Rapport (mathématiques)

“ Les mêmes principes et les mêmes méthodes que nous avons employés pour le mesurage sur le terrain, étant applicables aux plans, avec cette
seule différence que les dimensions, au lieu d'être mesurées à la chaîne, ne peuvent, dans ce dernier cas, qu'être évaluées à l'aide du compas et de l'échelle, il est également possible d'opérer la division des figures en parties égales et même en parties inégales, ayant entr'elles un rapport donné, en suivant les mêmes procédés, auxquels nous allons ajouter quelques constructions graphiques qui ne sont spécialement applicables qu'aux plans. ”

“ Toujours voit-on que, dans ces cas compliqués, les principes dont nous parlons sont plus propres à reposer l'imagination qu'à donner une raison précise des phénomènes, et que même, dans les cas plus simples où nul ne peut méconnoître leur influence, on est bien éloigné encore d'en avoir réduit l'appréciation à la rigueur des lois mathématiques. ”

“ Dans les sciences math ématiques, même lorsqu'elles quittent leurs abstractions pour s'occuper des phénomènes réels , un seul fait bien constaté et mesuré avec précision sert de principe et de point de départ ”

“ Lorsqu’on a voulu exprimer ces théorèmes et ceux qui concernent les nombres, quelques signes, dont la signification ne pouvait être équivoque, ont suffi pour représenter avec précision des idées d’une exactitude parfaite. Dès leur naissance, les sciences mathématiques ont offert à l’esprit humain l’entière réalisation de ce type du vrai, objet de ses plus chères affections. ”

“ Les mathématiques, à qui seules appartient l’entière exactitude, communiquent une partie de leur précision aux sciences qui procèdent d’elles. Aussi fait-on par le moyen de l’astronomie mathématique et de la chimie des prédictions certaines. ”

“ Je préfère le mot mathématique, quoique actuellement hors d’usage au singulier, à ceux d’arithmétique, de géométrie, d’analyse, parce que ceux-ci indiquent une partie des mathématiques, ou une des méthodes qu’elles emploient, et qu’il s’agit ici de l’application de l’algèbre ou de la géométrie, comme de celle de l’arithmétique ; qu’il s’agit d’applications dans lesquelles toutes les méthodes peuvent être employées. ”

“ Les partisans de l’économique mathématique font valoir, à l’appui de leur conception, un argument qui ne peut pas manquer de faire impression. Les mathématiques, disent-ils, sont les sciences de la quantité. ”

“ Ce qui constitue une science, c'est la méthode qui dirige ses recherches; ce sont les principes et les doctrines qui relient dans un ordre logique les connaissances acquises. Les documents statistiques, pris isolément, ne sont pas plus la science de la statistique que les chiffres ne sont les sciences mathématiques, que les figures géométriques ne sont la géométrie. ”

“ Le caractère spécial de la vérité mathématique est qu’elle est nécessairement et inévitablement vraie ; et une des leçons les plus importantes qu’on puisse retirer des études mathématiques est de connaître qu’il y a des vérités de ce genre, et de nous familiariser avec leur forme et leur caractère. ”

“ Le concept de fonction analytique, au contraire, embrasse dans son domaine toutes les fonctions les plus importantes de la Science, qu’elles proviennent de la Théorie des nombres, de la Théorie des équations différentielles ou des équations fonctionnelles algébriques, ou même encore de la Géométrie et de la Physique mathématique ”

“ Certainement la géométrie est exacte; mais elle n'est pas réelle. Avez-vous rencontré quelque part le triangle abstrait et la ligne droite des géomètres? Où résident les nombres séparés des êtres réels dont les propriétés sont si multiples et si complexes, que la moindre est, sans contredit, celle de pouvoir être dénombrés? Qu'est-ce qui fait enfin l'exactitude des mathématiques? C'est l'étroite simplicité des faits dont elles raisonnent; leurs formules ne sont si précises, et si rigoureuses que parce que leur point de vue est borné. ”

“ ANALYSE (Ordre encyclop. Entend. Raison. Philosoph. ou Science, Science de la Nature, Mathématiques pures, Arithmétique littérale, ou Algébre, Analyse.) est proprement la méthode de résoudre les problèmes mathématiques, en les réduisant à des équations. Voyez Problème & Equation.
L’Analyse, pour résoudre les problèmes, employe le secours de l’Algebre, ou calcul des grandeurs en général : aussi ces deux mots, Analyse, Algebre, sont souvent regardés comme synonymes. ”

“ L' étude des relations pures du nombre et de l' étendue domine les sciences et s' applique également à toutes , comme la logique . L' étude des mathématiques appliquées , dès la mécanique , a pour objet les plus générales des conceptions physiques , et dépend de la physique à ce titre . ”

“ Les mathématiques ne traitant, en général, que de la composition et de la décomposition des quantités, ainsi que des relations qu'elles ont entre elles, nous dirons, pour le moment, que ce sont des connaissances acquises par des vérités exactes, ou des connaissances basées sur des principes évidents par eux-mêmes. ”

“ Les mathématiques ou l'art des mesures peuvent donner de ces choses de belles explications, car tout dans la nature est combiné avec nombre, mesure et poids ou force... On voit par là que tout, dans l'étendue de l'univers, se fait mathématiquement, mais d'une manière infaillible. ”

“ Ceci nous rappelle d’avoir un jour entendu un jeune homme que l’on interrogeait sur la division logique, répondre que, par exemple, les mathématiques se divisent en mathématiques élémentaires, mathématiques spéciales et mathématiques transcendantes. ”

“ La science des grandeurs, considérée dans son ensemble, a une parfaite unité que le mot « Mathématiques » (au pluriel) parait méconnaître, en faisant présumer un groupe de sciences plutôt qu’une science unique... ”

“ Or, ces informations qu'il faut prendre sur les personnes, ce n'est pas pour en avoir simplement une idée générale, vague, et semblable à celles qui sont la base d'un théorème de mathématiques, mais une idée précise et spécifique ”

“ La Géométrie et la Mécanique sont deux branches de la Physique mathématique qui étudient deux propriétés distinctes de la matière, l'étendue et le mouvement. L'Algèbre, le Calcul différentiel, ne sont que les instruments analytiques, indispensables, inséparables, de toutes les théories physiques, ceux qui conduisent aux lois les plus générales des phénomènes qu'on étudie. Le Calcul intégral, traité isolément, est un non-sens, car chacun de ses progrès a son origine naturelle dans une application. ”

“ Dans la géométrie élémentaire, l’arithmétique, la statique et plus généralement dans toutes les sciences où l’on fait usage de la méthode synthétique, en allant du simple au composé, on prend pour point de départ ces éléments, axiomes ou définitions, et on s’élève de proche en proche, jusqu’aux propositions les plus complexes... ”

“ Sans doute, toute branche des mathématiques traite de concepts qui sont des concepts abstraits au plus haut point ; c’est l’abstraction qui fournit les notions de nombre, de ligne, de surface, d’angle, de masse, de force, de pression ”

“ Si nous ajoutons à cela, ce que nous avons déjà dit, qu'on doit entendre par science une collection de connaissances fondées sur des principes sûrs et certains, nous saurons que les mathématiques sont des sciences exactes, qui ne traitent, en général, que des grandeurs, ou la science, qui, en fournissant les moyens de mesurer les quantités, fait connaître les relations qui existent entre elles. ”

“ Le but définitif de nos recherches dans la mathématique concrète étant la découverte des équations, qui expriment les lois mathématiques des phénomènes considérés, et ces équations constituant le véritable point de départ du calcul, dont l'objet est d'en déduire la détermination des quantités les unes par les autres, je crois indispensable, avant d'aller plus loin, d'approfondir, plus qu'on n'a coutume de le faire, cette idée fondamentale d'équation, sujet continuel, soit comme terme, soit comme origine, de tous les travaux mathématiques. ”

“ Avec des définitions précises et des axiomes certains, la Mathématique établit des déductions sûres tant que le raisonnement se maintient dans les voies de l'évidence logique. C'est pourquoi la science des grandeurs porte, à l'exclusion de toute autre, le titre glorieux d'«exacte». ”

“ Parmi ceux qui cultivent les sciences mathématiques, personne n’a la prétention de comprendre le calcul différentiel ou la mécanique rationnelle avant de connaître les méthodes les plus simples du calcul. ”

“ Vous trouvez naturel, Messieurs, que la parole vous révèle les mathématiques, bien que vous les possédiez tout entières dans les notions primordiales d'unité, de nombre , d'étendue , de pesanteur : pourquoi vous semblerait-il étrange que la parole vous fit apercevoir aussi les notions d'unité, de nombre, d'étendue, de pesanteur, qui sont la base des mathématiques ? L'un des phénomènes n'est pas plus singulier que l'autre ”

“ Non que les mathématiques aient rien perdu, à nos yeux, de leur inflexible rigueur, et d’ailleurs, la possibilité d’une mesure exacte avec la réduction à une formule mathématique est de plus en plus le signe d’une théorie scientifique faite ; mais nous regardons moins volontiers du côté de la géométrie pure. ”

“ Les notions mathématiques ont dans l’esprit une réalité absolue. De ces idées simples, nous concluons rigoureusement toutes les propriétés du nombre et de la forme, jusqu’aux plus fines et aux plus complexes. ”

“ On appelle quantité ou grandeur, tout ce qui peut être augmenté et diminué.
La quantité, objet des mathématiques, pouvait être considérée, ou seulement et indépendamment des individus réels, et des individus abstraits dont on en tenait la connaissance ; ou dans ces individus réels ou abstraits ; ou dans leurs effets recherchés d’après des causes réelles ou supposées ; et cette seconde vue de la réflexion a distribué les mathématiques en mathématiques pures, mathématiques mixtes, physico-mathématiques. ”

“ C’est par les sciences mathématiques qu’il convient de commencer la série des connaissances humaines, parce que ce sont celles qui exigent pour point de départ et qui ont pour objet un plus petit nombre d’idées. ”

“ FICTIF ET BORNÉ Lorsqu’on préconise les mathématiques, comme le modèle par excellence d’une méthode pour apprendre à raisonner, sait-on bien à quelles conditions la logique de la géométrie est si rigoureuse, pourquoi ses démonstrations sont si évidentes ? ”

“ C’est que l’univers est une sorte de mathématique réelle, enveloppée d’apparences. Partout où il y a rapport et proportion, il y a place pour le calcul, et « la proportion n’est pas seulement trouvée dans les nombres et mesures, mais aussi dans les sons, poids, temps et lieux et dans toute puissance, quelle qu’elle soit. » La science doit procéder à la façon de la géométrie, analyse et synthèse, résolution de l’objet en ses derniers élémens, combinaison progressive et continue de ces élémens selon des rapports nécessaires qui s’impliquent. ”

“ Il n’est personne, pour peu qu’il ait touché seulement le seuil des écoles, qui ne distingue facilement, parmi les objets qui se présentent à lui, ceux qui se rattachent aux mathématiques, et ceux qui appartiennent aux autres sciences. En réfléchissant à cela, je découvris enfin qu’on ne devrait rapporter aux mathématiques que toutes les choses dans lesquelles on examine l’ordre ou la mesure, et qu’il importe peu que ce soit dans les nombres, les figures, les astres, les sons ou dans tout autre objet qu’on cherche cette mesure. ”

“ Le XIXC siècle a vu surgir, en mathémathiques pures, de nombreuses branches nouvelles. Notamment la théorie des nombres ou arithmétique supérieure ; la théorie des formes et des groupes ; la théorie des fonctions de périodicité multiple ou trigonométrie supérieure; enfin la théorie générale des fonctions, embrassant les vastes régions de l'analyse supérieure. Les développements de la géométrie analytique et synthétique ont également engendré de nouveaux sujets d'études. ”

“ Ayant exposé l’importance générale des problèmes en Mathématiques, je passe à la question de savoir quelles sont les sources où le mathématicien les puise. Les premiers et les plus anciens problèmes de chaque branche de la Science mathématique tirent certainement leur origine de l’expérience, et c’est le monde de la connaissance extérieure qui les inspire. Les règles des opérations sur les nombres entiers ont été certainement découvertes lors d’un état inférieur de culture de l’humanité, absolument comme, aujourd’hui encore, l’enfant apprend à appliquer ces règles par la méthode empirique. ”

“ Pour bien faire sentir la différence entre les résultats de la méthode expérimentale et inductive et les résultats de la méthode mathématique, supposons qu’un malin génie...... se plaise à nous embrouiller dans nos opérations, à créer ou à annihiler un objet entre nos doigts, au moment où nous comptons quel nombre d’objets font deux groupes de cinq objets, à faire varier les angles du triangle que nous mesurons, ou les angles du rapporteur qui nous sert d’unité de mesure ”

“ La raison mathématique se contente de fournir, dans le domaine le plus favorable, un type de clarté, de précision et de consistance dont la contemplation familière peut seule disposer l’esprit à rendre les autres conceptions aussi parfaites que le comporte leur nature. ”

“ Afin de rendre l’exposition de cette théorie plus rapide, et de présenter de suite aux géomètres toute la partie usuelle de ce calcul, je me contenterai quelquefois de généraliser les résultats par des conclusions d’induction ; sauf à démontrer ces conclusions dans un article à part. Pour la même raison, je réléguerai dans des remarques toutes les observations ; soit sur les notations, soit sur le fond même de la théorie. ”

“ Si cela est vrai des lignes droites, cela est vrai à plus forte raison des lignes courbes, des surfaces, des volumes, et à plus forte raison encore des vitesses, des forces, etc. Comment toutes ces quantités peuvent-elles être mesurées ? C’est là le problème qui rend nécessaire les mathématiques.
Les mathématiques, dans leur essence même, ont donc pour objet de ramener les grandeurs non immédiatement mesurables à des grandeurs immédiatement mesurables. C’est par là qu’elles sont une science. ”