Horizontal

“ Construire la projection verticale d'une droite dont on connaît les projections d'un de ses points, la projection horizontale d'un autre de ses points, et l'angle qu'elle fait, soit avec le plan horizontal, soit avec le plan vertical. ”

“ Nous devons entrer ici dans quelques détails sur les sections horizontales sans revenir sur ce que nous avons dit de ce mode de représentation du relief du sol dans notre avantpropos et aux paragraphes 291-295.
Il nous suffit de rappeler que la surface du sol est considérée, dans ce système, comme engendrée par un plan horizontal, ou une surface de niveau, se mouvant d'un mouvement uniforme suivant une verticale, de manière à se déplacer parallèlement à elle-même. ”

“ Solution. Soient (fig. 2.) la section du plan vertical avec le corps ; cette section dans la position d’équilibre ; position où l’axe , qui est alors , est supposé vertical ; deux axes rectangulaires, pris dans le plan de la section , tels que représente la projection du plan horizontal ; le centre de gravité du corps ; le point de contact de la section avec le plan horizontal. Soient de plus deux axes rectangulaires, auxquels nous rapportons l’équation de la section ; la masse du corps, la gravité, à la hauteur du centre de gravité au-dessus du plan horizontal, dans sa position d’équilibre ”

“ Nous nous servirons toutefois, dans nos constructions géométriques , de ces points , dont le peintre ne fait ordinairement aucun usage, et qui correspondent aux traces des droites derrière le plan vertical, dans la Géométrie descriptive. Nous dirons, lorsqu'une droite aura ainsi son pied en-dessus de la ligne d'horizon , qu'elle rencontre le plan horizontal derrière le fond du tableau; expression qui, par son inexactitude même, rappellera le cas qui nous occupe. ”

“ Faire la remarque relative à la position de la nouvelle projection horizontale d'une droite par rapport à l'ancienne, quand le plan horizontal est transporté parallèlement à lui-même.
10. Étant données les projections d'une droite limitée, faire remarquer ce qui arrive quand on prend un nouveau plan vertical parallèle à la droite.
11. Théorème. Lorsqu'un angle droit a un de ses côtés parallèle à un plan, il s'y projette en vraie grandeur.
12. D'un point donné mener une perpendiculaire à une droite donnée en faisant usage d'un changement de plan, et en appliquant le théorème précédent. ”

“ Fig. 4.
de la surface de l'eau n'est incliné d'aucun côté sur la verticale, c'est un plan horizontal; une ligne droite appliquée sur un pareil plan s'appelle une horizontale. Plongez la planchette en partie dans l'eau (fig. 4) ; quand l'agitation produite a cessé, la ligne AB qui sépare la partie immergée de la partie restante est une
ligne droite horizontale. Cette ligne s'appelle la ligne d'intersection du plan de la planchette et du plan de la surface de
l'eau. ”

“ Lorsque nous sommes dans une grande plaine où la vue n'est gênée par aucun obstacle, il nous semble voir un grand cercle autour de nous; ce cercle s'appelle horizon visuel; les surfaces parallèles à ce cercle sont dites horizontales; la surface des eaux tranquilles dans un bassin peu étendu, est une surface horizontale. La ligne perpendiculaire à l'horizon se nomme verticale. ”

“ Si l'axe de la surface de révolution est vertical, tous les parallèles se projettent horizontalement en véritable grandeur, et le plan méridien parallèle au plan vertical se projettera aussi verticalement en véritable grandeur. ”

“ F. 2.- C'est sur cette ligne d'horizon que se placent les points de concours de toutes les droites parallèles horizontales qui font un angle quelconque avec le tableau.
Avant d'aller plus loin, faisons remarquer qu'en géométrie deux parallèles ne doivent jamais se rencontrer; mais en perspective, au contraire, elles se rencontrent toujours par l'effet de la vision : de là les points de concours dont nous venons de parler. Deux cas cependant sont exceptés : le premier, quand les lignes sont verticales elles restent verticales en perspective ”

“ Triangle dont l'un des angles est droit. — Dans un triangle il ne peut y avoir qu'un angle droit. 23. — VERTICALE : Ligne droite qui est dans la direction du fil-à-plomb. — La verticale est perpendiculaire à l'horizontale.
— Dans un dessin, les lignes des côtés du cadre qui vont de bas en haut, sont, ainsi que leurs parallèles, considérées comme verticales. — En dessin comme en géométrie, toutes les verticales sont considérées comme étant parallèles entre elles. ”

“ S'agit-il de tracer une verticale sur un plan vertical donné; on fait marquer sur ce plan, deux points de la trace d'un plan qui passe par l'œil et par le fil-à-plomb, puis on joint ces deux points par une droite, et cette droite se trouve verticale. 1 269. L'intersection d'un plan horizontal et d'un plan quelconque, est une horizontale. ”

“ Au contraire, la position horizontale est celle de l’homme endormi ou mort, des troncs d’arbres arrachés, des colonnes renversées, de la plaine, de l’eau quand elle est tranquille : tout ce qui veut se reposer se couche. ”

“ Ces deux surfaces de joints ont l'avantage d'être développables, et de rencontrer, suivant une ellipse, la surface d'extrados , pourvu que cette surface soit formée par un plan horizontal ou par un ellipsoïde semblable à l'intra-
dos de la voûte ”

“ Dans tonte construction les plans doivent être regardes comme indéfinis, et une droite peut rencontrer le plan horizontal derrière le plan vertical, ou le plan vertical au-dessous du plan horizontal, page il Problème. ”

“ Qu'appelle-t-on projection d'un point, d'une ligne, d'un corps?Qu'est-ce qu'une épure ? — Que nomme-t-on ligne de terre ? — Qu'appelle-t-on plan vertical, plan horizontal ? — Enoncez les propositions ci-dessus.
CHAPITRE IL
PERSPECTIVE.
PRINCIPES FONDAMENTAUX.
360. PERSPECTIVE. — La perspective est l'art de représenter les objets tels qu'on les voit. Cette science se divise en
deux parties distinctes : la perspective linéaire et la perspective aérienne. La perspective linéaire enseigne à déterminer le contour et la position des points remarquables du dessin. ”

“ Ainsi, pour se faire une idée de leur emploi, supposons qu'on veuille avoir sur le tableau la position perspective d'une ligne horizontale située à une distance de ce dernier, égale à la largeur même du tableau : il suffira de mener par une des extrémités de la ligne de terre une droite au point de vue, et par l'autre extrémité et le point de distance le plus opposé une ligne qui rencontrera la première au point cherché. ”

“ Sans compter que, si une verticale de seize lieues s’achète par une horizontale de quatre-vingts, cela fera huit mille lieues dans le sud-est, et il y aura longtemps que nous serons sortis par un point de la circonférence avant d’en atteindre le centre !
— Au diable tes calculs ! répliqua mon oncle avec un mouvement de colère. Au diable tes hypothèses ! Sur quoi reposent-elles ? ”

“ Les sections horizontales peuvent être tracées par les données fournies directement par le terrain, ou bien par les cotes d'un dessin.
Sur le terrain on peut avoir affaire à une petite ou à une grande surface.
Dans le premier cas le tracé des courbes horizontales par rayonnement est spécialement indiqué. ”

“ Nous avons démontré que le plan de l'horizon dans lequel se trouvait l'œil du spectateur, celui du tableau où est tracée la ligne d'horizon ou de section de ce plan par le premier, les points de vue c et de distance d et e étant confondus avec le plan du terrain sur lequel est tracée la projection horizontale a-b, de la fuyante ; les lignes tracées dans ces plans ainsi réunis avaient entre elles, et par rapport aux points où elles étaient dirigées, les mêmes rapports que ceux qu'elles avaient avant le mouvement de. ces plans, et lorsqu'ils occupaient dans l'espace leurs positions respectives. ”

“ PROBLÈME XXXVI. Réduire un angle à l'horizon, l'un des côtés étant horizontal (6g. 23) . 80 XXXVII. Mener par un point un plan faisant des angles donnés avec les plans de projection (fig. 29) . 81 XXXVIII. Plus courte distance d'une droite quelconque à la ligne de terre (fig. 30) . 83 XXXIX. Par un point, mener une droite qui fasse avec les plans de projection des angles donnés (fig. 31) . ib.
XL. Intersection d'une sphère et d'un plan. 85 XLI. Intersection de deux sphères. ib.
XLII. Intersection d'une droite et d'une sphère. ”

“ La ligne horizontale est plus facile à suivre par l'œil que la verticale pour des raisons qui tiennent à la disposition même des muscles du globe de l'œil et sur lesquelles nous avons longuement insisté dans la première partie. ”

“ Tous retrouvent leurs documens enfouis, mêlés, et ont grand’peine à établir les dates et l’ordre des faits. Les couches de la terre, qui devraient être horizontales, sont la plupart bouleversées, obliques, verticales ou même complètement retournées. ”

“ Leçons sur l'art de lever les plans : comprenant les levers de terrain et de bâtiment, la pratique du nivellement ordinaire, et le lever des courbes horizontales à l'aide des instruments les plus simples... ”

“ Fig, 1
Q.uand les couches ne sont pas horizontales, on appelle direction la ligne horizontale que l'on trace sur la courbe par rapport aux quatre points cardinaux. L'angle, que forme la ligne de plus grande pente de la surface de la couche avec l'horizon, s'appelle l'inclinaison de la couche.
Quand les couches sont régulières et parallèles, on peut souvent,
d'après la direction et l'inclinaison, déterminer pour des distances assez considérables la position topographique de la couche, quand il n'y a ni replis, ni empiétements, ni soulèvement ou affaissements partiels. ”

“ Ces lignes étant les perspectives des horizontales projetantes, on portera sur chacune d'elles une quantité égale à peu près au tiers ou à la moitié de sa grandeur véritable, suivant que l'on voudra obtenir une vue plus ou moins raccourcie. ”

“ Le polygone abcdef sera la perspective demandée.
3° EXERCICE. — Mettre en perspective un cercle placé sur un plan horizontal (fig. 20) .
Partagez la circonférence du cercle en un nombre quelconque de parties égales, cherchez la perspective de chacun des points de division, et faites passer une courbe par toutes ces perspectives. Cette courbe qui devra être une ellipse sera la perspective demandée.
lt. ° EXERCICE. — Mettre en perspective un parquet composé de carrés (fig. 21) ayant chacun un côté parallèle à la ligne de terre. ”

“ Direction de la verticale en un lieu ou en un point donné. — Deux verticales sont toujours dans un même plan. — Comment on reconnaît si une ligne droite est verticale. — La verticale est, en chaque lieu, perpendiculaire à la surface des fluides en repos. 183 5-12. Figure et dimensions du globe terrestre. — Divergence des verticales les unes par rapport aux autres.
— Explication de ces faits par la gravitation universelle. - Surfaces de niveau. — Droites horizontales et plans horizontaux. — Niveaux. — Niveau à bulle d'air. — Niveau sphérique. ”

“ Étant donnés le tableau et l'horizon, ajouter à une droite fuyante une ou plusieurs grandeurs proportionnelles.
Figure 29. Soient le tableau A B C D , l'horizon E F et la droite G H. Supposons , par exemple , qu'on veuille ajouter à G Il une grandeur avec laquelle cette ligne soit dans le rapport de 6 à 5. Prolonger G Il indéfiniment ; du point G mener une horizontale indéfinie , G I; d'un point accidentel, X, pris arbitrairement sur l'hori-
zon , conduire une droite par le point H jusqu'à la rencontre de G 1 au point K ”

“ Mais comment détermine-t-on la place des points de concours en général; comment apprécier à vue leur position dans le dessin d'après nature ?
Il suffit d'imaginer par l'œil une droite parallèle géométrale à la ligne ou aux lignes dont on cherche le point de concours. Cette droite qui n'est autre chose qu'un rayon visuel ira rencontrer le tableau ou son prolongement au point cherché sur la ligne d'horizon.
Qu'entend-on par parallèle géométrale? C'est une ligne réelle ou imaginaire qui, étant située dans un même plan qu'une autre droite, conserve constamment avec elle la même distance. ”

“ PROGRAMME. — Ligne droite et plan. — Ligne brisée. — Ligne courbe.
Lorsque deux droites partent d'un même point suivant des directions différentes, elles forment une figure qu'on appelle angle. -Génération des angles par la rotation d'une droite autour d'un de ses points.
Angles droit, aigu, obtus.—Par un point pris sur une droite, on ne peut élever qu'une seule perpendiculaire à cette droite.
DÉFINITIONS.
1. On appelle corps une portion limitée de l'étendue.
Tout corps a trois dimensions : la longueur, la largeur et la profondeur ou la hauteur. ”

“ Une surface rectiligne est celle qui est comprise entre des lignes droites.
La curvi-ligne est comprise entre des lignes courbes. Voyez Courbe.
Une surface plane est la même chose qu’un plan. Voyez Plan.
L’aire d’une surface est l’étendue ou le contenu de cette surface. Voyez Aire & Mesure ; & sa quadrature consiste à déterminer cette aire. Voyez Quadrature.
Pour la mesure des surfaces des différentes especes de corps, comme les spheres, les cubes, les paralélipipedes, les pyramides, les prismes, les cônes, &c. Voyez Sphere, Cube, &c. ”

“ Ligne horisontale en perspective, est une ligne droite tirée du point de vûe parallelement à l’horison, ou l’intersection du plan du tableau & du plan horisontal.
Parallaxe horisontale. Voyez Parallaxe.
Plan horisontal, est celui qui est parallele à l’horison du lieu. Voyez Plan.
Tout l’objet du nivellement est de voir si deux points sont un plan horisontal, ou de combien ils s’en écartent. Voyez Nivellement.
Plan horisontal en Perspective, est un plan parallele à l’horison qui passe par l’œil, & coupe le plan du tableau à angles droits. ”

“ Espace compris entre deux lignes qui se rencontrent. — Les lignes qui forment un angle se nomment côtés de l'angle, et le point de rencontre sommet de l'angle. — La grandeur d'un angle dépend de l'écartement de ses côtés et non de leur longueur. ”

“ Le principe sur lequel repose la réflexion est basé sur cette vérité : que l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion; en d'autres termes, l'angle sous lequel un rayon lumineux tombe sur une surface est égal à celui suivant lequel il s'y réfléchit. ”

“ Le plan des montagnes étant vertical devient une échelle toujours dressée où l’œil rapporte et compare les objets qu’il embrasse ; et ces objets accusent tour à tour leur petitesse sur cette énorme mesure. ”