N Dessez

“ L'opération que nous venons de faire nous porte à conclure qu'en général, une fraction n'est autre chose que l'expression du quotient d'une division dont le numérateur est le dividende d le dénominateur le diviseur. ”

“ La soustraction des nombres décimaux se fait aussi comme celle des nombres entiers, seulement on écrit à la droite de celui qui a le moins de décimales, assez de zéros pour qu'il en ait autant que l'autre; puis on place à la différence la virgule au rang qu'elle occupe dans les nombres proposés, car la différence doit être de même nature que ces nombres. ”

“ PREUVE DES QUATRE OPÉRATIONS.
7. Une preuve est une seconde opération que l'on fait pour s'assurer de l'exactitude de la première.
Preuve de l'Addition.
Pour faire la preuve de l'addition , on additionne à partir de la gauche, et on retranche la somme de chaque colonne de la partie qui lui correspond dans la somme totale, ayant soin d'écrire tous les restes au-dessous, et de les considérer, par la pensée, comme dizaines de l'ordre du chiffre suivant, pour les joindre aux unités de cet ordre dans la somme totale. ”

“ Si l'un des facteurs, ou tous les deux ensemble sont terminés par des zéros, on fait ordinairement l'opération sans faire attention à ces zéros, et lorsqu'on a obtenu le produit des chiffres significatifs, on écrit à sa droite tous les zéros qu'on a omis.
Il est facile de voir qu'en opérant ainsi, on obtient toujours le véritable produit, car en faisant abstraction des zéros, on répète dix fois moins un nombre mille fois plus petit. Le produit obtenu d'abord est donc dix mille fois trop petit ”

“ Évaluer une fraction, c'est chercher sa valeu ren mesure connue.
Pour cela, il faut examiner de quelle espèce d'unité de mesure la fraction proposée est une partie; puis on considère son numérateur comme exprimant des unités de cette espèce ; on le multiplie ensuite par le nombre d'unités de l'espèce immédiatement inférieure qui entre dans l'unité que l'on considère, et en divisant le produit par le dénominateur, le quotient exprime la valeur de la fraction en mesure connue.
Supposons qu'on demande ce que valent les 3/4 d'une toise; on considère le numérateur 3 comme exprimant trois toises ”

“ Il arrive très souvent que, dans une soustraction, le nombre inférieur renferme des chiffres qui surpassent en valeur leurs correspondans du nombre
supérieur: alors comme dans ce cas, on ne pourrait retrancher un plus grand nombre d'un plus petit , on rend cette soustraction possible en augmentant de dix unités de son ordre, le chiffre supérieur trop faible, et en augmentant en même tems d'une unité, le chiffre inférieur suivant. Cela est fondé sur ce que la différence entre deux nombres ne change pas de valeur quand ces nombres augmentent de la même quantité. ”

“ Cas particuliers. Toutes les fois qu'un dividende cst terminé par des zéros et qu'il sagit de le diviser par 10, 100, 1 000, etc. ; on obtient le quotient en supprimant un ou deux, ou trois zéros, etc. ; en effet, chaque chiffre du dividende se trouve alors occuper un, ou deux, ou trois rangs , etc. , plus avancés vers la droite, et en vertu du système de numération, ces chiffres ont une valeur relative , dix , cent, mille, etc. ”

“ Les nombres peuvent être envisagés sous detit, points de vue : ils sont concrets, quand ils se rapportent à une espèce d'unité déterminée, comme 25 francs, 56 aunes, etc. ; ils sont abstraits quand ils ne se rapportent à aucune espèce d'unité déterminée, comme 25, 36, etc.
DE LA NUMÉRATION.
a. La numération est l'art de former tous les nombres possibles, et pour cela on emploie dix caractères qu'on nomme chiffres et qui.sont : i, 2, 3 , 4, 5, 6y 7, 8,9, o (r) . On les énonce un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, zéro ”

“ Dans une multiplication , on peut tou- jours intervertir l'ordre des facteurs, c'est-à-dire, qu'on peut mettre le multiplicande à la place du multiplicateur et réciproquement; car si par exemple on avait à multiplier 4 par 5, l'opération reviendra à ajouter 4, trois fois à lui-même, ou bien ajouter 3, quatre fois à lui-même, ce qui est la même chose.
LA DIVISION.
6. La division est une opération par laquelle or* cherche combien un nombre appelé dividende en contient un autre appelé diviseur ; le résultat qu'on obtient se nomme quotient. ”

“ La preuve de la soustraction se fait en addition nant la différence trouvée avec le plus petit des nombres, et si la première opération a été bien faite, on doit avoir pour somme le plus grand : en effet, la différence n'est autre chose que ce qui manque au plus petit nombre pour égaler le grand.
Preuves de la Multiplication et de la Division, La multiplication et la divisio.n se servent réciproquement de preuves. Celle de la multiplication
se fait en divisant le produit par un des facteurs, et si la première opération a été bien faite, on doit retrouver l'autre facteur au quotient. ”

“ Mais avant, nous devons nous occuper de quelques calculs relatifs aux anciennes unités de mesures.
07. Nous avons dit que la toise valait 6 pieds, que le pied valait 12 pouces, et que le pouce valait 12 lignes. Avec un peu d'attention, on voit qu'il est facile d'évaluer toute la toise en lignes: en effet, elle doit contenir 6 fois 12 pouces ou 72 pouces, et 72 fois 12 lignes ou 864 lignes.
De même, puisque la livre vaut 16 onces, que l'once vaut 8 gros et que le gros vaut 72 grains, la livre vaudra 16 fois 8 gros ou 128 gros, et 128 fois 72 grains ou 9216 grains. ”

“ En le traitant comme cidessus, on trouve que 9 onces 4 gros 18 grains valent 5490 grains, et en divisant ce résultat par les 9216 grains contenus dans la livre, et en poussant le quotient à trois chiffres, on a 596; donc le nombre complexe est équivalent à 267 livres 596 millièmes.
On voit donc qu'il est toujours facile de convertir un nombre complexe quelconque en un nombre décimal.
42. Ce que nous venons de dire étant bien compris, on peut aisément obtenir tous les résultats auxquels on tend dans les questions qui exigent des calculs de nombres complexes. ”

“ Premier exemple. Déterminer combien 28 toises 5 pieds 4 pouces font en mètres. On réduira ce nombre en lignes (37) , et on divisera le résultat 32080 lignes par 443,296, ce dernier nombre étant les lignes contenues dans le mètre. La division se fera en écrivant d'abord trois zéros à la droite du dividende, et en supprimant la virgule du diviseur (31) , et le quotient exprimera en mètres la valeur que l'on cherche. ”

“ Sous ce point de vue, il sera très utile aux écoles primaires : les écoliers y trouveront un langage adapté à leur jeune intelligence, et les maîtres un moyen simple d'obtenir des. succès dans leur enseignement. ”

“ On distribue 252 centimes à un certain nombre de pauvres, hommes, femmes et enfans; les hommes reçoivent chacun 12 centimes, les femmes 6 centimes, et les enfans 3 centimes. Le nombre des femmes est double de celui des hommes, moins 2 ”

“ En multipliant d'abord 8 par 7 on obtient 56 unités, ou 5 dizaines et 6 unités, on pose les 6 unités au-dessous, et on retient les 5 dizaines pour les joindre au produit 35 de 5 par 7, ce qui donne 4o dizaines ou 4 centaines; on pose zéro à la gauche de 6 et on retient les 4 centaines pour les joindre au produit 21 de 3 par 7, ce qui donne 25 centaines que Fon pose à la gauche du zéro, parce
(I) Nous supposons que les élèves ont bien appris la Table de multiplication ci-contre,
qu'il n'y a plus de chiffre à multiplier dans le mul- tiplicande. ”

“ PROBLÊMES SUR LA MULTIPLICATION.
Sixième problême. On a fait faire 9859 mètres 57 centimètres d'ouvrage, à raison de 37 fr. le mè- tre. Combien a-t-on dépensé en tout?
Solution. Puisqu'un seul mètre coûte 37 fr., il est clair que 9859 mètres 57 centimètres coûteront 9859,57 fois 57 fr. ; c'est-à-dire que le résul-
fat s'obtiendra en multipliaot ces deux nombres entr'eux. On trouve 364804 fr. 09 c.
Septième problême. Le méridien terrestro est un cercle qui contient 360 parties égales que l'on nomme degrés; chaque degré vaut 25 lieues de 2280 toises 33 centièmes chacune. ”

“ Donc 12 livres 3 onces 4 gros équivalent à 6365 grammes, environ. Or, comme il faut 1 0 grammes pour un décagramme, 10 décagrammes pour un hectogramme, 10 hectogrammes pour un kilogramme (35) , le nombre trouvé pourra s'énoncer 6 kilogrammes, 3 hectogrammes, 6 décagrammes, 3 grammes, ou mieux 63 hectogrammes, 63 grammes. ”