Vertical

“ L’arbre seul, dans la nature, pour une raison typifique, est vertical, avec l’homme.
Mais un homme se tient debout dans son propre équilibre, et les deux bras qui pendent, dociles, au long de son corps, sont extérieurs à son unité. ”

“ Construire la projection verticale d'une droite dont on connaît les projections d'un de ses points, la projection horizontale d'un autre de ses points, et l'angle qu'elle fait, soit avec le plan horizontal, soit avec le plan vertical. ”

“ Le vertical du soleil est celui qui passe par le centre du soleil au moment d’une observation. Il est d’un grand usage dans la Gnomonique pour trouver la déclinaison du plan sur lequel on veut tracer un cadran.
Le plan vertical dans la perspective est un plan perpendiculaire au plan géométral ; le plan vertical passe par l’œil, & coupe le plan du tableau à angle droit. Voyez Plan. ”

“ Si, dans le premier cas, associant des images à des images, nous nous mouvions d’un mouvement que nous appellerons par exemple horizontal, sur un plan unique, il faudra dire que dans le second cas le mouvement est vertical, et qu’il nous fait passer d’un plan à un autre. ”

“ Si nous avions voulu considérer le plan P comme un plan vertical, il eût été convenable de déterminer les points av et bv par des verticales du plan P, lesquelles auraient ensuite servi à trouver H'P sur le nouveau plan horizontal de projection perpendiculaire au plan P et par lequel il aurait fallu passer, avant de pouvoir considérer ce plan P comme un plan vertical de projection. ”

“ S'agit-il de tracer une verticale sur un plan vertical donné; on fait marquer sur ce plan, deux points de la trace d'un plan qui passe par l'œil et par le fil-à-plomb, puis on joint ces deux points par une droite, et cette droite se trouve verticale. 1 269. L'intersection d'un plan horizontal et d'un plan quelconque, est une horizontale. ”

“ Solution. Soient (fig. 2.) la section du plan vertical avec le corps ; cette section dans la position d’équilibre ; position où l’axe , qui est alors , est supposé vertical ; deux axes rectangulaires, pris dans le plan de la section , tels que représente la projection du plan horizontal ; le centre de gravité du corps ; le point de contact de la section avec le plan horizontal. Soient de plus deux axes rectangulaires, auxquels nous rapportons l’équation de la section ; la masse du corps, la gravité, à la hauteur du centre de gravité au-dessus du plan horizontal, dans sa position d’équilibre ”

“ Triangle dont l'un des angles est droit. — Dans un triangle il ne peut y avoir qu'un angle droit. 23. — VERTICALE : Ligne droite qui est dans la direction du fil-à-plomb. — La verticale est perpendiculaire à l'horizontale.
— Dans un dessin, les lignes des côtés du cadre qui vont de bas en haut, sont, ainsi que leurs parallèles, considérées comme verticales. — En dessin comme en géométrie, toutes les verticales sont considérées comme étant parallèles entre elles. ”

“ Nous nous servirons toutefois, dans nos constructions géométriques , de ces points , dont le peintre ne fait ordinairement aucun usage, et qui correspondent aux traces des droites derrière le plan vertical, dans la Géométrie descriptive. Nous dirons, lorsqu'une droite aura ainsi son pied en-dessus de la ligne d'horizon , qu'elle rencontre le plan horizontal derrière le fond du tableau; expression qui, par son inexactitude même, rappellera le cas qui nous occupe. ”

“ Pour cela on suppose, lorsqu'on regarde la projection horizontale d'un corps, que l'œil est placé au-dessus de ce corps à une distance infiniment grande, et lorsqu'on regarde la projection verticale, on est censé être placé devant le plan vertical de projection, et infiniment loin de ce plan. ”

“ Par une raison semblable on ne pourra amener la droite D dans une position parallèle au plan horizontal que par un mouvement de rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical.
63. PROBLÈME 17. Amener une droite dans une position perpendiculaire à l'un des plans de projection ( fig. 61 ) . Lorsqu'une droite est perpendiculaire à l'un des plans de projection, elle est nécessairement parallèle à l'autre. ”

“ Changeons présentement les rôles ; supposons que le point lumineux est dans l’air, tandis que l’œil est, au contraire, plongé dans l’eau. Soit toujours (fig. 6) le plan de la figure un plan vertical passant par l’objet et par l’œil, soit l’intersection de ce plan avec la surface de l’eau ; prenons cette droite pour axe des Soit l’objet ; et prenons pour axe des la verticale conduite par Soit un rayon incident quelconque et soit le même rayon réfracté. ”

“ Lorsque nous sommes dans une grande plaine où la vue n'est gênée par aucun obstacle, il nous semble voir un grand cercle autour de nous; ce cercle s'appelle horizon visuel; les surfaces parallèles à ce cercle sont dites horizontales; la surface des eaux tranquilles dans un bassin peu étendu, est une surface horizontale. La ligne perpendiculaire à l'horizon se nomme verticale. ”

“ On pourra donc aussi (11) construire graphiquement par points, soit l’image d’une ligne droite ou courbe plane donnée, située dans un même plan vertical avec l’œil, soit la ligne dont une ligne droite ou courbe plane donnée, située dans un même plan vertical avec l’œil, est l’image. ”

“ Comme en dessin on n'a qu'une surface, la feuille de papier, et qu'on ne peut alors opérer que sur un seul et même plan, on est convenu de supposer, par la pensée, le plan vertical ABEF, rabattu par le prolongement du plan horizontal, en tournant autour de la ligne de terre comme charnière, tel serait un livre ouvert à angle droit, que l'on coucherait sur la table. ”

“ Fig. 2.
au vertical, sur chaque ligne d'eau, la distance au carré de l'axe longitudinal à l'intersection correspondante; servez-vous, pour les contours supérieurs, des projections horizontales des lisses de pont et de batayoles, aux points d'intersection des couples dévoyés; que la hauteur du pied s'arrête, pour l'avant, au fond de la râblure d'étrave, relativement à la position du couple; enfin, par tous ces points, décrivez une courbe, elle sera la projection verticale du couple dévoyé. ”

“ Mais à toutesles raisons que j'ai données, je crois devoir en ajouter une qui me paraît décisive : c'est que la droite, que certaines personnes désignent par le nom de ligne de terre, n'indique jamais dans les épures la surface du terrain, mais la trace du plan vertical de projection. ”

“ Nous pouvons placer la surface de manière qu'elle repose par sa base, sur le plan horizontal, et que sa plus courte génératrice droite soit parallèle au plan vertical. La projection horizontale de la base sera un cercle C de rayon R, et sa projection verticale, une droite A'B' égale à 2R, comprise entre deux tangentes perpendiculaires à la ligne de terre. ”

“ Vous savez que la hauteur des montagnes se compte au-dessus du niveau de la mer. Quand vous lisez, par exemple, dans une géographie que le mont Blanc a 4810 mètres de haut, vous savez que, si l'on dressait verticalement une immense échelle de 4810 échelons espacés chacun d'un mètre, et dont le plus élevé serait au niveau du mont Blanc, l'échelon zéro serait au niveau de la mer. ”

“ La distance qui les sépare égale quelquefois leur hauteur ; mais chez la plupart des individus elle se montre un peu moindre.-Leur face antérieure est convexe dans le sens transversal, plane dans le sens vertical; leur face postérieure, concave transversalement, est convexe de haut en bas. ”

“ Faire la remarque relative à la position de la nouvelle projection horizontale d'une droite par rapport à l'ancienne, quand le plan horizontal est transporté parallèlement à lui-même.
10. Étant données les projections d'une droite limitée, faire remarquer ce qui arrive quand on prend un nouveau plan vertical parallèle à la droite.
11. Théorème. Lorsqu'un angle droit a un de ses côtés parallèle à un plan, il s'y projette en vraie grandeur.
12. D'un point donné mener une perpendiculaire à une droite donnée en faisant usage d'un changement de plan, et en appliquant le théorème précédent. ”

“ Nous devons entrer ici dans quelques détails sur les sections horizontales sans revenir sur ce que nous avons dit de ce mode de représentation du relief du sol dans notre avantpropos et aux paragraphes 291-295.
Il nous suffit de rappeler que la surface du sol est considérée, dans ce système, comme engendrée par un plan horizontal, ou une surface de niveau, se mouvant d'un mouvement uniforme suivant une verticale, de manière à se déplacer parallèlement à elle-même. ”

“ Dans tonte construction les plans doivent être regardes comme indéfinis, et une droite peut rencontrer le plan horizontal derrière le plan vertical, ou le plan vertical au-dessous du plan horizontal, page il Problème. ”

“ Fig. 4.
de la surface de l'eau n'est incliné d'aucun côté sur la verticale, c'est un plan horizontal; une ligne droite appliquée sur un pareil plan s'appelle une horizontale. Plongez la planchette en partie dans l'eau (fig. 4) ; quand l'agitation produite a cessé, la ligne AB qui sépare la partie immergée de la partie restante est une
ligne droite horizontale. Cette ligne s'appelle la ligne d'intersection du plan de la planchette et du plan de la surface de
l'eau. ”

“ Si maintenant nous changeons de plan horizontal, en prenant L'T pour ligne de terre, nous déterminerons la trace horizontale Hp' à l'aide d'une verticale R' du plan P'; enfin, changeant encore de plan vertical, en prenant LT pour ligne de terre, nous trouvons la trace verticale VP' à l'aide d'une horizontale S' du plan P'.
76. Lorsqu'une figure plane est donnée dans l'espace, il est souvent utile d'en avoir la véritable forme ”

“ On est immédiatement frappé des rapports du front et de la tempe avec la face, et l'on voit nettement les différents degrés de verticalité, d'obliquité, d'étroitesse, d'abaissement, de hauteur, de largeur et de régularité de la tempe, dont le développement et l'ampleur sont essentiellement humains. ”

“ Puisque le plan vertical reste le même, le point ou projection in" ne change pas et le point m de l'espace demeure toujours en avant du plan vertical défini de position dans l'espace par la ligne de terre L'T' et à la même distance de ce plan vertical; donc la nouvelle projection horizontale mh" doit se trouver avec mv. ”

“ J'ajoute que, plus le plan occupé par les pieds aura une surface étendue, plus la verticale abaissée du centre de gravité tombera facilement dans ce plan ; plus alors la station verticale sera facile. — Sans faire aucune allusion, aux dimensions exagérées des extrémités de certains de nos semblables, qui, dit-on, ont de si grands pieds qu'ils peuvent dormir debout, vous comprendrez très bien qu'un léger écartement des pieds rend la station verticale plus stable et moins pénible. ”

“ La ligne sera horizontale si le fil à plomb du niveau couvre bien la ligne verticale tracée sur le milieu de la traverse du bas, et que l'on nomme ligne de foi. L'erreur sera immédiatement rectifiée à la craie.
5. — Tracer une verticale, fig. 2. La verticale est d'une exécution plus difficile que l'horizontale. Les élèves, habitués à donner à l'écriture une pente de droite à gauche, conservent cette habitude les premiers jours dans le tracé des verticales : le maître, prévenu de cette tendance d'inclinaison vers la gauche, y donnera une attention particulière. ”

“ Prenons pour plan horizontal celui de la face connue A adjacente à l'angle p, menons I/T" perpendiculaire à Hy, l'on connaîtra VIIQ; et prenons aussi L'T' perpendiculairé à H". Si l'on conçoit que le plan P tourne autour de HP pour prendre la position qu'il doit occuper dans l'espace, un point quelconque b' de l' se mouvra dans le plan vertical L'T' en décrivant un arc de cercle C', et viendra au point où cet arc est coupé par le plan Q, point que nous obtiendrons en cherchant V" (n° 47 ) ”

“ Élevons sur le milieu de notre ligne donnée une verticale indéfinie qui se prolongera au-dessus de l'arc de cercle, et sur la partie supérieure de cette verticale, du point supérieur d'intersection de cet arc avec notre verticale, traçons comme centre une série de six cercles concentriques qui viendront couper la verticale en six points. Au premier point de rencontre du plus petit cercle avec la verticale, on placera la pointe sèche du compas jusqu'à la rencontre de l'une ou de l'autre des extrémités de la droite donnée, et on décrira une circonférence. ”

“ Direction de la verticale en un lieu ou en un point donné. — Deux verticales sont toujours dans un même plan. — Comment on reconnaît si une ligne droite est verticale. — La verticale est, en chaque lieu, perpendiculaire à la surface des fluides en repos. 183 5-12. Figure et dimensions du globe terrestre. — Divergence des verticales les unes par rapport aux autres.
— Explication de ces faits par la gravitation universelle. - Surfaces de niveau. — Droites horizontales et plans horizontaux. — Niveaux. — Niveau à bulle d'air. — Niveau sphérique. ”

“ La ligne horizontale est plus facile à suivre par l'œil que la verticale pour des raisons qui tiennent à la disposition même des muscles du globe de l'œil et sur lesquelles nous avons longuement insisté dans la première partie. ”

“ Dès lors, si, sur un plan oblique par rapport aux deux plans de projections, on mène par un point m de ce plan une horizontale H et une verticale V, puis deux lignes de plus grande pente, l'une K, par rapport au plan horizontal, et l'autre G par rapport au plan vertical, les angles ( H' 1, Kft ) et (Y", Gv ) seront droits.
116. PROBLÈME 22. Trouver la bissectrice de l'angle de deux droites. ”

“ Il en serait de même pour une ligne verticale de 25 mètres, par exemple, il s'agirait simplement de mener des extrémités de la ligne BY des lignes au point de vue. Toutes les verticales comprises entre ces deux lignes seront toutes de la même longueur de 25 mètres.
F. 6. — Un bâtiment vu de front est celui qui a une de ses faces parallèles au tableau, l'autre face qu'on appelle face fuyante a ses lignes horizontales qui se dirigent au point de vue. ”

“ En général, on suppose les corps entièrement situés dans l'angle antérieur supérieur.
3. On rapporte les objets aux plans de projections, en abaissant de tous leurs points des perpendiculaires sur chacun d'eux; ces perpendiculaires s'appellent projetantes des points; chaque pied est la projection d'un point ; l'ensemble des pieds, ou mieux le lieu des pieds, forme deux figures qui sont dites l'une projection horizontale, l'autre projection verticale de l'objet. ”