Arête (géométrie)

“ A partir de chaque sommet de ce polygone, on fera, dans le corps, des entailles dont le fond suive partout une direction perpendiculaire à cette base ; ce seront les arêtes du prisme. De chaque arête à la suivante, on aplanira le corps, d'après les moyens indiqués dans la sixième leçon. Pour vérifier l'opération , il faudra s'assurer : 1°. que les arêtes sont bien perpendiculaires au plan de la base, et par conséquent aux côtés de cette base qui rencontrent chaque arête. On verra, pour plus de sûreté, si toutes les arêtes conservent partout la même distance, ce qui est indispensable ”

“ Si l'on conçoit un prisme quelconque, abstraction faite de ses deux bases, on voit facilement qu'en construisant, à partir de l'une de ses arêtes, ses différentes faces à côté les unes des autres et avec l'arête commune à deux faces adjacentes, on aura une surface égale à la surface latérale : elle sera le développement de cette surface. ”

“ Ils montrent qu'on n'a pas besoin d'une équerre juste, pour tracer une parallèle.
Il suffit que les arêtes en soit parfaitement droites ; encore n'y auraitil aucun inconvénient à ce que l'arête DE formàt un ou plusieurs creux, et à ce que la troisième arête fût courbe. »
, « On peut donc en toute sécurité tracer les parallèles d'un dessin, à l'aide de l'équerre ; mais, comme elle ne mérite pas la même confiance pour le tracé des perpendiculaires, il convient de s'en tenir aux procédés exposés dans les problèmes (c) , (d) , (e) , du n° 4-3. » ”

“ Cependant, lorsque la génératrice ne s'étend pas à l'infini dans son plan , cette seconde arête peut devenir imaginaire pour une certaine partie de l'étendue de la surface , et même , dans un cas particulier, elle peut devenir entièrement imaginaire, ou bien elle peut se réduire à un point unique qui est alors un point de striction de la surface. ”

“ Cet article est extrait des leçons de Monge publiées par M. Brisson, à la suite de sa Géométrie descriptive.
préciable, et nous ne pourrions pas encore distinger quelle est la partie qui est en avant-corps. Mais cette arête n'est jamais tranchante, jamais une ligne droite mathématique : les matériaux dont elle est composée ne sont pas d'une compacité absolue : les instruments dont on a fait usage pour les tailler ne sont point parfaits : on n'a point apporté au taillage une précaution infinie; et en sortant des mains de l'ouvrier, cette arête était déjà loin d'offrir une précision rigoureuse. ”

“ On peut placer une règle Vie manière qu'une des arêtes passe par les deux points. Alors, cette arête s'applique dans toute sa longueur sur le plan (144) ; mais elle se confond partout avec la droite (1) ; donc, cette droite est bien aussi tout entière sur le plan.
147. Trois points, qui ne sont pas en ligne droite, sont nécessaires et suffisent pour déterminer un plan.
Un plan peut pivoter sur un de ses points, ou sur une de ses droites, et prendre ainsi une infinité de positions différentes. Un point, ou une droite ne suffit donc pas pour fixer la position d'un plan. ”

“ Cela posé, pour obtenir l'ombre portée par la première de ces arêtes, j'imagine un rayon lumineux (AE, A'E') qui va percer le plan horizontal en (E, E') , et qui, en glissant parallèlement à lui-même sur l'arête (AD, A'D') , formera un plan d'ombre dont l'intersection avec le plan horizontal sera une droite nécessairement parallèle à AD; donc en tirant la ligne EK dans cette direction, on aura l'ombre portée sur le plan horizontal par l'arête (AD, A'D') . Mais une partie de cette arête projette son ombre sur le plan vertical, puisque le point K répond au point L de l'arête ”

“ La chaîne de pierres qui forme l'arête de chacune des têtes est une garantie contre la dégradation de cette arête, mais elle contribue fort peu à la solidité de l'ensemble, et souvent les voussoirs ont besoin d'être rattachés à la masse et retenus par elle, plutôt qu'ils ne servent à la soutenir. ”

“ Pour faire l'élévation, abaissez de tous les points du plan, des perpendiculaires sur la ligne de terre ; prenez S'S" égale à la hauteur de la pyramide, et joignez le point S" aux points A', B', C', D'. Les droites que vous tirerez ainsi, représenteront les arêtes concourantes, sur le plan vertical; mais il est possible qu'aucune ne soit représentée dans sa vraie grandeur. Cependant, comme je vous l'ai annoncé (555) , le dessin complet d'un corps peut toujours en donner exactement les différentes dimensions.
Voulez-vous, par exemple, avoir la vraie longueur de l'arête qui va de C au sommet? ”

“ NOTA. Si la projection verticale de la droite donnée rencontre le prolongement des côtés du polygone d'intersection du solide par le plan projetant horizontalement la droite, cela indique que celle-ci ne perce pas le solide.
2° Détermination des arêtes de séparation des faces éclairées et des faces dans l'ombre d'un polyèdre.
140. On mène un rayon lumineux par un point de l'arête considérée; s'il rase le solide, l'arête sépare une face éclairée d'une face dans l'ombre ; s'il perce le solide, les deux faces sont éclairées ou dans l'ombre. ”

“ De même que les géomètres considèrent le cône comme formé de deux nappes (fig. i. neuvième leçon) , de même ils considèrent les surfaces développables comme ayant deux nappes : la première, telle que nous l'avons décrite, et la seconde formée par le prolongement des arêtes, en A a!, Bb', Cc', au-delà de la courbe ABCD.
courbe qu'ils appellent arête de rebroussement. Il suffit en général, aux besoins des arts, de considérer une seule nappe des surfaces développables. ”

“ A partir de cette position (/T, L"T) , le rayon de lumière glissera le long de l'arête (lk, L"K") , et formera ainsi un plan qui coupera la face de long-pan suivant une droite (TU , T'U') égale et parallèle à lk. Ensuite, le rayon lumineux descendant le long de la verticale (K"K',k) , produira une ombre (UX, U'X') qui sera limitée par la parallèle K'X'; puis, en glissant le long de l'horizontale (K', kK) , il produira l'ombre (X'Y', XY) parallèle à l'une des lignes déjà obtenues; et il en sera de même pour l'ombre (IY, l'Y') que projette l'arête verticale (I, F G") . ”

“ ZII égale a O'Z' de la fig. 1, on tirera la droite A"Z" qui sera l'arête supérieure de l'arêtier : les deux arêtes moyennes seront projetées sur G'M', et les deux arêtes inférieures suivant H'Y'. Alors, par la rencontre de ces droites avec les verticales élevées par les points M, P, Q, R, T, on déterminera aisément les deux faces de déjoutement M'M"P"P', T'T"R"R', et les deux faces d'engueulement PQ'Q"P", R'Q'Q'R"; ces dernières doivent se terminer à la même horizontale Q'R'P', attendu que cette droite reçoit la projection des deux côtés PQ et QR qui sont eux-mêmes horizontaux. ”

“ On peut s'assurer que ce plan est tangent au cylindre suivant toute l'étendue de l'arête FG; car si par divers points de cette arête on conçoit des sections parallèles aux bases du cylindre, leurs tangentes seront parallèles à la droite DE et situées dans le plan MN. Un choix semblable de plans coupans conduira tout aussi aisément à la détermination du plan tangent à une surface conique circulaire, plan qui touchera également cette surface suivant toute l'étendue d'une arête.
En général les plans tangens aux surfaces développables les toucheront toujours suivant toute l'étendue d'une arête ”

“ Dans les arcades circulaires et isolées, les arêtes AB, CD des piédroits ou jambages, doivent être tangentes à l'arête circulaire AEC (P. IV, F. 36) , pour que le poids supporté par l'arcade ait moins de tendance à écarter les piédroits. Or, AB, CD sont ordinairement parallèles et verticales ; par conséquent, la corde AC qui joint les contacts, est un diamètre horizontal (44) , et AEC est une demi-circonférence. On dit, dans ce cas, que l'arcade est en pleincintre. ”

“ Ainsi le tailleur de pierres, qui dresse avec soin deux faces planes contiguës d'un même bloc, est certain par cela même que l'arête, déterminant leur intersection, sera une ligne droite ; ainsi le pli d'une feuille de papier est une ligne droite, etc.
Il résulte du même principe et de la définition des plans verticaux (97) , que ces plans se coupent suivant des verticales ; telles sont les arêtes de rencontre
des murs de directions différentes. ”

“ Il en résulte même un autre avantage: l'arête circulaire III est obligée, pendant qu'elle roule, de rétrograder en glissant sur la table , vu qu'elle a moins de chemin à faire que l'autre arête circulaire KL et qu'elle possède la même vitesse; de là un frottement de la meule sur la table, lequel est favorable à la trituration des graines. ”

“ En général, quand on partage les trois arêtes d'un parallélipipède rectangle en parties égales, et quand on mène par les points de division des plans perpendiculaires aux arêtes, il se trouve décomposé en parallélipipèdes rectangles égaux dont chacun est une partie du premier parallélipipède indiquée par une fraction qui a pour numérateur l'unité, et pour dénominateur le produit des trois nombres de parties égales comprises sur chaque arête. ”

“ Ces arcs se rencontreront sur la sphère sous des angles assez aigus, comme on le voit mieux sur le plan vertical, pour H'I' et I'K'J'; et pour tracer ce dernier arc, on observera que son sommet (K, K') devant se trouver à la même hauteur que (H, H') , ce sera l'horizontale H'K' qui déterminera le rayon cherché C'K'. Lorsqu'on arrivera à une division F' pour laquelle le carré FL. MN. se trouvera interrompu par les fermerets, on composera l'arête de douelle avec l'arc de cercle (F'L', FL) , la droite horizontale. ”

“ Dans le
cas contraire, on prend un système de quatre points, A, B, Ç, D, dont les extrêmes A et D sont situés sur les deux faces et lès moyens B et C sur l'arête.
Deux. angles dièdres sont adjacents lorsqu'ils ont l'arête et une face communes. Ils sont opposés, si les faces de l'un sont les prolongements des faces de l'autre.
LEMME.—Si, par deux points quelconques F et K de l'arête de l'angle dièdre ABCD, on mène deux plans EFG, HKL, perpendiculaires sur cette arête, les angles EFG, HKL, formés par les intersections de ces plans et des faces de l'angle dièdre, sont., égaux. ”

“ En Géométrie et dans les sciences appliquées, Minéralogie, Architecture, etc., l'arête est la ligne formée par l'intersection de deux plans, de deux faces latérales quelconques. ARÉTÉ, 197e petite planète, trouvée le 21 mai 1879 par Palisa à Pola. Voy. PLANÈTES.
ARÉTHUSE (nom mythologique) , Arelhusa, genre de la famille des Orchidées, type de la tribu des Aréthusées. L'A. bulbeuse, petite plante sans feuilles dont la hampe se termine par une fleur purpurine assez grande, et l'A. plumeuse sont cultivées comme plantes d'ornement. ”

“ Or, l'arête horizontale S" va percer la face verticale Gs de l'arbalétrier en un point projeté en s, et elle sort sur la face supérieure par le point S, où elle rencontre la droite a0 qui est dans le plan S" α" α de la face interne de la panne; donc la face supérieure M" S" de la panne coupera celle de l'arbalétrier suivant une droite Sg, dont l'extrémité g s'obtiendra en projetant sur le profil (4) l'arête Gg suivant G"g", et en ramenant le point g" en g. Dès lors la section faite dans l'arbalétrier par la face M"S" est un triangle projeté Sgs. ”

“ COROLLAIRE II. — Le volume d'un tronc de prisme triangulaire est égal au produit de sa section droite par le tiers de la somme de ses trois arêtes latérales.
EXERCICES NUMÉRIQUES.
1. Calculer, à un centimètre cube près, le volume d'un tétraèdre régulier dont l'arête est égale à 0m, 60.
- Je commence par chercher les expressions de la base el de la hauteur du tétraèdre en fonction de l'arête que je désigne par a. La base est un triangle équilatéral dont le côté est exprimé par a et la hauteur par~ c'est-à-dire par ; l'aire
d t. ”

“ Ainsi, lorsque deux lignes du second ordre, tracées sur une surface du même ordre, sont tangentes l’une à l’autre, les surfaces coniques circonscrites, dont ces lignes sont les lignes de contact avec la surface du second ordre, ont une arête commune, laquelle passe par le point de contact de deux courbes ; et il est aisé de voir que, réciproquement, si deux surfaces coniques circonscrites à une même surface du second ordre ont une arête commune, leurs lignes de contact avec cette surface seront tangentes l’une à l’autre au point où cette même surface sera touchée par l’arête commune. ”

“ Ainsi, quoique les arêtes ou les lignes n'existent réellement que sur la surface des corps, nous les considérons souvent seules et sans faire attention aux faces qu'elles terminent.
Notre imagination peut même nous représenter des lignes qui n'existent pas : par exemple, le prolongement de l'une des arêtes d'une règle. ”

“ Enfin, mes enfants, remarquez encore que les arêtes qui vont d'une base à l'autre, peuvent être longues ou courtes ; elles peuvent être même plus courtes que les côtés des bases, le solide n'en est pas moins un prisme; comme un pion de damier n'est pas moins un cylindre, quoique ses deux bases soient larges et sa surface courbe étroite. ”

“ Pour les points r, s c'est encore la même chose; seulement, comme ils sont les aboutissements des arêtes du champ, lequel étant d'équerre à la face inclinée de l'arêtier, ils ne peuvent pas être sur un même plan vertical et parallèle à l'arêtier, comme ceux g'u, et ne peuvent être qu'à la rencontre des projections horizontales de l'arête aux points s", r". ”

“ L'arêtier inférieur, dans un solide fléchi, reposant sur deux appuis, ne travaille qu'à la traction lorsqu'il n'intervient aucun effort dans une direction transversale à la longueur de la pièce. Dans le cas d'action due au vent, la résultante, agissant dans la face inclinée située du côté opposé à son action, provoque un effet de relèvement par rapport à la verticale dans ladite face, et par suite une compression dans l'arête inférieure de l'ensemble. ”