Dimensions

“ Sans doute les notes que nous entendons alors tendent déjà, selon leur hauteur et leur quantité, à couvrir devant nos yeux des surfaces de dimensions variées, à tracer des arabesques, à nous donner des sensations de largeur, de ténuité, de stabilité, de caprice. ”

“ Quand nous disons que l’espace a trois dimensions, dira-t-on, nous voulons dire que l’ensemble des points de l’espace satisfait à la définition que nous venons de donner du continu physique à trois dimensions. ”

“ Vous savez comment sur une surface plane qui n’a que deux dimensions on peut représenter la figure d’un solide à trois dimensions, et de là, ils soutiennent que par des images de trois dimensions ils pourraient en représenter une de quatre s’il leur était possible de se rendre compte de la perspective de la chose. ”

“ S'il nous importe, de plus, de saisir le mieux possible la forme générale et les dimensions de l'objet, nous nous plaçons de manière que, sans mouvoir la tête, nous puissions parcourir du regard toute la surface, et qu'en outre, les dimensions que nous voulons comparer se présentent d'une manière aussi symétrique que possible. ”

“ SOLIDE, s. m. en Géométrie, est une portion d’étendue qui a les trois dimensions, c’est-à-dire, longueur, largeur, & profondeur. Voyez Dimension.
Ainsi, comme tous les corps ont les trois dimensions, solide & corps sont souvent employés comme synonymes. ”

“ LES PERCEPTIONS DU TOUCHER. C’est par le toucher que nous percevons l’étendue complètement, c’est-à-dire sous ses trois dimensions. La perception de la profondeur est liée à celle de la résistance : le corps réel, par opposition au corps géométrique, c’est le corps qui résiste. Cette perception de la résistance, sous une forme plus complexe, est la perception de la consistance, de la cohésion plus ou moins grande des parties, et enfin du poids. ”

“ Les dimensions plus grandes, qu’exprime le mot colossal, n’entrent point dans les idées simples de l’Art, regardé comme l’imitation exacte de la nature. On imite infidèlement, pour parler rigoureusement, lorsqu’on ne donne pas, aux objets imités, jusqu’aux dimensions qu’ils ont dans la nature. ”

“ Sachons reconnaître que nos mesures, adaptées à notre taille, à la durée de notre existence, empruntées aux dimensions et au mouvement de ce point de l'univers que nous habitons; que ces mesures, dis-je, et pour l'espace et pour le temps, sont hors de proportion avec les dimensions et la durée des oeuvres du Créateur. ”

“ Or, si nous savons que les trois dimensions géométriques : largeur, hauteur et profondeur peuvent toujours être contenues dans une idée, ces trois dimensions, par contre, ne peuvent jamais suffire à construire intégralement une qualité, que ce soit une courbe dans l’espace ou un raisonnement de l’esprit. ”

“ L’Idée à quatre dimensions est éternelle et immuable, sans mesure et sans âge. Elle se manifeste par le symbole de cette matière à trois dimensions qui nous paraît en mouvement et dans un état de perpétuel devenir. ”

“ C’est que la sensibilité aux variations de grandeur devient en quelque sorte de plus en plus obtuse à mesure que les dimensions elles-mêmes augmentent ; dans l’échelle des grandeurs les plus familières à nos regards, elle se proportionne exactement à ces grandeurs mêmes. ”

“ L’espace considéré suivant ses trois dimensions nous donne la connaissance complète des corps ou des formes que présente la nature. À défaut de la sculpture ou des plans en relief qui nous fournissent la plus parfaite expression de ces formes, on peut représenter graphiquement des solides dans l’espace. ”

“ C’est simplement ceci : l’Espace, tel que nos mathématiciens l’entendent, est censé avoir trois dimensions, qu’on peut appeler Longueur, Largeur et Épaisseur, et il est toujours définissable par référence, à trois plans, chacun à angles droits avec les autres. ”

“ Car, ces vastes dimensions obtenues par un simple effort mécanique, sans qu'aucun caractère de solidité apparente, aucun aspect de robustesse vous rassure, ces vastes dimensions peuvent bien vous donner l'impression du vide, jamais elles ne sauraient vous donner le sentiment de la grandeur. ”

“ Supposons que, dans une nuit, toutes les dimensions de l’Univers deviennent mille fois plus grandes : le monde sera resté semblable à lui-même, en donnant au mot de similitude le même sens qu’au troisième livre de géométrie. ”

“ En spéculant sur les figures infiniment petites, les mathématiciens ont créé l’admirable instrument que vous connaissez et qui, en astronomie notamment, leur a rendu des services incontestables. Pour le moment je n’attribue pas la même importance aux spéculations sur l’homme à deux dimensions. ”

“ Si nous apercevions toutes les dimensions des objets sous leur véritable mesure, nous ne verrions aucun espace, & tout nous paroîtroit sur notre œil.
Le sens de la vue n’a, pour juger la grandeur des objets & leur distance, qu’une même mesure, savoir, l’ouverture de l’angle qu’ils font dans notre œil ”

“ Eli bien ! tous les corps que renferme la nature, tous ceux que l'industrie façonne, tout espace vide ou occupé par une substance quelconque, se mesurent, se comparent au moyen de trois dimensions , et prennent en géométrie le nom de solides ou volumes. ”

“ Ainsi, quand on sait à quelle distance est situé un objet, la simple observation, toujours possible, de son diamètre apparent, doit évidemment permettre de déterminer indirectement, quelqu'inaccessible qu'il puisse être, ses dimensions réelles, et, par une suite de recherches analogues, sa surface, son volume, son poids même, et une foule d'autres propriétés, dont la connaissance semblait devoir nous être nécessairement interdite. ”

“ Le géométral constate les rapports entre la hauteur de l’objet et la largeur de son plan, ce qui constitue l’étendue, le spatium corporis, le corps sous ses trois dimensions, ce que les Grecs nommaient τό τριχή διαστατόν. ”

“ Où est le secret d'une erreur aussi décevante? Il est surtout dans la parfaite concordance des trois dimensions. La hauteur étant très haute, la largeur très large et la profondeur très profonde, ces trois
grandeurs se rachètent l'une l'autre et se neutralisent. ”

“ Sans l’existence du monde véritable à quatre dimensions connu par notre esprit en dehors de toute idée de temps et d’espace, l’évolution des races serait inexplicable ; le progrès, un non-sens ; l’art, une folie. On ne peut imiter un modèle qui n’existe pas et, sans un modèle, le monde à trois dimensions demeurerait immobile. ”

“ Mais il reste deux autres espèces de limitations des propositions, outre celles qui servent à les rendre conversibles : l'une regarde leur extension; l'autre leur prolongement ; car, si l'on y fait bien attention, on trouve que les sciences, outre la profondeur, ont encore deux autres dimensions, savoir : la largeur et la longueur. La profondeur se rapporte a leur vérité et à leur réalité ; car ce sont ces conditions qui donnent de la solidité aux connaissances. ”

“ La différence représente le nombre des dimensions.
Le monde non-euclidien. — Si l’espace géométrique était un cadre imposé à chacune de nos représentations, considérée individuellement, il serait impossible de se représenter une image dépouillée de ce cadre, et nous ne pourrions rien changer à notre géométrie. ”

“ Nous.allons passer maintenant à la considération des corps solides, c'est-à-dire des corps qui ont les trois dimensions de l'étendue : longueur, largeur et hauteur; ils portent le nom général de polyèdres. ”

“ Perception des distances, des dimensions.
Cette faculté est quelquefois représentée par les phrénologistes comme le sens géométrique par excellence.
Mais il est évident qu'elle partage cette propriété avec la configuration. Ce que l'observation directe nous fait voir de plus sûr à cet égard, c'est que l'étendue saisit la distance d'un objet à un autre et la dimension des objets, soit par. la vue, soit par le toucher. Elle contribue au talent pour les arts plastiques, et est indispensable surtout pour rendre la perspective. Elle contribue aussi grandement au talent d'exécution musicale. ”

“ Il existera donc des dimensions dans les formes apparentes & dans les parties flexibles, qui seront plus ou moins favorables aux différens genres de beauté, & ces dimensions seront bien plus difficiles à fixer que les proportions des parties plus solides de la charpente & du corps humain. ”

“ LA raison d'une grandeur de plusieurs dimensions à toute autre grandeur homogene d'autant de dimensions, est com posée de toutes les raisons de chacune des dimensions d'une grandeur à chacune des dimensions de l'autre. ”

“ On n'ignore pas .que tous les membres du corps ont certaines dimensions propres, mais qu'ils ont aussi certaines proportions relatives avec les autres membres. C'est -de ces dimensions propres et de ces proportions relatives que se forment et se composent la beauté du tout et l'élégance de la figure entière. ”

“ La nature opere devant moi sur un espace indéterminé, précisément comme le peintre opere sur une toile. Les sensations de froid, de chaleur, de résistance, que je reçois par le sens du toucher, me paroissent aussi comme dispersées çà & là dans un espace à trois dimensions dont elles déterminent les différens points ”

“ Au contraire, les occasions qui peuvent faire naître les concepts dont les modes de détermination forment une variété continue sont si rares dans la vie ordinaire, que les lieux des objets sensibles et les couleurs sont à peu près les seuls concepts simples dont les modes de détermination forment une variété de plusieurs dimensions. C’est seulement dans les hautes Mathématiques que les occasions pour la formation et le développement de ces concepts deviennent plus fréquentes. ”

“ Depuis longtemps elle possédait les moyens de mesurer avec exactitude les dimensions, le poids, la compo- sition, en un mot l'état statique des corps de la nature; elle commence à étudier les forces dans leur état dynamique. ”

“ D’ailleurs, les dimensions symmétriques que la nature observe dans la plupart de nos membres, ajoute au besoin que nous semblons avoir d’une distribution balancée, & d’un ordre physiquement & moralement désirable ”

“ Si donc la langue des trois dimensions est celle qui nous permet le plus facilement de décrire notre monde, nous ne devons pas nous en étonner ; cette langue est calquée sur notre tableau de distribution ; et c’est afin de pouvoir vivre dans ce monde que ce tableau a été établi. ”

“ Stéréométrie, Jaugeage. — La stéréométrie ou toisé est la partie de la géométrie pratique qui envisage et mesure les reliefs (1)
(1) Le volume ou relief est la quantité d'espace occupé par les corps, ei, mesuré en tous sens ou par les trois dimensions.
des corps solides, en les évaluant en mètres et fractions de mètres, autrefois en toises et fractions de toises.
Géodésie ou Cadastre. — On appelle géodésie, l'arpentage ou l'étude de la mesure des propriétés rurales.
Horizon. — L'espace universel n'est limité qu'autour de nous. ”

“ En prolongeant, suivant des lignes de plus courte distance, les directions initiales situées dans un élément superficiel, on obtiendrait une surface illimitée de mesure de courbure constante, c’est-à-dire une surface qui, dans une variété plane de trois dimensions, prendrait la forme d’une surface sphérique, et qui serait par conséquent finie.
§ III.
Les questions sur l’immensurablement grand sont des questions inutiles pour l’explication de la nature. ”

“ Nous en avons quatre de dimensions différentes qui communiquent les uns avec les autres. Dans le plus grand, qui a cent pieds de diamètre, on garde.les animaux qui attendent leur tour de passer dans un autre plus petit où se fait la marque. ”

“ À tout moment, dans un élan de foi vers le beau ou vers l’amour, l’homme pouvait se confondre avec l’unité, s’échapper de la matière et atteindre l’éternité à quatre dimensions sans commencement ni fin. Ce que l’on appelait jadis l’atome n’était que la fenêtre ouverte au fond de chaque phénomène sur la même vérité commune, mais l’homme, seul dans la nature, pouvait reconstruire les quatre côtés de cette fenêtre et s’évader par là vers l’infini. ”

“ Dans la géométrie à trois dimensions, je voudrais exprimer la position d’une droite quelconque par où exprimerait la grandeur absolue de la droite, l’angle qu’elle fait avec l’axe des abscisses, et celui que le plan de l’angle fait avec le plan des mais toutes mes tentatives à cet égard ont été jusqu’ici infructueuses. Je désire que quelqu’un plus habile que moi vienne à bout de completter cette lacune. Quoi qu’il en soit, je suis persuadé que le vrai moyen d’étendre notre théorie des imaginaires à la géométrie à trois dimensions réside dans la considération des angles imaginaires. ”

“ Une seule lumière peut nous guider dans ce chaos chronologique à trois dimensions, un seul repère peut nous permettre de retrouver notre véritable place dans le monde : l’œuvre d’art entreprise, la création personnelle qui est l’unique point de contact entre l’Idée éternelle et la matière, la seule incarnation de l’Idée qui appartienne en propre à un homme. Elle seule peut fixer pour toujours la grâce fugitive d’un mouvement, l’étincelle insaisissable d’une pensée, elle seule est un aspect nouveau de l’Idée réelle et immuable pour la première fois révélé dans le monde. ”

“ Mais à mesure qu’on avance dans la construction, il devient de plus en plus manifeste qu’il n’est pas possible d’obtenir une couche ininterrompue de petits disques dans le sens indiqué, comme ce devrait être le cas d’après la géométrie euclidienne du plan. De cette façon, des êtres même qui ne quittent jamais la surface de la sphère, et qui ne peuvent non plus regarder de la surface sphérique dans l’espace à trois dimensions, pourraient constater, en expérimentant seulement avec de petits disques, que leur espace à deux dimensions n’est pas euclidien mais sphérique. ”