Base (géométrie)

“ Pour qu'un espace à deux dimensions possède les propriétés géométriques qui nous ont été rendues familières par l'étude de la géométrie élémentaire, il est nécessaire que l'on puisse construire, en un point quelconque de cet espace, une figure congruente à une figure donnée. ”

“ Dans la seconde Géométrie, on regarde la droite, ou le plan, suivant qu'on opère sur un plan ou dans l'espace, comme l'être primitif, ou l'unité qui doit servir à former toutes les autres parties de l'étendue. ”

“ On sait le calcul différentiel lorsque l'on sait différentier toutes les fonctions connues; on a ensuite les applications du calcul différentiel à telles ou telles questions. De même l'élève sait la géométrie descriptive, lorsque tout ce qui dans cette science est relatif au point, à la droite et au plan lui est connu ; le reste n'est plus que l'application des méthodes de la géométrie descriptive à la solution de telles ou telles questions. ”

“ Il n’en est pas moins important de discuter les principes et les théorèmes fondamentaux de la Géométrie quand on fait abstraction de l’axiome des parallèles. Nous avons aussi exclu de notre étude la question importante de savoir s’il est possible, sans la notion du plan ni de la droite, au seul moyen des points comme éléments et en employant la notion des groupes des déplacements, ou a l’aide de la notion de distance, d’édifier la Géométrie d’une manière logique. ”

“ Les axiomes IV, 1-3 renferment des énoncés qui n’ont trait qu’aux congruences entre segments situés sur des droites. Ils seront, par suite, dits les axiomes linéaires au groupe IV. Les axiomes IV, 4-5 renferment des énoncés qui ont trait aux congruences entre angles. L’axiome IV, 3-6 rattache la notion de congruence de segments à celle de congruence d’angles. Les axiomes IV, 3-6 renferment des énoncés qui ont trait aux éléments de la Géométrie plane et seront nommés par suite les axiomes planaires du groupe IV.
§ 7. ”

“ À la vérité, cette manière de concevoir la représentation des lignes par des équations dans la géométrie analytique à trois dimensions, engendre, par sa nature, un inconvénient nécessaire, celui d'une certaine confusion analytique, consistant en ce que la même ligne peut se trouver ainsi exprimée, avec un même système de coordonnées, par une infinité de couples d'équations différens, vu l'infinité de couples de surfaces qui peuvent la former, ce qui peut présenter quelques difficultés pour reconnaître cette ligne à travers tous les déguisemens algébriques dont elle est susceptible. ”

“ Quand deux surfaces géométriques sont homologiques; si par une droite, prise dans un plan fixe, on mène les plans tangents à la première; qu'on fasse le rapport des distances de chaque point de contact au centre d'homologie et au plan fixe, puis le quotient de ce rapport divisé par la distance du point homologue, dans la seconde surface, au centre d'homologie; la somme de tous ces quotients sera constante, quelle que soit, dans le plan fixe, la droite par laquelle on a mené les plans tangents. ”

“ Voici le théorème analogue dans les surfaces du second degré : La normale et le plan tangent, menés en un point quelconque d'une surface du second degré, rencontrent chacun des trois plans diamétraux principaux de la surface 2, en un point et suivant une droite; Ce point est toujours le pôle de la droite, par rapport à une certaine conique, située dans le plan principal; Sur le plan du grand et du moyen axe de la surface, cette conique est une ellipse; Sur le plan du grand et du petit axe, elle est une hyperbole; Et sur le plan du moyen et du petit axe, elle est toujours imaginaire. ”

“ Remarquez maintenant, mes enfants, qu'il n'est pas nécessaire, pour qu'un solide soit un prisme, que les deux bases soient carrées : il suffit qu'elles soient égales. Voici, par exemple, un dessin qui vous représente un prisme dont les bases sont deux triangles; le pourtour de ce prisme n'a que trois faces planes, tandis
que notre règle en a quatre; mais peu importe; les arêtes sont parallèles, les bases égales, c'est tout ce qu'il faut. ”

“ Donc enfin, toute équation du second degré à deux variables, rapportée à des axes rectangulaires ou obliques, représente, lorsqu'elle donne lieu à des valeurs réelles, une ELLIPSE ou une HYPERBOLE ou une PARABOLE, telles que nous les avons définies aux nos 124, 134 et 141, ou bien une de leurs VARIÉTÉS, savoir : un cercle, un point, un système de deux droites qui se coupent, un système de deux droites parallèles, ou une seule ligne droite. ”

“ Des développements du Chapitre III, § 9, résulte clairement qu’ici, pour tout nombre appartenant au corps algébrique , il doit exister un point correspondant sur la droite ; mais reconnaître si à tout autre nombre réel correspond de même un point de la droite, c’est ce qu’on ne peut faire d’une manière générale, cette question dépendant de la Géométrie à laquelle on a affaire. ”

“ En même temps qu'une étude approfondie de l'état actuel de la Géométrie pure tend à justifier la division systématique que nous avons établie, elle fait voir, par le manque de généralité et de caractère précis d'une foule de théorèmes qui se rattachent aux méthodes que nous venons d'indiquer, que ces méthodes elles-mêmes n'ont point encore l'étendue, la fécondité et le degré de puissance désirables. ”

“ Ainsi : si d'un point fixe on mène un rayon à chaque point a d'une figure, et que, sur ce rayon, on prenne un point a' tel, que le rapport de ses distances au point fixe et à un plan fixe, soit au rayon dans une raison constante; ce point appartiendra à une seconde figure, homologique à la première.
Le centre d'homologie sera le point fixe; et le plan d'homologie sera parallèle au plan fixe. ”

“ On a donc ce théorème général : Quand trois systèmes de deux points forment une involution, il existe toujours un certain point tel, que le produit de ses distances aux deux points de chaque système est constant. ”

“ En nous servant, ainsi que nous venons de le faire, d'une surface simple ( une surface développable) pour démontrer l'existence d'un théorème pour une surface générale, nous avons employé une méthode très-familière à la géométrie descriptive et qui est très-féconde. ”

“ Ce théorème se conclut, par le principe de dualité, de cette autre proposition, dont la démonstration résulte des premiers principes de la Géométrie analytique, savoir : Le lieu d'un point dont les distances à plusieurs plans fixes ont entre elles une relation constante, du degré m, est une surface géométrique, qu'une droite quelconque rencontre en m points (réels ou imagi- naires) . ”

“ Si le plan fixe est à l'infini, on conclut de ce théorème cette autre propriété singulière des surfaces géométriques : Étant donnée une surface géométrique ; si on lui mène ses plans tangents parallèles à un même plan, leurs points de contact avec la surface auront pour centre des moyennes distances un point fixe, quelle que soit la direction commune des plans tangents. ”

“ En un mot, tous les phénomènes géométriques quelconques relatifs aux surfaces seront susceptibles d'être traduits par certaines conditions analytiques équivalentes propres aux équations à trois variables, et c'est dans l'établissement et l'interprétation de cette harmonie générale et nécessaire que consistera essentiellement la science de la géométrie analytique à trois dimensions. ”

“ Nous pouvons donc dire que : quand on fait la figure corrélative d'une sur face du second degré, on a une seconde sur face du second degré dans laquelle le plan qui correspond au centre de la première a pour pôle, pris par rapport à cette seconde surface, le point qui correspond à l'infini de la première figure. ”

“ La règle et le compas peuvent remplacer l'équerre et la fausse équerre, pour tracer des perpendiculaires , et faire des angles égaux à un angle donné; mais, avant de faire connaître les règles que la géométrie fournit à cet égard, nous allons d'abord établir sur les perpendiculaires et sur le cercle quelques propositions élémentaires. ”

“ Ces trois théories sont maintenant connues de tous les géomètres; nous rappellerons seulement ici les caractères distinctifs qu'elles ont permis de donner aux recherches de la Géométrie moderne, et qui consistent en ce que, dans toutes les relations de segments ou d'angles, la règle des signes s'observe, comme dans les résultats de la Géométrie analytique; et que les imaginaires, qui se présentent toujours par couples, comme dans les racines d'une équation du second degré, n'offrent aucune difficulté dans leur interprétation. ”

“ Or, il est évident que chacun des arrangemens possibles et différens de ces côtés donnera lieu à un problème particulier, tout-à-fait distinct des autres, dont la solution devra proprement appartenir à la géométrie ordinaire. La première question à résoudre ; celle qui appartient tout-à-fait à la géométrie de situation, consiste donc à rechercher quel est le nombre et l’espèce des polygones réellement différens, quant à la succession des côtés, qu’il est possible de former, en assujettissant ces mêmes côtés à passer par un nombre de points donnés ? ”

“ Nous reconnaîtrons l’indépendance des axiomes de congruence en démontrant que l’axiome IV, 6, ou encore, car cela revient au même, que le premier théorème de congruence des triangles, c’est-à-dire le théorème X, ne peut être déduit des axiomes restant au moyen de raisonnements logiques.
Nous choisirons encore comme éléments de la nouvelle Géométrie de l’espace les points, droites et plans de la Géométrie ordinaire ; nous définirons aussi le déplacement des angles comme dans la Géométrie ordinaire ainsi qu’il a été exposé au § 9, par exemple. ”

“ La géométrie a pour but la mesure de l'étendue. L'étendue d'un corps est la portion de l'espace occupée par ce corps. Elle a trois dimensions : longueur, largeur, hauteur ou profondeur. On appelle Corps ou solide, ce qui réunit ces trois dimensions ; Surface, ce qui ne réunit que largeur et longueur : c'est la limite extérieure de tout corps ; Ligne, ce qui n'a qu'une dimension, la longueur : c'est la limite d'une surface ”

“ Quand les coefficients de trois coordonnées, dans l'équation d'un plan mobile, sont variables et ont entre eux une relation du premier degré, ce plan passe constamment par un point fixe ; Si ces coefficients ont entre eux une relation du second degré, le plan enveloppe une sur face du second degré ; Et, en général, si ces coefficients ont entre eux une relation du degré m, le plan enveloppe une surface géométrique, à laquelle on peut mener m plans tangents par une même droite. ”

“ Il suffira donc d'étudier les propriétés de la figure située dans ce plan, et d'en transporter l'énoncé à la figure située à l'infini. Par là, on saisira mieux l'ensemble et les rapports de toutes les parties d'une figure proposée dans l'espace; plusieurs de ses parties qui, situées à l'infini, échapperaient aux yeux et à l'esprit, deviendront palpables dans la nouvelle figure. On évitera des constructions que l'on serait obligé de concevoir idéalement sur des objets entièrement à l'infini ; et les raisonnements, devenus plus faciles, seront en même temps plus lumineux et plus convaincants. ”

“ Des théorèmes qui dérivent des axiomes I, 1-7, je ne citerai que les deux suivants :
Théorème I. — Deux droites situées dans le même plan ont un seul point en commun ou bien n’en ont aucun ; deux plans n’ont aucun point en commun ou bien ont une droite en commun ; un plan et une droite non située dans ce plan n’ont aucun point en commun ou bien en ont un seul. ”

“ Dans les applications que nous avons faites du principe d'homographie, nous avons eu souvent à considérer des points et des droites situés à l'infini, qui se transformaient, dans la figure homographique, en des points et des droites situés dans un même plan. Mais on peut avoir à considérer, à l'infini, des figures plus compliquées ”

“ L'artifice consiste à décomposer le nombre soumis au radical en la somme algébrique de plusieurs carrés; ce qui est toujours possible.
12. Nous sommes actuellement en état de construire toute expression algébrique rationnelle ou irrationnelle du second degré, provenant de la mise en équation d'un problème de Géométrie, chacune des lignes qui font partie de l'énoncé ayant été représentée par une lettre. ”

“ Pour le cas du plan, c'est, comme on le voit, la même construction que celle de La Hire. Le point S est le pôle, la trace du plan coupant est la formatrice, et sa parallèle est la directrice.
§ 32. Il y a, en général, dans les questions de Géométrie, deux manières d'appliquer les solutions auxquelles la théorie a conduit. La première est de déterminer les points cherchés par des constructions de lignes; la seconde, de les déterminer par des formules qui se réduisent ensuite à des calculs numériques. ”

“ « Une géométrie est l'ensemble de toutes les notions et de toutes les propriétés qui restent conservées lorsqu'on fait subir à une figure toutes les transformations appartenant à un groupe donné ». A chaque groupe de transformations correspond une géométrie distincte. Ainsi, par exemple, la géométrie élémentaire est l'ensemble de toutes les notions et de toutes les propriétés qui restent conservées après qu'on a fait subir à une figure une similitude quelconque. ”

“ Tous les autres théorèmes de la Géométrie élémentaire qui se rapportent à l’égalité par soustraction des polygones, en particulier le théorème de Pythagore, sont de simples conséquences des théorèmes que nous venons d’énoncer. Néanmoins en poussant plus loin la théorie des aires nous rencontrons une difficulté essentielle. ”

“ Donc, quelle que soit la transversale menée à travers les plans A, B,
gravité, parce que, pour passer de la première à la seconde, il suffit de supposer que plusieurs points du système se réunissent en un seul. ”