Silvestre-François Lacroix

“ Si l'on suppose que le cône dont on cherche le développement soit droit, c'est-à-dire à base circulaire, et que son axe passe par le centre de cette base, alors la courbe F F, Fa etc. devient un cercle parallèle à la base du cône ; et comme le rayon SF peut être pris à volonté, il sera plus commode d'employer la base elle-même. On voit que, dans le développement, cette base fait encore partie d'un cercle t. mais dont le rayon n'est pas le même que sur le cône : sur celui-ci c'est OE, et sur le plan c'est SE, ou le côté même du cône. ”

“ ÉLÉMENS DE GÉOMÉTRIE.
- PREMIÈRE PARTIE, où l'on considère les Plans et la Sphère.
NOTIONS PRÉLIMINAIRES.
Je vais commencer par exposer en détail la manière dont on peut représenter, à l'aide de plusieurs plans, les différentes parties de l'espace, et en faire connaître les dimensions.
i. La position d'un point sur un plan est donnée toutes les fois qu'on connaît celle de deux lignes qui passent par ce point, puisqu'il ne peut être qu'à leur intersection. ”

“ La question de mener un plan tangent à une surface courbe quelconque, est donc ramenée à la recherche des tangentes des courbes planes : c'est tout ce qu'on peut faire sans employer l'analyse; et nous observerons de plus qu'il faudrait encore prouver que le plan qui passera par les deux lignes Mt et MT, passera aussi par la tangente de toute autre section faite par le point M dans la surface proposée. ”

“ Il faut bien remarquer que, quoique la courbe MM, M, etc. puisse être fermée, son développement, dans beaucoup de cas, sera indéfini : cela tient à ce qu'un plan, en se roulant en cylindre, peut passer sur lui-même autant de fois qu'on voudra, puisqu'il est indéfini par sa nature. C'est ainsi qu'en construisant le développement de l'ellipse qui est la section du cylindre droit par un plan oblique à sa hase, on trouve, pour résultat, une courbe indéfinie. ”

“ Si l'on conçoit qu'une ligne droite qui se meut dans l'espace, soit assujettie à passer constamment par un point donné, et à suivre le contour d'une courbe donnée de position sur un plan, elle formera une surface dont le cône n'est qu'un cas particulier, dans lequel la courbe prise pour diriger le mouvement de la ligne droite est un cercle. ”

“ Il y a une courbe particulière qu'on trace sur un cylindre, qui ne saurait être passée sous silence: c'est celle qui jouit de la propriété de faire constamment le même angle avec la droite génératrice, dans quelque position que celle-ci se trouve.
Il est aisé de voir que cette courbe devient une ligne droite lorsqu'on développe le cylindre; car alors toutes les positions de la génératrice se trouvant parallèles entre elles sur un même plan, elles ne peuvent être rencontrées sous un angle constant que par une droite. ”

“ Mais les prismes et les pyramides ne sont pas les seuls corps dont on puisse développer les surfaces sans solution de continuité ; la notion du développement fait voir qu'il aura lieu toutes les fois que la surface proposée sera formée de plans angulaires indéfinis, joints les uns aux autres par des arètes aussi indéfinies, quand même ces angles n'auraient pas leur sommet au même point. ”

“ Lorsqu'on développe une surface, on a pour but de rapporter sur un seul plan, les courbes que l'on a considérées sur cette surface; par exemple, on développe un cylindre pour y tracer plus commodément un filet de vis. On sent aisément que pour exécuter ce développement, il faut rapporter les courbes proposées sur la surface qui les contient, à des données qui ne changent pas de grandeur dans le passage de la surface au plan, et dont la position respective, dans ce dernier cas, soit facile à déterminer. ”

“ Deux points détermineront une ligne droite , et les faces de l'objet proposé seront formées d'un certain nombre de ces lignes.
Quand l'objet est terminé par des surfaces courbes, il ne présente alors aucun point particulier à saisir pour déterminer sa forme; il faut préalablement trouver son contour apparent.
Le contour apparent n'est autre chose que la courbe qui sépare, sur un corps, la partie qu'on voit de celle qu'on ne voit pas; et il est évidemment formé par l'ensemble des points dans lesquels le rayon visuel ne fait que toucher la surface du corps. ”

“ Une ligne qui se meut dans l'espace, ou qui change à la fois de grandeur et de position suivant une loi déterminée, engendre une surface qui n'est autre chose que l'ensemble des positions successives qu'elle a occupées, ou des formes qu'elle a prises. ”

“ Quant à la projection verticale, elle se trouve sur le cercle qui sert de base au premier cylindre.
Si l'on demandait la courbe qui serait l'intersection d'un plan quelconque et d'une surface cylindrique ou conique, on pourrait appliquer les méthodes précédentes à ce cas particulier; car un plan appartient également à la famille des surfaces coniques ou à celle des surfaces cylindriques, puisqu'il peut être engendré par une droite assujettie à glisser le long d'une autre, et à passer constamment par un même point pris hors de cette droite, ou à se mouvoir parallèlement à elle-même. ”

“ L'idée qu'on doit avoir du plan tangent à une surface courbe, emporte avec elle la condition que ce plan doit passer par toutes les tangentes qu'on peut mener à la surface proposée, par le point où il la touche. ”

“ Tout ceci s'exécute sans aucune difficulté; il est bon seulement de remarquer comment un point peut être donné sur la surface d'une sphère. Il existe entre les deux projections de ce point une dépendance mutuelle qui fait que l'une étant prise à volonté, l'autre s'ensuit nécessairement.
En effet, on voit d'abord que la projection sur le plan horizontal, par exemple, ne doit pas se trouver hors du cercle qui a pour rayon celui de la sphère, et pour centre la projection du centre de celle-ci sur le plan horizontal ”

“ Il est bien vrai qu'en coupant les surfaces dont il s'agit, par un plan mené par la droite génératrice, la section qu'on obtiendrait n'aurait pas de courbure : mais il ne faut pas confondre la courbure d'une surface avec celle de ses sections ; car il est évident qu'en donnant certaines positions au plan coupant, on peut varier cette courbure par un même point, d'une infinité de manières. ”

“ Nous observerons, en général, que l'intersection d'une surface courbe et d'un plan quelconque peut toujours se construire facilement, puisque, quel que soit le système des plans coupans, leurs rencontres avec le plan proposé seront toujours des lignes droites faciles à déterminer. ”

“ Si la surface proposée était de révolution et avait son axe vertical, les sections horizontales seraient toutes des cercles, soit en elles-mêmes, soit dans leur projection; et il serait facile de leur mener des tangentes par le point de la droite donnée, situé dans le plan qui les produit. Quant aux plans coupans verticaux, il faudrait les assujettir à passer par l'axe, afin de n'avoir pour toutes les sections que la courbe génératrice. ”

“ Nous supposerons d'abord que l'axe de rotation soit perpendiculaire au plan vertical; il est clair que si l'on imagine un plan parallèle à celui-ci, il coupera la surface proposée suivant un cercle qui aura pour rayon l'ordonnée de la courbe génératrice.
Pour exécuter cette construction, il n'y a qu'à imaginer le corps coupé par un plan horizontal, et passant par l'axe de rotation; la section qu'on obtiendra sera la courbe génératrice, qui, se trouvant dans un plan parallèle au plan coordonné horizontal, ne changera pas de nature étant projetée sur ce dernier. ”

“ Si la courbe X'H' était un cercle, on aurait le cône désigné dans les Élémens, sous le nom de cône oblique ; et si le point M' était le centre de ce cercle, la surface engendrée serait alors celle du cône droit. Dans tout autre cas, c'est une surface analogue , et que nous désignerons toujours sous le nom de cône, parce que nous attacherons à ce mot l'idée d'une surface composée de lignes droites qui se rencontrent toutes en un seul point.
Une ligne droite étant indéfinie par sa nature, il s'ensuit qu'on peut concevoir la ligne génératrice prolongée autant qu'on le voudra au-dessus du point M ”

“ La sphère, dont nous nous sommes déjà beaucoup occupés, est engendrée par le mouvement d'un demicercle tournant autour de son diamètre : si l'on substitue au demi-cercle, une courbe quelconque : tournant autour d'une ligne prise dans son plan, les surfaces qui naîtront de la , et que nous ferons connaître sous le nom de surfaces de révolution, ont toutes une propriété commune, celle de donner des cercles quand on les coupe par des plans perpendiculaires à l'axe de rotation. ”

“ Le point A étant celui où elle rencontre le plan horizontal, il suffit, pour la déterminer entièrement, de parvenir à connaître la hauteur d'un autre de ses points; mais nous observerons que les points F et f qui lui appartiennent , décrivent chacun un cercle dans le développement , et que ces cercles sont situés dans les plans engendrés par F F et fi Si donc l'on construit l'un de ces cercles, en supposant son plan rabattu sur le plan horizontal, il déterminera la hauteur du point de l'espace où se fait la réunion des points F et f. ”

“ La hauteur du point dont 0' est la projection, est donnée par la construction même, puisqu'elle est égale à G'F, comme celle de "tous les points qui répondent au-dessus des droites g'f et G'F.
PROBLÈME.
5o. Connaissant dans un angle trièdre deux faces et l'angle qu'elles comprennent, construire le développement de cet angle trièdre.
Supposons d'abord qu'on ait rabattu l'une des faces données Alf dans le plan de l'autre AfF; si par un point f, pris à volonté sur l'arète commune Af, on élève une perpendiculaire ff, elle décrira, dans le développement , un plan perpendiculaire à cette arête. ”

“ On prolongera FF' indéfiniment, puis on décrira sur F F" un cercle qui fera trouver le point F et AF. Pour obtenir ensuite Af, on mènera F'f perpendiculaire sur AH', et l'on achèvera le triangle Aff, en observant que son hypoténuse Afest égale à AF.
On voit donc qu'on a tout ce qu'il faut pour la construction d'un angle trièdre, lorsque l'on connaît une de ses faces, la projection sur cette face de l'arète qui lui est opposée, et la hauteur d'un point de cette arète au-dessus de sa projection. ”

“ Si l'on remarque en outre que tout plan mené par leur axe, coupe ces surfaces suivant leur courbe génératrice, on aura celles de leurs propriétés caractéristiques qui sont nécessaires à leur construction, laquelle peut s'effectuer ainsi qu'on va le voir. ”

“ Il en sera de même d'un prisme lorsqu'on fera abstraction de ses bases, et l'on doit toujours le faire; car les bases d'un prisme ou celles d'une pyramide, ne sont autre chose que des termes que l'imagination ou le besoin met à des corps indéfinis. ”

“ La génération du cylindre est telle, qu'un plan le touche toujours suivant une ligne droite, qui n'est que la génératrice prise dans l'une de ses positions; mais ce plan va rencontrer le plan horizontal, suivant une ligne droite P'T' qui touche la courbe servant de base au cylindre. ”

“ Si l'on mènepar Vœil, une parallèle à une droite située d'une manière quelconque par rapport au tableau, le point où cette parallèle rencontre le tableau appartient à la perspective de la droite proposée. ”

“ On combinerait ensemble la première et la deuxième pour en trouver l'intersection , ainsi qu'on l'a fait dans le problème précédent; ensuite on opérerait semblablement sur la première et la troisième: on aurait de cette manière deux plans qui contiendraient les points cherchés; et lorsqu'on aurait construit dans l'un, la droite suivant laquelle ils se rencontrent, il ne s'agirait plus que de déterminer ses intersections avec le cercle qui est la rencontre de l'une des sphères et du plan sur lequel on a construit. ”

“ Ce problème est en général du huitième degré : on peut cependant, dans sa construction, réduire le nombre des solutions à quatre ; car les corps que l'on emploie, considérés dans toute leur étendue, sont produits par la révolution d'un cercle entier autour de sa corde, mais la partie engendrée par un des segmens appartient aux points dont les rayons visuels font des angles qui sont les supplémens de ceux que donne la partie engendrée par l'autre segment. ”

“ Le plan tangent au point M sera donc déterminé par les droites Mt et MT, la première tangente au cercle MZ, et la seconde à la courbe génératrice MX.
Si l'on sait mener une tangente à cette dernière, on pourra toujours construire le plan tangent à la surface qu'elle engendre.
108. Corollaire. Lorsqu'on sait mener des plans tau gens aux surfaces courbes, on peut mener des droites qui soient perpendiculaires à ces surfaces; car il suffit pour cela qu'elles soient perpendiculaires aux plans tangens, et qu'elles passent par les points de contact. ”

“ Mais, dans les arts, l'objet qu'on se propose n'étant que d'obtenir une précision suffisante pour les moyens d'exécution dont on peut disposer, on modifie la méthode précédente de manière qu'elle puisse être pratiquée fort simplement. ”