Jules Dalsème

“ Si toutes les faces sont des carré?, y compris les bases, le parallélipipède prend le nom de cube.
Le cylindre circulaire peut être considéré comme un prisme ayant pour bases des cercles. Il peut être droit ou oblique. Si on le coupe parallèlement à la base, la section est un cercle ; obliquement, la section est une ellipse.
La pyramide est un polyèdre à une seule base qui est un polygone quelconque et pour faire des triangles dont les sommets se
réunissent en un point commun qui est le sommet de la pyramide. ”

“ Nous avons déjà dit plus haut que le quadrilatère est un polygone de quatre côtés, ou, si l'on veut, la surface renfermée entre quatre lignes ou côtés.
Les côtés peuvent être de longueurs différentes; ils peuvent être ou ne pas être parallèles; l'ouverture des angles peut varier ; de là des quadrilatères de formes très-diverses, parmi lesquels on distingue le trapèze 1, le parallélogram me 2, le losange 3, le rectangle et le carré. ”

“ On appelle lignes courbes celles qui ne sont ni droites ni composées de lignes droites.
La circonférence est une ligne courbe dont tous les points sont également distants d'un point intérieur, appelé centre.
Le cercle est la surface limitée par la circonférence.
Un rayon est une ligne droite qui joint le centre à un point quelconque de la circonférence. Tous les rayons d'une circonférence sont égaux.
Un diamètre est une ligne qui traverse de part en part la circonférence, en passant par le centre et s'arrêtant à la circonférence. ”

“ Deux cubes, deux sphères, sont toujours semblables ; deux cônes sont semblables s'ils ont le même angle au sommet.
Si l'on coupe une pyramide par un plan parallèle à la base, la pyramide partielle ainsi obtenue, est semblable à la pyramide totale. Le tronc de pyramide peut être regardé comme la différence de deux pyramides semblables. ,
Nous avons déjà vu que les volumes de deux cubes sont dans le rapport des cubes de leurs arêtes, de sorte que si l'un.
a des dimensions dix fois plus petites que celles de l'autre, il en est la millième partie. ”

“ La gorge est en creux ce que la baguette est en relief. Le centre est au même point, le rayon est le même, mais on trace l'autre demi-circonférence.
C'est dans la gorge d'une poulie que s'engage la corde. ”

“ Tout polyèdre régulier peut être inscrit dans une sphère ou circonscrit à une sphère.
Le rayon de la sphère inscrite est l'apothème du polyèdre.
Il n'y a que cinq polyèdres réguliers dont trois ont pour faces aes triangles équilatéraux. Ce sont : le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre ; un a pour faces des carrés, c'est l'hexaèdre ou cube ; enfin le dernier-a pour faces des pentagones, c'est le dodécaèdre.
La sphère est un volume renfermé dans une surface dont tous les points sont à égale distance d'un point intérieur nommé centre. ”

“ Or remarquons que E C est égal à A F, DG égal à HB. On peut donc dire que la ligne F H vaut la petite base CD plus les portions EC et DG, ou la grande base, moins les mêmes portions A F et B H. Ce que la grande base contient en plus, la petite le contient en moins. Les deux bases réunies valent donc le double de la base du rectangle, ou, ce qui revient au même, FH est la moitié de la somme ou la demi-somme des bases.
Nous pouvons maintenant donner le moyen suivant pour obtenir la surface du trapèze : multipliez la demi-somme des bases par la hauteur. ”

“ Enfin, si l'on imagine les routes réduites à n'être que de simples lignes, leur point de rencontre ou mieux d'intersection, c'est-à-dire le point où elles se coupent, est un point tel qu'on l'entend en géométrie.
On voit par là qu'un point n'a pas d'étendue en réalité. ”

“ Les pôles d'un cercle sont les extrémités du diamètre perpendiculaire au plan de ce cercle et passant par son centre. Ils sont à égale distance de tous les points de la circonférence du cercle.
Un plan est dit tangent à la sphère lorsqu'il a avec la sphère un seul point commun nommé point de contact; ce plan est perpendiculaire à l'extrémité du rayon en ce point.Les sphères peuvent être extérieures, tangentes ou sécantes. ”

“ La tangente à une circonférence est une droite qui n'a qu'un point de commun avec la circonférence. On peut la regarder comme la dernière position d'une sécante qui tourne autour d'un de ses points d'intersection jusqu'à ce que le second point soit venu se réunir au premier.
Le rayon qui aboutit au point de contact est perpendiculaire à la tangente. On en déduit le moyen de mener une tangente en un point donné d'une circonférence. ”

“ S'il montre les objets, par exemple, 100 fois plus longs et par conséquent 100 fois plus larges, il les montre en réalité 100 x 100 ou 10,000 fois plus étendus ; s'il grossit 100 fois en surface, il décuple seulement chaque dimension.
Échelle de réduction. — Chacun a vu ce qu'on nomme le plan d'une ville, le plan de Paris par exemple. On y peut voir le périmètre de la ville, les rues figurées par des lignes parallèles, les sinuosité de la rivière s'il s'en trouve une : c'est l'image en petit de ce qu'on pourrait voir du haut d'un ballon très-élevé au-dessus de la ville. ”

“ Le volume d'un parallélipipède rectangle s'obtient en multipliant la surface de sa base par sa hauteur ou en faisant le produit de ses trois dimensions.
Le volume de tout parallélipipède est égal au produit de la base par la hauteur.
Le volume du prisme triangulaire est égal au produit de sa base par sa hauteur.
Le volume d'un prisme quelconque est égal au produit de sa base par sa hauteur.
Le volume d'un cylindre s'obtient en multipliant la surface de sa base par sa hauteur.
Le volume d'une pyramide est égal au tiers du produit de la base par la hauteur. ”

“ Le point où l'aiguilir perce la planchette se nomme le pied de la perpendiculaire. Si l'on mène par ce point, et sur la planchette, des lignes droites dans toutes les directions, l'aiguille ou la perpendiculaire se trouve perpendiculaire à chacune de ces droites. De la sorte, on peut dire qu'une droite est perpendiculaire à un plan lorsqu'elle est perpendiculaire à toutes les droites qui passent par son pied dans le plan. ”

“ Il faut au moins trois lignes droites pour réaliser une surface fermée ; les deux côtés d'un angle ne suffisent pas. Le polygone du plus petit nombre de côtés en a donc au moins trois : c'est le triangle, dont le nom signifie trois angles. ”

“ Prisme droit. — Le prisme est droit lorsque les bases sont perpendiculaires aux faces ou aux arêtes. Les faces sont alors des rectangles et les arêtes sont toutes égales entre elles et égales à la hauteur du prisme.
Si la base est un rectangle, le parallélipipède qu'on obtient a toutes ses faces rectangulaires ; aussi le nomme-t-on parallélipipède rectangle. — C'est la forme des briques, d'un paquet d'enveloppes, d'un paquet de cartes, d'un tiroir ordinaire, d'un livre, etc.
Prisme oblique. — Lorsque les bases sont obliques aux faces et par suite aux arêtes, le prisme est dit oblique. ”

“ Les trois côtés étant inégaux, il s'en trouve naturellement un grand, AB, un moyen, BC, et un petit, AC; il y a de même un grand angle, C, un moyen, A, et un petit, B, chacun vis-à-vis de leur côté. Mais il n'en faudrait pas conclure qu'il existe la même proportion entre les côtés qu'entre les angles, ou si
l'on veut, que les côtés sont dans le même rapport que les angles. ”

“ PREMIERES NOTIONS DE GÉOMÉTRIE
PREMIÈRES DÉFINITIONS.
SOMMAIRE : Volume. — Surface. — Ligne. — Point.
- Géométrie. — Résumé.
Volume. — Les divers objets répandus autour de nous tiennent une place plus ou moins grande. C'est cet espace
occupé par chaque objet ou chaque corps qu'on appelle son volume.
Nous savons qu'un volume s'évalue en mètres cubes si l'on mesure des pierres, dubois, etc., ou en litres, s'il s'agit de liquides, tels par
Fig. 1. - Volumes.
exemple que les boissons dont nous faisons - usage, ou de grains, comme le blé, l'orge, l'avoine, etc.Surface. ”

“ Le plafond d'une chambre et chacun des murs se coupent également suivant une ligne droite. Deux plans se coupent toujours suivant une lignedroite.
Notion de la perpendiculaire au plan. — Lorsqu'on tient un fil à plomb librement suspendu au-dessus d'une nappe d'eau dormante, il est facile de voir que le fil ne penche d'aucun côté vers la surface de l'eau.
On dit que le fil est perpendiculaire au plan liquide. De même les colonnes d'un édifice sont perpendiculaires au sol de l'édifice; les arbres d'une allée horizontale sont perpendiculaires au sol sur lequel ils sont plantés. ”

“ Le côté opposé à l'angle droit, qui est le plus long des trois, se nomme hypoténuse.
Dans un pareil triangle, les deux côtés de l'angle droit peuvent être pris l'un ou l'autre
pour base. Celui qui n'est pas pris pour base sera tout naturellement la hauteur. ”

“ On arrive au même résultat en développant le cône. Le cône ouvert et étalé sur un plan donne un secteur de cercle dont le rayon est le côté du cône et dont l'arc est égal à la circonférence de la base du cône. ”

“ Lorsqu'on manie un corps, c'est sa surface que l'on touche; d'un corps opaque c'est la surface que l'on voit ; lorsqu'on vernit un meuble, lorsqu'on peint un mur, lorsqu'on blanchit un plafond, c'est de la surface du meuble, du mur ou du plafond qu'il s'agit. ”

“ L'angle marqué mesure l'inclinaison de la droite sur le plan ou l'angle de la droite et du plan.
Disons en passant quf la ligne PF prolongée, intersection des deux plans perpendiculaires l'un à l'autre, se nomme la projection de la droite AP sur le plan.
Pendant que la terre tourne autour du soleil, son axe conserve toujours la même direction. La ligne qui joint le centre du soleil au centre de la terre fait avec l'axe terrestre des angles divers, dont le plus petit et le plus grand répondent aux deux solstices. L'angle droit répond aux équinoxes. ”

“ Mais tandis que dans le premier cas, le résultat représente des mètres cubes, dans le second, ce sont des décimètres cubes. C'est donc comme si l'on élevait le nombre 6,4 à la troisième puissance.
Remarque. — On s'explique maintenant pourquoi les sous-multiples et les multiples du mètre cube sont de mille
1. De là le nom de cube sous lequel on désigne en arithmétique la troisième puissance d'un nombre
en mille fois plus petits ou plus grands. ”

“ Angle d'une droite et d'un plan. — Une ligne droite oblique à un plan fait avec ce plan, ou plutôt avec les diverses lignes tracées dans' le plan et passant par son pied, des angles variés. Parmi tous ces angles, il est un plus petit et un plus grand que tous les" autres,.
Pour obtenir ces deux angles, il faut faire passer par la droite A un plan perpendiculaire au plan donné et qui le coupe suivant PF et son prolongement. L'angle marqué de hachures est le plus petit de tous, l'angle APF supplémentaire est le plus grand ; le premier étant aigu, le plus grand est obtus. ”

“ Géométrie, — Les volumes, les surfaces et les lignes ont des formes diverses, et, par suite, des-propriétés particulières à chacune de ces formes. Ainsi les propriétés de la sphère ne sont pas celles du cube; de même toute ligne courbe ne jouit pas des propriétés de la circonférence. La géométrie a pour but d'étudier ces propriétés diverses, mais l'objet principal de cette science, c'est la mesure des volumes, des surfaces et des ligne s.
RÉSUMÉ.
Le volume d'un corps est l'espace qu'il occupe. ”

“ Il n'est pas plus difficile de calculer le volume d'un corps quelconque, à l'aide de son poids. Il suffit de savoir ce que pèse un décimètre cube de la substance dont il est formé. 1 Par exemple je suppose qu'un bloc de fonte pèse 164 kilogrammes-; le décimètre cube de fonte pesant 7 kilogr. ”

“ Les jardiniers font souvent des tertres ou des corbeilles elliptiques qu'ils appellent improprement ovales. Pour tracér l'ellipse, ils fixent deux piquets aux deuxpoints choisispourfoyers, ils y attachent les extrémités d'un cordon lâche-plus ou moins long, puis, avec un troisième piquet, ils tendent le cordon, et font glisser ce piquet en maintenant le cordon constamment tendu, de manière à toujours former un triangle dont la base fixe est la distance des foyers et dont les deux autres côtés variables sont formés par le fil. ”

“ Prisme et pyramide tronqués. — Si après qu'on a coupé un prisme ou un cylindre, dans un sens obliqueà l'axe, on détache la partie supérieure, il reste un tronc de prisme ou de cylindre. Les bases ne sont pas parallèles. Les tas de sables ou de cailloux rangés le long des routes et qui servent aux réparations sont généralement des troncs de prisme.
De même, si l'on coupe une pyramide ou un cône trans-
versalement, et qu'on détache la petite pyramide ou le cône partiel, il reste un tronc de pyramide ou un tronc de cône, lesquels peuvent avoir ou non les bases parallèles. ”

“ Concluons donc que tous les triangles qui ont un angle égal compris entre deux côtés égaux sont égaux ; qu'il en est de même pour ceux qui ont un côté égal adj acent à deux angles égaux et ceux qui ont les trois côtés égaux. ”