Nombre réel

“ Si nous y revenons, c’est pour constater à leur égard comme pour les autres écoles, quels principes ils posent, et comment ces principes tombent sous notre classification. Or, ils paraissent penser que le nombre est principe des êtres sous le point de vue de la matière, en y comprenant les attributs et les manières d’être ; que les éléments du nombre sont le pair et l’impair ; que l’impair est fini, le pair infini ; que l’unité tient de ces deux éléments, car elle est à la fois pair et impair, et que le nombre vient de l’unité ; enfin que les nombres sont tout le ciel. ”

“ Cette science exige un monde où tout soit nombrable et mesurable. Or le nombre, c’est la répétition pure et simple, sans nulle variation ; et la quantité, c’est la possibilité de répétitions indéfinies et de toutes sortes de répétitions indéfinies. — L’unité, en arithmétique, est conçue comme un thème très simple qui n’est susceptible d’aucun autre genre de variation que sa propre répétition ou contre-répétition sans fin assignable. Exprimer le rapport de l’unité avec sa propre répétition, c’est la signification du nombre. ”

“ Nous nous en tiendrons à ces quelques mots sur l’arithmétique technique pour nous arrêter un peu devant l’élément fondamental de cette science, le « nombre entier. »
Bien fatalement un mathématicien est amené à réfléchir sur les origines de cette notion et sur sa valeur philosophique. De même l’on imaginerait difficilement un physicien qui n’aurait pas cherché à se faire une idée de ce que le vulgaire nomme la matière, le temps, la force... Les savans-philosophes et les philosophes-scientifiques ont beaucoup écrit sur le nombre entier. ”

“ Dans d’autres questions, au contraire, des lois connues permettent de mettre expérimentalement en évidence des nombres rationnels simples, les racines carrées de nombres entiers, le nombre etc. ; la liaison est alors intime entre le continu mathématique et le continu physique : la notion arithmétique du nombre intervient véritablement dans l’étude de la nature, et non pas seulement la notion empirique de mesure approchée. ”

“ Les quantités ne seraient-elles que des qualités différentes, et dix, cent, mille ne représenteraient-ils que ces qualités différentes et non une grandeur continue formée d’égalités réelles ?
En d’autres termes, le nombre est-il réellement le souvenir d’une répétition de sensations identiques, ou est-il le souvenir d’un changement qualitatif ?
La recherche est assez difficultueuse et de nombreux mathématiciens et psychologues, négligeant le fond même du problème, donnent une origine logique et rationnelle à la quantité. ”

“ Tel est le. problème de la continuité. La philosophie mathématique est partagée entre deux solutions. Ou elle considère que le concept mathématique le plus clair, le plus distinct, le plus défini, est le concept du nombre, synthèse de l'unité et de la pluralité ; ou elle admet l'infinie divisibilité de la grandeur. Dans le premier cas la loi du nombre est imposée a priori à l'expérience; les phénomènes ne peuvent être étudiés scientifiquement, déterminés les uns par les autres que s'ils forment des collections susceptibles d'être complètement dénombrées ”

“ En ces étranges et invincibles pensées, j’entrevois seulement que l’un n’est pensé dans le nombre que par son rapport à lui-même, par cette opposition et distinction qui fait qu’il est le même en tous et pourtant autre. Non pas en même temps le même et en même temps autre ; mais plutôt il semble que l’un se meut et se transporte, selon un ordre qui fait naître les nombres, éternellement naître les nombres. Et puisqu’il y a ici quelque loi de production qui fait naître toujours les mêmes nombres selon le même ordre, en cette loi serait la vérité éternelle des nombres, et peut-être l’idée. ”

“ Si, pour se servir des mots humains, quelque chose qui soit démontrée ici-bas, vous semble infinie, soyez certain d’y entrevoir une des faces de Dieu. Poursuivons. Vous vous êtes approprié une place dans l’infini du Nombre, vous l’avez accommodée à votre taille en créant, si toutefois vous pouvez créer quelque chose, l’arithmétique, base sur laquelle repose tout, même vos sociétés. De même que le Nombre, la seule chose à laquelle ont cru vos soi-disant athées, organise les créations physiques ; de même l’arithmétique, emploi du Nombre, organise le monde moral. ”

“ La science des quantités abstraites nous donne les règles de calcul les plus savantes et les plus sûres, sans nous dire ni comment nous formons l’idée de nombre, ni pourquoi nous avons des idées abstraites, ni quelle est la cause première de la justesse d’une équation. ”

“ Vous voyez donc, mes enfants, que quand on dit : lcs unités d'un nombre doivent être toutes de même nature, ce n'est pas seulement une règle de calcul qu'on exprime, c'est aussi une vérité de sens commun. ”

“ SUR LES NOMBRES ET SUR LES MESURES.
NOMBRES.
En arithmétique, c'est, comme nous l'avons dit ailleurs, un assemblage d'unités ou de choses de la même espèce.
Newton définit le nombre avec plus de précision : le rapport abstrait d'une quantité de la même espèce, que l'on prend pour l'unité. ”

“ Les notions mathématiques ont dans l’esprit une réalité absolue. De ces idées simples, nous concluons rigoureusement toutes les propriétés du nombre et de la forme, jusqu’aux plus fines et aux plus complexes. ”

“ Système de numération. 1. On appelle unité un objet quelconque.
2. Dans un assemblage d'unités, le nombre indique combien il y a de ces unités. Lorsque, par exemple, on dit qu'il y a vingt arbres dans une allée, le nombre est vingt.
Le nombre est une chose essentiellement abstraite plus tard nous en donnerons une définition générale.
5. L'Arithmétique est la science des nombres
4. ”

“ Si le nombre présente des entiers suivis de fractions, comme deux livres, huit sous ; cinq toises, trois pieds, quatre pouces, etc., il s'appelle nombre complexe. Dans le cas contraire, comme deux livres; cinq toises, etc., il est incomplexe.
On dit enfin qu'un nombre est abstrait, lorsqu'il ne désigne aucune espèce d'unités en particulier, comme deux, vingt, mille, etc. Dans le cas contraire, il est concret.
3. La science des nombres s'appelle arithmétique. ”

“ C’est la mesure des grandeurs qui a été la première application de la notion de nombre et en est resté la plus importante. Mesurer une grandeur c’est exprimer au moyen d’un nombre, aussi exactement et aussi simplement que possible, le rapport de cette grandeur à la grandeur choisie comme unité. ”

“ On trouve deux représentations du nombre par la forme dans lesquelles est positif, savoir, qui donnent pour l’expression proposée les valeurs et comme n’est pas représentable par la forme il s’ensuit qu’il n’y a que les deux valeurs que nous venons de trouver. ”

“ On appelle nombre le résultat que l'on obtient en mesurant ou en comptant une grandeur. Or, lorsqu'on mesure une grandeur, il peut arriver : 1 ° qu'elle contienne son unité un nombre exact de fois; 2° qu'elle ne soit qu'une ou plusieurs parties de son unité; 3° qu'elle contienne son unité une ou plusieurs fois avec un reste. De là trois espèces de nombre : le nombre entier, la fraction et le nombre fractionnaire. ”

“ Plusieurs des théorèmes que l’on a coutume d’exposer dans les traités d’arithmétique, s’appuient sur ceux que nous avons présentés ; par exemple, la règle pour reconnaître si un nombre est divisible par ou tout autre nombre. ”

“ Vous trouvez naturel, Messieurs, que la parole vous révèle les mathématiques, bien que vous les possédiez tout entières dans les notions primordiales d'unité, de nombre , d'étendue , de pesanteur : pourquoi vous semblerait-il étrange que la parole vous fit apercevoir aussi les notions d'unité, de nombre, d'étendue, de pesanteur, qui sont la base des mathématiques ? L'un des phénomènes n'est pas plus singulier que l'autre ”

“ Étant données deux formes quelconques qui ont le même déterminant, chercher si elles sont équivalentes ou non, si elles le sont proprement ou improprement, ou des deux manières à-la-fois, ce qui est possible. Quand elles ont des déterminans inégaux, chercher si l’une ne renferme pas l’autre, proprement, improprement, ou des deux manières. Enfin trouver toutes les transformations tant propres qu’impropres de l’une dans l’autre.
2o. Étant donnée une forme quelconque, trouver si un nombre donné peut être représenté par elle, et assigner toutes les représentations. ”

“ Le rapport d'une grandeur à une autre de même nature, est le nombre qui servirait de mesure à la première si la seconde était prise pour unité.
Nous ne nous occuperons, dans ce chapitre, que des rapports entre les grandeurs qui ont une commune mesure contenue un nombre entier de fois dans chacune d'elles. De pareils rapports se nomment commensurables.
207. THÉORÈME. Tout rapport commensurable est égal à une fraction à termes entiers. ”

“ Mais, si une série de points mathématiques échelonnés dans l’espace vide exprime assez bien le processus par lequel nous formons l’idée de nombre, ces points mathématiques ont une tendance à se développer en lignes à mesure que notre attention se détache d’eux, comme s’ils cherchaient à se rejoindre les uns les autres. ”

“ On peut multiplier, diviser, élever aux puissances, etc., sans rien apprendre de nouveau sur la nature du nombre. Et pourtant, si l’on tient à penser clairement, on veut savoir ce que c’est que le nombre. ”

“ Mais cet avantage n'est que secondaire, un autre bien plus important se manifestera à mesure que nous avancerons dans l'étude de l'arithmétique ; nous verrons que dans la solution de la plupart des questions d'arithmétique on opère séparément sur chacune de ces parties au lieu d'opérer immédiatement sur le nombre lui-même.
RÉSUMÉ.
1. Définition des grandeurs. — 2. Les grandeurs mesurables sont seules du ressort des mathématiques. — 3, Définition de l'unité. —4. Définition du nombre ; la pluralité est l'origine la plus simple de l'idée du nombre. ”

“ Définition. — On appelle numération la partie de l'arithmétique qui apprend : 1° à former les nombres, 20 à les nommer, 3° à les écrire. Nous allons nous occuper successivement des trois parties dont se compose la numération.
12. Formation des nombres. — L'unité est un nombre (7) .
Si l'on ajoute l'unité à elle-même, on a un nouveau nombre; si à celui-ci on ajoute l'unité, on a le suivant, et ainsi de suite. Donc pour
avoir un nouveau nombre, il suffit d'ajouter l'unité à un nombre déjà obtenu. ”

“ Mon but est ainsi nettement délimité ; je n'aborderai donc pas les questions, plus philosophiques que mathématiques, que pose la conception de la suite des entiers. Cette notion est considérée par moi comme acquise et parfaitement claire.
ne donne jamais qu'un nombre'fini de notations. Ce nombre pourra être grand; cela dépendra du nombre des symboles, de leur choix plus ou moins heureux, de l'ingéniosité des lois de combinaisons prévues; mais il sera toujours fini. Toute numération s'appliquant à un ensemble infini de nombres est, à certains égards, fictive. ”

“ Dans tout système de numération, un nombre entier se compose d'un multiple du plus petit des nombres supérieurs à la base augmenté de la somme des chiffres de rang impair à partir de la droite et le résultat diminué de la somme des chiffres de rang pair. ”

“ Mais lorsqu’on les a enfin découverts on constate qu’ils sont en petit nombre et qu’ils sont la seule source de tout ce que contiennent les mathématiques pures. Cette constatation, que les mathématiques tout entières découlent nécessairement d’un petit nombre de lois fondamentales, est de nature à rehausser considérablement la beauté intellectuelle de l’ensemble ”

“ On devine tout de suite la conclusion pratique que l'on a dû tirer de ces conceptions : une figure humaine sera parfaite si elle a des proportions qui obéissent à la loi des nombres, et il en sera ainsi si une de ses parties fondamentales est contenue exactement un certain nombre de fois dans les autres. ”

“ Maintenant que nous avons démontré que tout nombre premier de la forme positif ou négatif, est toujours non-résidu d’un nombre premier au moins plus petit que lui, nous allons passer à l’examen exact et général de la condition nécessaire pour qu’un nombre premier soit résidu ou non-résidu d’un autre. ”

“ Le nombre qui se manifeste dans les objets extérieurs et se rapporte à celui qui est en toi est un acte des nombres essentiels ou selon les nombres essentiels, parce qu’en nombrant tu produis un nombre, et que par cet acte tu engendres la quantité, comme en marchant tu engendres le mouvement. ”

“ La loi du nombre, qu’il observe avec une telle aisance qu’on la dirait innée en lui, jaillissant du sol même avec les fûts qui s’élancent, arrêtant leur vol vertical entre le stylobate et l’architrave, les suspendant par le fronton dans une sorte de bercement immobile, la loi du nombre le met sans effort à l’échelle de l’univers matériel et spirituel dont il est le résumé. ”

“ Pourquoi chercher à rire des anciens qui regardaient les nombres comme le principe universel ? L’étendue, les forces, la durée, toutes les propriétés des choses naturelles ne suivent-elles pas les lois des nombres ? Ce qui est à la fois réel et mystérieux n’est-il pas ce qui nous avance le plus dans la profondeur des secrets de la nature ? ”

“ On trouve toutes les représentations d'un nombre donné quand on connaît tous les idéaux dont la norme est le nombre donné, mais tous ces idéaux ne donnent pas naissance à une représentation du nombre. ”

“ Le mérite des modernes, en ce qui concerne ces phénomènes, c'est de les avoir pris au sérieux et d'avoir cherché à les étendre et à en faire des applications utiles, au lieu de les ranger, comme avaient fait les anciens, au nombre des faits curieux, à la vérité, mais n'ayant ni portée scientifique, ni valeur utilisable. ”

“ En termes d'aritmétique, quand on dit trois louis, dix homes, en un mot, quand on aplique le nombre à quelque sujet particulier, ce nombre est apelé concret, au lieu que si l'on dit deux & deux font quatre, ce font là des nom- bres abstraits, qui ne font unis à aucun sujet particulier. On confidère alors par abstraction le nombre en lui même, ou plutot l'idée de nombre que nous avons aquise par l'usage de la vie.
Tous les objets qui nous environent & dont nous recevons des impressions, font autant d'êtres particuliers que les Philosophes apèlent des individus. ”