’est ce qu’on appelle l’Analysis situs, cette branche de la science où non-seulement une ellipse n’est pas regardée comme qualitativement différente d’un cercle, mais où elle n’est même pas regardée comme qualitativement différente de toute autre courbe fermée. ”

“ II. L’espace est continu et divisible à l’infini le résultat de la division infinie, ou le zéro d’étendue, s’appelle point.
III. Deux points quelconques déterminent une figure unique, appelée ligne droite ; trois points quelconques déterminent en général une figure unique, le plan. Quatre points quelconques déterminent une figure analogue à trois dimensions, et, jusqu’à preuve du contraire, il peut en être de même pour un nombre quelconque de points. Mais ce processus a, tôt ou tard, une fin, pour un certain nombre de points qui déterminent la totalité de l’espace [1] . ”

“ « Mais cet axiome n’est pas vrai ; une droite et un plan peuvent être parallèles et ne pas se rencontrer ».
Mais rappelez-vous qu’au point de vue de la géométrie projective une droite et un plan parallèle se rencontrent en un « point à l’infini » qualitativement équivalent à un point ordinaire.
Enfin M. Russell, aux trois axiomes précédents, qu’il considère comme a priori, en adjoint un quatrième qui à ses yeux a un caractère empirique : « L’espace a trois dimensions » ; d’après lui, tout ce que nous pouvions affirmer a priori c’est que le nombre des dimensions est fini et entier. ”

“ Mais si notre système est l’univers entier, l’expérience est impuissante à nous renseigner sur sa position et son orientation absolues dans l’espace. Tout ce que nos instruments, si perfectionnés qu’ils soient, pourront nous faire connaître, ce sera l’état des diverses parties de l’univers et leurs distances mutuelles. ”

“ Pourquoi refuserait-on à ces transformations le nom de mouvements et l’accorderait-on aux translations et aux rotations ? Je n’en vois qu’une raison : c’est qu’il existe dans la nature des corps, les corps solides, qui peuvent prendre à peu près des mouvements de translation ou de rotation ; il n’y en a pas qui se meuvent à peu près suivant la loi projective.
J’ai écrit quelque part quelque chose qui pourrait sembler en contradiction avec ce qui précède : j’ai écrit que la géométrie projective est visuelle et que la géométrie métrique est motrice. ”

“ S’il s’agit par exemple de la vue et si un objet se déplace devant notre œil, nous pouvons le « suivre de l’œil » et maintenir son image en un même point de la rétine par des mouvements appropriés du globe oculaire.
Ces mouvements, nous en avons conscience parce qu’ils sont volontaires et parce qu’ils sont accompagnés de sensations musculaires ; mais cela ne veut pas dire que nous nous les représentons dans l’espace géométrique. ”

“ M. Russell remarque ensuite que, pour pouvoir introduire la quantité, il faut un critérium de l’égalité de deux figures ; ce qui oblige à admettre l’axiome de libre mobilité, qu’il énonce ainsi (p. 150, § 144) « Les grandeurs spatiales peuvent être déplacées d’un lieu à l’autre sans distorsion » ; ou bien « Les formes ne dépendent en aucune manière de leur position absolue dans l’espace [3] ».
Il montre que cet axiome n’est qu’une forme un peu différente du principe de l’homogénéité de l’espace et de la relativité de position. ”

“ Aucune expérience ne sera jamais en contradiction avec le postulatum d’Euclide ; en revanche aucune expérience ne sera jamais en contradiction avec le postulatum de Lobatcheffsky.
§ 13. Mais il ne suffit pas que la géométrie euclidienne (ou non-euclidienne) ne puisse jamais être directement contredite par l’expérience Ne pourrait-il pas se faire qu’elle ne puisse s’accorder avec l’expérience qu’en violant le principe de raison suffisante et celui de la relativité de l’espace ? ”

“ À ce point de vue, l’espace moteur aurait autant de dimensions que nous avons de muscles.
Je sais qu’on va dire que si les sensations musculaires contribuent à former la notion d’espace, c’est que nous avons le sentiment de la direction de chaque mouvement et qu’il fait partie intégrante de la sensation. S’il en était ainsi, si ime sensation musculaire ne pouvait naître qu’accompagnée de ce sentiment géométrique de la direction, l’espace géométrique serait bien une forme imposée à notre sensibilité. ”

“ Pourquoi est-il nécessaire, en d’autres termes, qu’une figure soit libre de se mouvoir de telle façon qu’un point, une droite et un plan de cette figure, si cette droite passe par ce point et ce plan par cette droite, puissent venir s’appliquer sur un point quelconque de l’espace, sur une droite quelconque passant par ce point, sur un plan quelconque passant par cette droite ? ”

“ Que l’on imagine maintenant un monde où nos solides naturels ordinaires seraient inconnus, mais où il y aurait de pareils solides non-euclidiens ; que l’on suppose un géomètre élevé dans un pareil monde ; que va-t-il faire ? Son attention sera principalement appelée, non sur un des groupes qui satisfont aux trois conditions, mais sur un des groupes qui satisfont seulement aux deux premières.
C’est quand une figure sera entraînée dans un mouvement de ce groupe qu’il dira que cette figure reste égale à elle-même. C’est aux lignes principales relatives à ce groupe qu’il donnera le nom de droite. ”

“ Il n’y a aucune raison pour faire au postulat d’Euclide un sort privilégié parmi les axiomes. Ceux de la géométrie projective ne sont ni plus ni moins a priori que lui.
Outre la forme euclidienne et la forme lobatcheffskienne, beaucoup d’autres formes d’extériorité restent donc possibles.
Qui décidera entre l’espace et ces « autres formes extériorité, qui, si elles existaient, pourraient remplir le même office avec une égale efficacité [6] » (§ 192) ? ”

“ Je ne sais pas ce que M. Russell a voulu dire ; mais à mes yeux le premier sens est le seul correct. Avec ce premier énoncé, l’axiome est incontestablement a priori ; mais alors que nous enseigne-t-il ? Il ne nous enseigne qu’une seule chose, c’est que les figures doivent être libres de se mouvoir ; il ne nous apprend pas combien il y a de « degrés de liberté » (degrees of freedom) .
Pourquoi est-il nécessaire que le nombre des degrés de liberté soit 6 dans l’espace à 3 dimensions et dans l’espace à dimensions ? ”

“ Seulement, parmi tous les groupes possibles, il faut choisir celui qui sera pour ainsi dire l’étalon auquel nous rapporterons les phénomènes naturels.
L’expérience nous guide dans ce choix qu’elle ne nous impose pas ; elle nous fait reconnaître non quelle est la géométrie la plus vraie, mais quelle est la plus commode. ”

“ Ainsi ce qui caractérise le changement de position, c’est qu’il peut toujours être corrigé par ce moyen.
Il peut donc arriver que l’on passe de l’ensemble d’impressions à l’ensemble de deux manières différentes : 1o involontairement et sans éprouver de sensations musculaires ; c’est ce qui arrive quand c’est l’objet qui se déplace ; 2o volontairement et avec des sensations musculaires ; c’est ce qui arrive quand l’objet est immobile, mais que nous nous déplaçons, de telle façon que l’objet a par rapport à nous un mouvement relatif. ”

“ L’ensemble de tous les déplacements constitue ce qu’on appelle un groupe ; l’ensemble des déplacements qui laissent fixe un point de l’espace constituera un groupe partiel ou sous-groupe.
C’est dans les rapports de ce groupe et de ce sous-groupe qu’il faut chercher l’explication de ce fait que l’espace a trois dimensions. ”

“ Si un être sentant se trouve dans le voisinage, ses impressions se trouveront modifiées par le déplacement de l’objet, mais il pourra les rétablir en se mouvant lui-même d’une manière convenable. Il suffit que finalement l’ensemble de l’objet et de l’être sentant, considéré comme formant un seul corps, ait éprouvé un de ces déplacements particuliers que je viens d’appeler non-euclidiens. ”

“ Les pas qu’ils font sont donc aussi de plus en plus petits de sorte qu’ils ne peuvent jamais atteindre la sphère limite.
Si pour nous la géométrie n’est que l’étude des lois suivant lesquelles se meuvent les solides invariables ; pour ces êtres imaginaires, ce sera l’étude des lois suivant lesquelles se meuvent les solides déformés par ces différences de température dont je viens de parler.
Sans doute, dans notre monde, les solides naturels éprouvent également des variations de forme et de volume dues à réchauffement ou au refroidissement. ”

“ Il n’y a rien là qu’on ne puisse se représenter et pourtant ces sensations sont précisément celles qu’éprouverait un être muni d’une rétine à deux dimensions et qui pourrait se déplacer dans l’espace à quatre dimensions. ”

“ Pour nous, dont l’éducation a été faite par notre monde actuel, si nous étions brusquement transportés dans ce monde nouveau, nous n’aurions pas de difficulté à en rapporter les phénomènes à notre espace euclidien. ”

“ Qu’un homme soit transporté sur une planète dont le ciel serait constamment couvert d’un épais rideau de nuages, de telle façon qu’on ne puisse jamais apercevoir les autres astres ; sur cette planète on vivra comme si elle était isolée dans l’espace. ”

“ Naturellement, il nous est loisible, si nous le préférons, de continuer à exclure la distance, entendue au sens ordinaire, comme la grandeur d’une ligne droite finie, et de définir le mot distance de la manière qu’il nous plaira. ”

“ Les corps solides et la géométrie. — Parmi les objets qui nous entourent, il y en a qui éprouvent fréquemment des déplacements susceptibles d’être aussi corrigés par un mouvement corrélatif de notre propre corps, ce sont les corps solides. ”

“ Elle est d’ailleurs évidemment acquise ; elle est, comme toutes les associations d’idées, le résultat d’une habitude ; cette habitude résulte elle-même d’expériences très nombreuses ; sans aucun doute, si l’éducation de nos sens s’était faite dans un milieu différent, où nous aurions subi des impressions différentes, des habitudes contraires auraient pris naissance et nos sensations musculaires se seraient associées selon d’autres lois. ”

“ Qu’on me permette à ce sujet une petite digression. J’ai parlé plus haut des données qui définissent la position des divers corps du système ; j’aurais dû parler également de celles qui définissent leurs vitesses ; j’aurais eu alors à distinguer la vitesse avec laquelle varient les distances mutuelles des divers corps ; et d’autre part les vitesses de translation et de rotation du système, c’est-à-dire les vitesses avec lesquelles varient sa position et son orientation absolues. ”

“ Des êtres qui y feraient leur éducation trouveraient sans doute plus commode de créer une géométrie différente de la nôtre, qui s’adapterait mieux à leurs impressions. Quant à nous, en face des mêmes impressions, il est certain que nous trouverions plus commode de ne pas changer nos habitudes. ”