Figure géométrique

“ « Une géométrie est l'ensemble de toutes les notions et de toutes les propriétés qui restent conservées lorsqu'on fait subir à une figure toutes les transformations appartenant à un groupe donné ». A chaque groupe de transformations correspond une géométrie distincte. Ainsi, par exemple, la géométrie élémentaire est l'ensemble de toutes les notions et de toutes les propriétés qui restent conservées après qu'on a fait subir à une figure une similitude quelconque. ”

“ LES FORMES DANS LA MATIÈRE La forme n’est qu’une vue de l’esprit, une spéculation sur l’étendue réduite à l’intelligibilité géométrique, tant qu’elle ne vit pas dans la matière. Comme l’espace de la vie, l’espace de l’art n’est pas sa propre figure schématique, son abréviation justement calculée. Bien que ce soit une illusion assez communément répandue, l’art n’est pas seulement une géométrie fantastique, ou plutôt une topologie plus complexe, il est lié au poids, à la densité, à la lumière, à la couleur. ”

“ Il suffira donc d'étudier les propriétés de la figure située dans ce plan, et d'en transporter l'énoncé à la figure située à l'infini. Par là, on saisira mieux l'ensemble et les rapports de toutes les parties d'une figure proposée dans l'espace; plusieurs de ses parties qui, situées à l'infini, échapperaient aux yeux et à l'esprit, deviendront palpables dans la nouvelle figure. On évitera des constructions que l'on serait obligé de concevoir idéalement sur des objets entièrement à l'infini ; et les raisonnements, devenus plus faciles, seront en même temps plus lumineux et plus convaincants. ”

“ DE LA GÉOMÉTRIE La géométrie est un inventaire des formes, en vue de déterminer des relations de distance et de grandeur entre les objets de l’expérience. Sa loi est de compliquer progressivement les formes en partant des plus simples ; son succès est tel qu’il n’est point de problème géométrique qui ne se puisse résoudre par des triangles égaux ou semblables, le triangle étant la plus simple des figures terminées, comme la droite est la plus simple des lignes, et qu’il n’est point de courbe qui ne s’inscrive toute sur trois axes rectilignes. ”

“ Ce n’est qu’une fausse fenêtre sur l’inconnu. Ce n’est pas le dieu qui sort de la machine, c’est le dieu dans la machine, et sa voix sourde nous avertit mal de ce qui s’y trouve.
Quelle que soit la provenance de l’axiome géométrique, cet axiome, comme tous les autres, constate et traduit une sensation.
§ 2. La Perpendiculaire. — La géométrie, impuissante à définir la ligne droite, n’est pas moins gênée pour donner une définition de la perpendiculaire. ”

“ En résumé, lorsqu'il s'agit de formules d'une grande généralité , les considérations géométriques nous paraissent propres à éclaircir et à préciser les idées, en montrant la signification de chacun des éléments analytiques , plutôt que destinées à fournir des démonstrations' complètes et devant se suffire à elles-mêmes. Elles mettent trop vivement en jeu les circonstances spéciales que présente la figure à laquelle elles sont appliquées pour ne pas perdre quelque chose de leur clarté et de leurs avantages à être transformées en formules générales. ”

“ Cette question, dans laquelle nous avions craint d'abord de rencontrer des difficultés, nous a conduit à une loi de dualité extrêmement simple, qui peut offrir, en particulier, une théorie du tour à tourner, et le moyen de décrire, avec cet instrument, toutes les courbes que l'on a coutume de décrire par un stylet mobile. Voici sur quel principe reposera ce mode de description : Quand une figure plane est en mouvement dans son plan, l'un de ses points décrit une courbe ”

“ En effet, la géométrie descriptive, plus élégante que la géométrie simple, plus générale dans les rapports qu'elle saisit et les résultats qu'elle présente, est plus applicable à un art qui a pour objet de représenter les corps suivant les lois de la vision, et de faire voir tout ce qui peut résulter, dans l'espace, de leurs formes et de leurs combinaisons ”

“ La géométrie est la science des figures. Une figure est définie quand on donne la position de ses différents points [8] . En thèse générale, cette position est fixée par l’énoncé de leurs distances et de leurs directions par rapport à certains axes ou certains points de l’espace dont la position est regardée comme connue, distances et directions exprimées par des longueurs et des angles. Les longueurs et les angles étant des quantités, et les quantités s’énonçant au moyen des nombres, la géométrie s’appuie en définitive sur l’algèbre, et par elle sur l’arithmétique. ”

“ Dans la seconde Géométrie, on regarde la droite, ou le plan, suivant qu'on opère sur un plan ou dans l'espace, comme l'être primitif, ou l'unité qui doit servir à former toutes les autres parties de l'étendue. ”

“ Une figure étant donnée dans l'espace, qu'on lui imprime un mouvement infiniment petit quelconque, et qu'on mène, par ses différents points, des plans normaux à leurs trajectoires; tous ces plans envelopperont une seconde figure, qui sera une transformation de la proposée, de même nature que la précédente. ”

“ La géométrie, en nous enseignant que les surfaces et les solides sont bornés par des lignes, nous donne l’idée la plus claire et la plus complète du dessin, qui réside dans les contours... En dernière analyse, dans la pratique comme dans la théorie, il faut reconnaître que la géométrie est la base de la science du dessin. ”

“ Voilà, répétons-le souvent, ce qui rend de plus en plus nécessaire, à nos artistes, de bien connaître la géométrie appliquée aux arts.
Leb propriétés des lignes parallèles sont trèssouvent mises en pratique pour exécuter une figure ou un corps exactement égaux à un corps ou à une figure donnés.
Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'exécuter une figure abcd, fig. n, exactement égale à la figure ABCD, déjà construite. On mènera les lignes B6, Cc, Dd, égales et parallèles à A a, puis les lignes a h, bc, cd, da; celles-ci seront
nécessairement égales et parallèles à AB, BC, CD, DA ”

“ Dans la géométrie à trois dimensions, je voudrais exprimer la position d’une droite quelconque par où exprimerait la grandeur absolue de la droite, l’angle qu’elle fait avec l’axe des abscisses, et celui que le plan de l’angle fait avec le plan des mais toutes mes tentatives à cet égard ont été jusqu’ici infructueuses. Je désire que quelqu’un plus habile que moi vienne à bout de completter cette lacune. Quoi qu’il en soit, je suis persuadé que le vrai moyen d’étendre notre théorie des imaginaires à la géométrie à trois dimensions réside dans la considération des angles imaginaires. ”

“ Ainsi, par exemple, la géométrie figure dans le tableau général comme une science du premier ordre, appartenant au premier règne embranchement des sciences mathématiques, sous-embranchement des sciences mathématiques proprement dites ; elle se subdivise ensuite en deux sciences du second ordre : la géométrie élémentaire et la théorie des formes ; enfin la géométrie élémentaire se décompose en deux sciences du troisième ordre : la géométrie synthétique et la géométrie analytique ”

“ Cela posé, la géométrie moderne consiste essentiellement à abstraire, pour la traiter à part, d'une manière entièrement générale, toute question relative à un même phénomène géométrique, dans quelques corps qu'il puisse être considéré. L'application des théories universelles ainsi construites à la détermination spéciale du phénomène dont il s'agit dans chaque corps particulier, n'est plus regardée que comme un travail subalterne, à exécuter suivant des règles invariables et dont le succès est certain d'avance. ”

“ Géométrie, — Les volumes, les surfaces et les lignes ont des formes diverses, et, par suite, des-propriétés particulières à chacune de ces formes. Ainsi les propriétés de la sphère ne sont pas celles du cube; de même toute ligne courbe ne jouit pas des propriétés de la circonférence. La géométrie a pour but d'étudier ces propriétés diverses, mais l'objet principal de cette science, c'est la mesure des volumes, des surfaces et des ligne s.
RÉSUMÉ.
Le volume d'un corps est l'espace qu'il occupe. ”

“ Ce qui a surtout immortalisé le nom de ce grand homme, c’est l’application qu’il a su faire de l’algèbre à la géométrie, idée des plus vastes et des plus heureuses que l’esprit humain ait jamais eues, et qui sera toujours la clef des plus profondes recherches, non seulement dans la géométrie, mais dans toutes les sciences physico-mathématiques. ”

“ La Géométrie nouvelle emploie la même chose pour les solides. Une surface à laquelle on donne une hauteur infiniment petite, est l’élément d’un solide, & cet élément se transforme en ce solide même par le calcul intégral. ”

“ La matière de la géométrie plane ne diffère pas sensiblement de celle que nous enseignons dans nos écoles ; mais dans l’enseignement de la géométrie dans l’espace, les Américains emploient des procédés d’intuition dont nos professeurs et auteurs d’ouvrages de mathématiques élémentaires pourraient utilement s’inspirer.
Ils partent du principe que les constructions de la géométrie dans l’espace ne peuvent se tracer avec le relief, ni à la règle, ni au compas, ni à l’aide d’aucun instrument de dessin ”

“ Il faut bien distinguer entre la géométrie utile et la géométrie curieuse.
L’utile est le compas de proportion inventé par Galilée, la mesure des triangles, celle des solides, le calcul des forces mouvantes. Presque tous les autres problèmes peuvent éclairer l’esprit et le fortifier ; bien peu seront d’une utilité sensible au genre humain. Carrez des courbes tant qu’il vous plaira, vous montrerez une extrême sagacité. ”

“ La géométrie a pour but la mesure de l'étendue. L'étendue d'un corps est la portion de l'espace occupée par ce corps. Elle a trois dimensions : longueur, largeur, hauteur ou profondeur. On appelle Corps ou solide, ce qui réunit ces trois dimensions ; Surface, ce qui ne réunit que largeur et longueur : c'est la limite extérieure de tout corps ; Ligne, ce qui n'a qu'une dimension, la longueur : c'est la limite d'une surface ”

“ La Géométrie descriptive donne des méthodes pour représenter exactement, sur un seul plan, tout corps susceptible d’une définition précise, et pour déduire de cette représentation les véritables grandeurs des diverses parties du corps que l’on considère. ”

“ Il n’en est pas moins important de discuter les principes et les théorèmes fondamentaux de la Géométrie quand on fait abstraction de l’axiome des parallèles. Nous avons aussi exclu de notre étude la question importante de savoir s’il est possible, sans la notion du plan ni de la droite, au seul moyen des points comme éléments et en employant la notion des groupes des déplacements, ou a l’aide de la notion de distance, d’édifier la Géométrie d’une manière logique. ”

“ PREMIÈRE PARTIE. Lorsqu'une figure de forme quelconque est donnée, on peut toujours former, d'une infinité de manières, une autre figure, dans laquelle les points, les plans, les droites, correspondront respectivement à des plans, à des points, à des droites de la première figure ; Les points situés sur un même plan, dans l'une des deux figures, auront
pour correspondants des plans passant tous par le point qui correspond à ce plan ”

“ En géométrie, rien n'empêche notre imagination de supposer des corps qui entrent l'un dans l'autre de manière à ce qu'ils occupent à la fois! en tout ou en partie une même portion de l'espace. Mais, dans les arts, il ne saurait en être ainsi. Jamais les parties matérielles de deux corps ne peuvent occuper à la fois un même espace. ”

“ DE LA GÉOMÉTRIE. 35
demie de Saint-Pétersbourg ( 1) ; par Carnot, dans sa Géométrie de position (2) ; par J. Français (3) , Poisson (4) , Binet ( 5) et Hachette (6) .
M. Gaultier, ancien élève de l'Ecole Polytechnique et professeur de Géométrie descriptive au Conservatoire des arts et métiers, donna le premier une solution géométrique générale du problème. Le beau travail qui contient cette solution est intitulé : Mémoire sur les moyens généraux de construire graphiquement un cercle déterminé par trois conditions, et une sphère déterminée par quatre conditions. ”

“ Certainement la géométrie est exacte; mais elle n'est pas réelle. Avez-vous rencontré quelque part le triangle abstrait et la ligne droite des géomètres? Où résident les nombres séparés des êtres réels dont les propriétés sont si multiples et si complexes, que la moindre est, sans contredit, celle de pouvoir être dénombrés? Qu'est-ce qui fait enfin l'exactitude des mathématiques? C'est l'étroite simplicité des faits dont elles raisonnent; leurs formules ne sont si précises, et si rigoureuses que parce que leur point de vue est borné. ”

“ Mais il est d’autre part certain que la mathématique en général et la géométrie en particulier doivent leur existence à notre besoin d’apprendre quelque chose sur la manière d’être des objets réels. Le mot géométrie, qui signifie mesure du terrain, le prouve déjà. ”

“ Aux démonstrations par l'absurde, il substitua, presque partout, des démonstrations directes qui ont bien plus de prise sur l'esprit. Mais ce qui distingue surtout sa géométrie, c'est le plan même de l'ouvrage et la correspondance aussi parfaite que possible, établie pour la première fois, au grand profit de l'enseignement, entre la géométrie plane et la géométrie de l'espace. ”

“ Et alors nous dirons que la géométrie est l’étude d’un ensemble de lois peu différentes de celles auxquelles obéissent réellement nos instruments, mais beaucoup plus simples, de lois qui ne régissent effectivement aucun objet naturel, mais qui sont concevables pour l’esprit. En ce sens, la géométrie est une convention, une sorte de cote mal taillée entre notre amour de la simplicité et notre désir de ne pas trop nous écarter de ce que nous apprennent nos instruments. Cette convention définit à la fois l’espace et l’instrument parfait. ”

“ Ainsi, nous pouvons dire que les deux principes de dualité et d'homographie offrent une véritable méthode rationnelle pour appliquer aux figures sphériques les propriétés des figures planes, et, en un mot, pour former la Géométrie de la sphère; et cette partie de la science de l'étendue peut, dès aujourd'h ui, faire de rapides et faciles progrès. ”