Émile Borel

“ Il n’est pas inutile de faire observer que si, pour une constante physique (densité, indice de réfraction, etc.) la mesure fournit la valeur 1,41421, le physicien ne songera guère à proposer comme valeur de cette constante. Pourquoi ? Simplement parce que, dans le tableau des valeurs numériques des constantes analogues, calculées toutes sous forme de fraction décimale, il y aurait plus d’inconvénients que d’avantages à écrire un seul des nombres qui y figurent sous cette forme irrationnelle. ”

“ Les deux conditions d’exactitude et de simplicité sont parfois difficilement conciliables : on sacrifie alors l’une ou l’autre suivant les conditions pratiques dans lesquelles on se trouve. Si l’on obtient, par exemple, à la suite d’une série de mesures et de calculs, pour la valeur du rapport des diamètres des deux roues :
on adoptera plus volontiers la fraction simple que la fraction compliquée même si l’on a des raisons de croire que cette dernière est plus exacte. ”

“ Dans d’autres questions, au contraire, des lois connues permettent de mettre expérimentalement en évidence des nombres rationnels simples, les racines carrées de nombres entiers, le nombre etc. ; la liaison est alors intime entre le continu mathématique et le continu physique : la notion arithmétique du nombre intervient véritablement dans l’étude de la nature, et non pas seulement la notion empirique de mesure approchée. ”

“ Contentons-nous donc de constater cette vérité qui pouvait paraître évidente à priori : le continu physique se distingue du continu mathématique en ce que, l’expérience ne permettant jamais d’atteindre qu’une approximation limitée, une certaine différence minimum est nécessaire pour que l’on puisse discerner deux éléments très voisins [6] . ”

“ Ceci entraîne la conséquence importante suivante : l’abscisse de tout point peut, à une approximation aussi grande que l’on veut, c’est-à-dire avec une erreur aussi petite que l’on veut, être représentée par un nombre rationnel.
2o De plus, cet ensemble est énumérable. Ceci veut dire que l’on peut ranger tous les nombres rationnels en une suite linéaire, de telle manière que chacun d’eux occupe un rang bien déterminé ; on peut, par exemple, convenir d’écrire d’abord les fractions positives pour lesquelles la somme du numérateur et du dénominateur a la plus petite valeur ”

“ Cette définition ne saurait conduire à aucune contradiction, car si une expérience faite avec soin prouve que A est inférieur à C, tandis que B, dans les mêmes conditions, ne se distingue pas de C, c’est là une raison expérimentale suffisante pour affirmer que A est inférieur à B.
Si l’on mesure une grandeur par comparaison avec un étalon fixe, l’on obtient un certain nombre de décimales sûrement exactes, suivies d’une dernière décimale sur laquelle plane quelque incertitude ”

“ On ne peut donc avoir une valeur approchée à un dix-millionième près, par exemple, que si les termes p et q de la fraction dépassent 1000. Il est au contraire évident que les nombres compliqués sont parfois approchés de très près par des nombres très simples ; par exemple le nombre
est visiblement égal à , avec une erreur qui porte seulement sur la vingtième décimale. ”

“ De plus, lorsque l’on a à comparer les grandeurs de plusieurs fractions, il est commode qu’elles aient le même dénominateur, condition facilement réalisée si elles ont la forme décimale. Aussi arrive-t-on plus facilement à avoir l’appréciation instinctive des grandeurs relatives lorsque l’on se sert de l’échelle décimale ”

“ C’est cet ensemble des nombres effectivement utilisés qui constitue le continu pratique des mathématiciens, le seul dont ils se servent réellement. Le continu théorique non énumérable est une conception métaphysique dont nous n’avons pas à nous occuper ici. ”

“ On peut la formuler ainsi : les nombres simples ne se laissent pas approcher par d’autres nombres simples. Précisons par un exemple le sens de cet énoncé, un peu vague dans sa généralité. On peut rechercher une fraction ordinaire qui soit égale à la racine carré d’un nombre entier donné : à , par exemple, ou à . Si l’on désigne la fraction cherchée par , on démontre facilement que l’erreur commise est environ égale à , à un facteur près dont la valeur est limitée en fonction des données ; par exemple, s’il s’agit de , l’erreur est sûrement supérieure à . ”