Albert Einstein

“ Et comme la géométrie axiomatique seule ne contient pas d’affirmations sur la réalité accessible à l’expérience, mais seulement la géométrie axiomatique jointe aux propositions physiques, il devrait être possible et raisonnable — quelle que soit la nature de la réalité — de conserver la géométrie euclidienne. Car on se décidera plus volontiers à modifier les lois physiques que la géométrie axiomatique euclidienne, si des contradictions viennent à se manifester entre la théorie et la pratique. ”

“ L’espace de l’Univers est fini. Ce sera le cas s’il existe dans l’espace de l’Univers une densité moyenne de la matière pondérable différente de zéro. Le volume de l’espace de l’Univers est d’autant plus grand que cette densité moyenne est plus petite.
Je ne voudrais pas manquer de rappeler qu’on peut avancer une raison théorique en faveur de l’hypothèse de l’Univers fini. La théorie de la relativité nous apprend que l’inertie d’un corps déterminé est d’autant plus grande qu’il y a plus de masses pondérables dans son voisinage ”

“ Car il n’est pas difficile de déterminer l’état physique d’un étalon d’une manière si exacte qu’il reste suffisamment identique par rapport à la position relative des autres étalons, en sorte qu’il puisse être substitué au corps rigide. C’est à ces étalons que seront rapportés les énoncés sur les corps rigides.
Toute géométrie pratique repose sur un principe accessible à l’expérience que nous allons esquisser. Nous appellerons la somme des deux signes marqués sur un corps pratiquement rigide une droite. Imaginons deux corps pratiquement rigides sur chacun desquels une droite est tracée. ”

“ C’est pourquoi la question, si le monde est spatialement fini ou non, me paraît être, dans le sens de la géométrie pratique, une question d’une réelle signification. Je ne tiens même pas pour impossible que dans un proche avenir l’astronomie fournira une réponse à cette question. Représentons-nous ce que la théorie de la relativité générale nous apprend à ce sujet. D’après celle-ci deux possibilités se présentent.
1. L’espace de l’Univers est infini. ”

“ Car on peut essayer d’attribuer même alors une signification physique à ces notions de champ — dont on a donné une définition physique pour la description de l’état géométrique des corps qui sont grands par rapport à la molécule — quand il s’agit de la description des particules élémentaires électriques qui constituent la matière. Le succès seul peut décider si l’essai consistant à accorder aux notions fondamentales de la géométrie riemannienne une réalité physique, qui dépasse la région définie physiquement, est justifié. ”

“ Mais à mesure qu’on avance dans la construction, il devient de plus en plus manifeste qu’il n’est pas possible d’obtenir une couche ininterrompue de petits disques dans le sens indiqué, comme ce devrait être le cas d’après la géométrie euclidienne du plan. De cette façon, des êtres même qui ne quittent jamais la surface de la sphère, et qui ne peuvent non plus regarder de la surface sphérique dans l’espace à trois dimensions, pourraient constater, en expérimentant seulement avec de petits disques, que leur espace à deux dimensions n’est pas euclidien mais sphérique. ”

“ La distribution des étoiles visibles est extrêmement irrégulière, de sorte que nous n’avons nullement le droit de considérer la densité moyenne de la matière stellaire dans l’Univers comme étant égale à la densité moyenne de la Voie lactée. ”

“ Pour le cas où l’Univers serait spatialement fini, il existe encore un autre écart de la théorie newtonienne, qu’on peut exprimer dans le langage de cette dernière de la façon suivante : Le champ de gravitation est ainsi constitué qu’on dirait qu’en outre des masses pondérables une densité de masse de signe négatif, qui est distribuée également dans l’espace, concourt encore à sa production. ”

“ Si l’on rejette le rapport entre le corps pratiquement rigide et la géométrie, on ne pourra pas s’affranchir facilement de la convention, qu’il faut garder la géométrie euclidienne parce qu’elle est la plus simple. ”

“ La seule chose qu’on puisse énoncer objectivement sur les ombres des petits disques est précisément qu’elles se comportent, géométriquement, exactement de la même façon que de petits disques rigides sur la surface de la sphère dans le sens de la géométrie euclidienne. ”

“ En ce qui concerne l’objection qu’il n’existe pas de corps réellement rigides dans la nature, et que par conséquent les propriétés qui en sont affirmées ne concernent nullement la réalité physique, elle ne me paraît pas être si forte qu’on pourrait le croire à un examen superficiel. ”

“ Mais il est d’autre part certain que la mathématique en général et la géométrie en particulier doivent leur existence à notre besoin d’apprendre quelque chose sur la manière d’être des objets réels. Le mot géométrie, qui signifie mesure du terrain, le prouve déjà. ”

“ Un autre exemple d’un continu infini est le plan. Nous pouvons disposer sur un plan de petites pièces de carton de telle façon qu’à chaque côté d’un carré de carton soit appliqué un autre carré de carton. La construction ne sera jamais finie ; on peut toujours ajouter de nouveaux carrés de carton — à condition que leurs lois de disposition soient conformes à celles des figures planes de la géométrie euclidienne. Le plan est ainsi infini par rapport aux carrés de carton. On dit en conséquence que le plan est un continu infini à deux dimensions et que l’espace en est un à trois dimensions ”

“ Examinons de ce point de vue un axiome quelconque de la géométrie, par exemple le suivant : par deux points de l’espace on peut toujours tracer une ligne droite, et l’on n’en peut tracer qu’une seule. Comment cet axiome doit-il être interprété dans le sens ancien et comment dans le sens moderne ?
Interprétation ancienne. — Chacun sait ce qu’est une droite et ce qu’est un point. ”

“ Les équations de la théorie de la relativité générale permettent de montrer que cette réduction totale de l’inertie à l’action réciproque entre les masses — comme l’a demandé par exemple E. Mach — n’est possible que si l’Univers est spatialement fini. ”

“ Des corps solides se comportent par rapport à leurs possibilités de position comme des corps à trois dimensions de la géométrie euclidienne ; alors les propositions de la géométrie euclidienne contiennent des énoncés sur la manière d’être des corps pratiquement rigides. ”

“ Moins problématique apparaît l’extension des notions de la géométrie pratique à des espaces, d’un ordre de grandeur cosmique. On pourrait certes objecter qu’une construction de barres solides s’écarte d’autant plus de l’idéal de rigidité que son étendue spatiale est plus grande. ”

“ Pour autant que les propositions de la mathématique se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et pour autant qu’elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité. ”

“ Alors nous pouvons calculer le champ de gravitation d’après la loi de Newton, ainsi que les vitesses moyennes que doivent posséder les étoiles pour que la Voie lactée ne s’écroule pas sous l’action mutuelle des étoiles qui la composent, mais maintienne son étendue. ”

“ Si les vitesses réelles des étoiles, qui peuvent être mesurées, étaient plus petites que celles données par le calcul, la preuve serait fournie que les attractions réelles à des grandes distances seraient plus petites que celles exigées par la loi de Newton. ”