“ Nous avons mis un zéro au dividende, pour faire faire trois pas à la virgule comme dans le diviseur.
(23) . Si le nombre à diviser a déjà des décimales et qu'il en donne au quotient, par les zéros on lui en fait donner un plus grand nombre si l'on veut. Dans l'avant dernière opération, où le reste est 783, avec un zéro, deux zéros, nous obtiendrons encore des décimales à la suite des 13 centièmes du quotient. ”

“ Quant à la multiplication, le multiplicateur est toujours abstrait puisque c'est toujours un nombre de fois. Le produit est de même nature que le multiplicande puisqu'il en est composé. Dans la division, comme un des facteurs doit être de même nature que le produit, il s'ensuit que le quotient est de même nature que le dividende si le diviseur ne l'est pas ”

“ Ce que nous venons de dire renferme la numération parlée d'une manière complète. Mais on peut faire quelques remarques utiles pour aider la mémoire. On peut remarquer la répétition des mots; dixaine, centaine qui revient périodiquement après lès mots unité, mille, million, billion, etc. Ces derniers mots qui paraissent de trois en trois rangs, forment une espèce de cadre de la numération qui aide l'esprit à comprendre les grands
nombres, parce que cela les partage en tranches de trois ordres : la tranche des unités, la tranche des mille, la tranche des millions, etc. ”

“ On le connaît à ce que le produit partiel que l'on veut diviser est plus petit que le diviseur : ce qui signifie qu'il n'y avait pas de chiffre au quotient à cette place , quand on a fait la multiplication : car il aurait donné un nombre au moins égal au diviseur: il y avait donc zéro, qu'il ne faut pas manquer de mettre.
(17) . Si le reste était plus grand que le diviseur on aurait mis un chiffre trop faible au quotient.
(18) . Que l'on ait partagé 100 fr. à 20 pauvres, par portions égales , il est évident que la part d'un pauvre répétée 20 fois ( ou multipliée) , ferait la somme partagée ”

“ Dans un nombre décimal 34, 852 on pourrait aussi convertir les 54 unités en décimales, ce qui ferait trente-quatre mille huit cent trente-deux millièmes. En général on peut toujours convertir ce qui précède un rang, un unités de ce rang.
Les unités décimales vont en décroissant, et les unités entières, c'est-à-dire celles à gauche de la virgule vont en croissant à partir de la virgule. Mais si l'on part d'un bout du nombre , tout croît en allant à gauche et tout décroît en allant à droite. ”

“ Puisque les nouvelles mesures sont subdivisées en décimales, on n'a pas besoin de donner des règles particulières pour les opérations à effectuer sur les nombres provenant de ces nouvelles mesures ; le calcul des nombres décimaux s'y applique naturellement.
Fractions.
26. Une fraction est une ou plusieurs parties égales dont un certain nombre fait l'unité. Le nombre qui exprime combien il y a de parties s'appelle numérateur, et le nombre qui exprime combien il en faut pour faire l'unité s'appelle dénominateur. ”

“ Si le multiplicateur a plusieurs chiffres, quand on multiplie par le second, attendu qu'il est dix fois plus grand que s'il était au premier rang (4) , son produit doit être dix fois plus grand (12) , et pour le rendre dix fois plus grand on l'avance tout d'un rang. Pour un troisième chiffre, on fait de même et l'on ajoute ensuite les produits partiels.
14. Le produit de plusieurs facteurs ne change pas dans quelque ordre qu'on fasse la multiplication. ”

“ Un nombre qui divise exactement un autre nombre est appelé diviseur ou sous-multiple ou partie aliquote de ce nombre, et le nombre est appelé multiple de ce diviseur , et quand un nombre divise silmutanément deux autres nombres, comme ci-dessus 2 qui a divisé 12 et 18, il est appelé commun diviseur de ces nombres; il est appelé plus grand commun diviseur, quand il est réellement le plus grand. ”

“ Nous remarquerons qu'un nombre ne peut en diviser un autre qu'autant que ses facteurs premiers se trouvent tous dedans. Car si le diviseur avait des facteurs premiers qui ne fussent pas dans le dividende ; en le multipliant par le quotient, on ne pourrait obtenir le dividende (42) . ”

“ On compte par dixaines comme on a compté par unités en disant : une dixaine, deux dixaine, trois dixaines, etc. Arrrivé à dix dixaines on s'arrête, on regarde le tout comme une nouvelle unité à laquelle on impose le nom de centaine; et l'on compté par centaines comme on a compté par unités en disant : une centaine, deux centaines, etc. Arrivé à dix centaines on s'arrête, on regarde le tout comme une nouvelle unité à laquelle on impose le nom de mille, et l'on compte par mille comme on a compté par unités, etc. ”

“ Si le chiffre inférieur est plus fort que le supérieur, on emprunte au chiffre suivant une unité qui en vaut dix de l'ordre où l'on est, on a soin de compter un de moins au chiffre qui a prêté , ou un de plus au chiffre inférieur, ce qui est plus commode dans la pratique. ”

“ Quand on faitune division de nombres entiers, on peut tirer parti du reste par les décimales : car en ajoutant un zéro, deux zéros , on convertit le dividende ou le reste en dixièmes, centièmes. Soit à diviser 832 unités par 53 unités. J'obtiens le nombre de décimales que je veux, comme l'on voit, si la division ne se termine pas, en ajoutant des zéros. ”

“ Tout nombre peut se décomposer en facteurs premiers, en essayant de le diviser successivement par les nombres premiers 2, 3, etc.
Car s'il résiste à toutes ces divisions il sera premier lui-même.
42. Un nombre donné, 90 par exemple, qui se décompose en 2X3X3X5, ne peut pas se décomposer en d'autres facteurs premiers. (Voir la démonstration dans les leçons d'arithmétique de M. Faure.) 43. ”

“ L'unité de surface est la toise quarrée pour les surfaces peu étendues. Pour les champs c'est l'arpent, qui se divise en 100 perthes. La perche de Paris est un carré de 18 pieds de côté >- sa surface à 324 pieds. La perche des eaux et forêts est un quarré de 22 pieds de côté , et 484 pieds quarrés de surface.
L'unité de volume ou de solidité est la toise cube, le pied cube. Pour les grains c'est le sétier, qui se divise en 12 boisseaux , et le boisseau
en 16 litrons. Pour les liquides c'est le muid : le muid de Paris, vaut 288 pintes. Le litron renferme 40 pouces cub. ”

“ Ensuite on multiplie les décimales de pieds par 12 ce qui en fera sortir des unités de pouce, etc.
Si dans le nombre de toises à convertir il y a des pieds, des pouces, etc., il faut avoir non seulement la valeur d'une toise en mètres , mais la valeur d'un pied, d'un pouce en mètres, pour convertir les pieds et les pouces. ”

“ A la première place ils valent des unités simples, c'est-à-dire telles que nous les
avons considérées d'abord; à la seconde à gauche, des unités du second ordre, ou dix fois plus grandes que celles du premier ; à la troisième, des unités du troisième ordre, ou dix fois plus grandes que celles du second, etc. Ces sortes d'unités s'appellent : unités, dixaines, centaines, mille, dixaines de mille. etc. Quand les chiffres marquent eux-même les places, il n'est pas nécessaire d'employer des zéros. ”

“ Pour avoir le dénominateur, il n'y a qu'à voir combien il faut de lignes pour faire une toise , ce qui se fait en convertisant une toise en lignes.
57. Réciproquement on peut convertir une fraction, de toises par exemple; en un nombre complexe. Il faut pour cela diviser le numérateur par le dénominateur pour en extraire les unités , qui sont des toises; on convertira le reste en pieds en le multipliant par 6 et l'on divisera encore par le diviseur, ce qui donnera des pieds , en-
suite par 12 et l'on aura des pouces ”

“ C'est par le bon sens, la réflection que l'on fait la première de ces choses, et c'est par les règles de l'arithmétique que l'on fait la seconde.
(9) . La preuve de l'addition suivante :
se fait en disant: 4, If, 16, 22 de 23, il reste 1 ; 9, 12, 16 de 17, en joignant au 7 la dixaine qui est restée de la colonne précédente, de 17 dis-je, il reste 1. Ainsi de suite- On peut aussi au lieu de mettre des zéros sous les dixaines que la
soustraction détruit, les barrer comme on voit ci-contre. ”

“ La charpente offre une foule de triangles rectangles qu'il sera très utile de calculer, comme : trouver la longueur des chevrons d'un toit, quand on connaît la hauteur du toit et la largeur du bâtiment. ”

“ L'unité monétaire est la livre tournois, qui se divise en 20 sous , le sou en 12 deniers.
55 On appelle nombre complexe un nombre composé de différentes sortes d'unités, comme 15 toi- 3Pl 5po- 7ue-.
56. On peut réduire un nombre complexe en fraction : dans le nombre ci-dessus, on convertit les toises en pieds, en multipliant par 6, attendu que chaque toise vaut 6 pieds; on ajoute les trois pieds, et on convertit les pieds en pouces en multipliant par 12, ainsi de suite jusques aux lignes; ce qui fera le numérateur de la fraction. ”

“ La pinte est l'unité ancienne pour les liquides, le litre est la nouvelle. La pinte vaut 46 P° C- 95, il faut multiplier ce nombre de pouces par la valeur du pouce en mètres cubes , et pour l'avoir en litres multiplier par 1000, car il y a 1000 litres dans un mètre cube. Pour avoir le litre en pinte et décimale de pinte, il faut, com- me ci-dessus, résoudre convenablement l'égalitét On trouve I pint.=0 litre,g3 I 51 8 18 1litre— 1pinte,073^688.
Pour les grains, les unités anciennes sont le sétier, qui vaut 12 boisseaux; le boisseau qui vaut 16 litrons. ”

“ J'écris les 8 unités du premier ordre à la première place , et je porte les 2 unités du second ordre à la colonne du second ordre , en disant 2, 4, 10, 14, 16; je pose 6 et je retiens un, ainsi de suite. (8) . Un banquier avait 3470857 fr. dans sa caisse; il en tire une somme de 556273 fr. Combien y reste-t-il? Je vois que c'est une soustraction à faire.
Je dis 3 otés de 7, ou plus brièvement, 5 de
7, il reste 4 ”

“ Le maître doit exercer sur la partie quimanque.
Je dis: 4 fois 6, 24 , je pose 4 et retiens 2; 4 fois 5 , 20 et 2 de retenue 22 , je pose 2 et retiens 2, ainsi de suite. Quand il s'agit de multiplier par le second chiffre 3, je fais de même en avançant son produit, ainsi de suite ; après quoi je fais l'addition.
Trouver le prix de 347 mètres de drap , à raison de 17 francs le mètre. C'est une multiplication ; car il faut répéter 17 francs autant de fois qu'il y a de mètres. Indiquons cette opération: prix total = 17 xr347 Ici 17 est naturellement le multiplicande et devrait être mis dessus ”

“ S'il y 71 ce sera 7 fois 3X9 plus grand ou 3X9 ! ainsi de suite : on ar- rive Ce qui se réduit à cette rive à 3X9X5X9 • Ce qui se réduit à cette règle bien simple : mettez au numérateur tous les premiers membres, et au dénominateur tous les seconds. Avant de faire la division on fera les simplifications d'usage, et l'on obtiendra le quotient en décimales ou autrement, si l'on veut ; ou bien on le laissera en fraction. Si une des égalités n'avait que 1 d'un côté cela n'occasionnerait aucune difficulté au contraire le calcul en serait plus simple. ”

“ Et pouravoir la valeur d'une seule toise en mètres je rends le premier membre 5150740 fois plus petit. Quand on a la valeur d'une toise,. celle du pied, du pouce s'en tirent en prenant le sixième le douxième. ”

“ La racine de 44 est de 6* Pour avoir les unités il faudrait le produit du double des dixaines par les unités , mais il est masqué par le quarré des dixaines; je forme donc, d'une manière exacte , le quarré des dixaines , qui est 36 et je le retranche. Le double produit est maintenant le premier à gauche; vers la droite il va jusques aux dixaines, car des dixaines multipliées par des unités donnent des dixaines: il
est donc dans 88 ”

“ Pour convertir un nombre de mètres, 67 par exemple , en toises, il suffit également d'avoir un mètre en toises et décimales de toise. Or Imetre=o t., 513074. On prendra cette valeur 67 fois.
63. Remarquons que cette conversion donne des décimales au résultat. Si c'est en mètres que l'on convertit, il convient de laisser les décimales. Si c'est en toises quel'on convertit les déci- males de toise ne conviennent pas dans le résul- tat. Pour les changer en pieds, pouces , on les
multiplie par 6, ce qui les change en décimales de pied, et les unités qui en sortent sont donc des pieds. ”

“ La conversion des autres mesures se fait avec la même facilité. Il reste donc seulement à dire de qu'elle manière on a eu la toise en mètres, et le mètre en toises et comment on aurait les autres mesures. Le voici : 64. Le quart du méridien terrestre est dix millions de mètres, il est aussi 5130740 toises, car c'est avec la toise qu'il a été mesuré. Donc IOOQOOOO"1 = 5r3o74otoi- Pour avoir la valeur d'un seul mètre en toises, je rends le second membre de cette égalité dix millions de fois plus
petit ”