“ L'unité, ajoutée à elle même, donne le nombre deux; celui-ci, augmenté d'une unité, forme le nombre trois; ainsi de suite jusqu'à neuf. Neuf, augmenté d'une unité , forme un second ordre d'unités qu'on appelle dizaines; et comme on a compté depuis une unité jusqu'à neuf unités, on compte aussi depuis une dizaine jusqu'à neuf dizaines. ”

“ MULTIPLICATION DES NOMBRES DÉCIMAUX D. Comment fait-on la multiplication des nombres décimaux ?
R. La multiplication des nombres décimaux se fait comme celle des nombres entiers. On opère sans avoir égard à la virgule ; mais alors on sépare par une virgule, sur la droite du produit total, autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans les deux facteurs.
Exemple sur les nombres décimaux Un individu a fait 365 mètres 245 millimètres d'un certain ouvrage , à 2 fr. 60 c. le mètre. Combien doit-il recevoir? ”

“ Qu'est-ce qu'un nombre simple ? c' R. Un nombre est simple lorsqu'il ne renferme qu'un chiffre. Exemple : 8.
D. Qu'est-ce qu'un nombre composé?
R. Un nombre est composé quand il renferme plusieurs chiffres. Exemple : 205.
D. Quand est-ce qu'un nombre est abstrait ?
R. Un nombre est abstrait quand on ne désigne,
pas l'espèce des unités qu'il renferme. ”

“ R. On énonce d'abord le nombre entier , ensuite les fractions décimales , en donnant au dernier chiffre le nom de la dernière fraction énoncée.
Par exemple , si j'écris le nombre suivant : 45,408, ce nombre doit s'énoncer aipsi : 45 unités 408 millièmes.
D. Si l'on mettait des zéros à la suite des nombres décimaux, changerait-on la valeur de res nombres ?
R. Non ; les zéros placés à la droite d'un nombre décimal n'en changent pas la valeur. Ainsi, 8 francs 6 décimes est la même chose que 8 francs 60 centimes. ”

“ R. Il suffit d'effacer les zéros finals. Par exemple, 2 est dix fois plus petit que 20; 9 est cent fois plus petit que 900, etc.
D. Par où faut-il commencer pour écrire un nombre à la dictée ?
R. On commence par la gauche, et l'on place successivement les chiffres les uns après les autres , comme on les entend prononcer. Seulement, il faut avoir soin de mettre un zéro à la place des centaines, ou des dizaines, ou des unités , qui pourraient manquer dans le nombre que l'on entend. ”

“ L'effet connu est 15 jours, parce que ce nombre est seul de son espèce. J'établis mes rapports comme il suit , en examinant s'ils sont directs ou inverses,
1er rapport : 15 : 11 2e — 11 : 12 3e — 990 : 240
Le premier rapport est inverse ; car , moins ils sont d'ouvriers , plus il leur faut de jours. Le deuxième est aussi inverse ; car moins ils travaillent d'heures, plus il leur faut de jours. Le troisième est direct ; car plus on a de mètres à faire , plus il faut de jours; et moins on en a, moins il faut de jours. ”

“ R. Il sert à remplacer les unités qui manqueraient dans quelque ordre , et conserve aux autres chiffres le rang qu'ils doivent occuper. Ainsi, pour écrire six cent quatre, on pose un 6, un 0 et un 4 (604) .
On met un zéro à la place des dizaines, pour que le 6 se trouve au rang des centaines.e D. Si l'on mettait un zéro à la droite d'un nombrj entier, changerait-on la valeur de ce nombre f R. Oui ; on rendrait le nombre entier dix fois plus grand. Ainsi, pour rendre un nombre dix fois, cent fois, mille fois plus grand, il suffit d'écrire à sa droite un, deux ou trois zéros. ”

“ R. Un nombre est un assemblage d'unités de même espèce.
D. Qu'est-ce que l'Yi, ilé R. Ce qui sert de terme de comparaison à toutes les quantités de même espèce , s'appelle unité.
Par exemple, dans 12 mètres, c'est le mètre qui est l'unité; dans 8 francs, le franc est l'unité; dans 10 ares, l'are est l'unité. ”

“ R. C'est l'art de représenter les nombres par des chiffres.
D. Combien les chiffres ont-ils de valeurs?
R. Deux : la valeur propre ou absolue , et la valeur relative ou locale. --D. Qu'est-ce que la valeur propre des chiffres ?
R. C'est celle qu'ils ont par eux-mêmes.
D. Qu'est-ce que la valeur relative ou locale f R. C'est celle que leur donne le rang qu'ils occupent. Dans 435, par exemple, la valeur propre du premier chiffre à gauche est 4 , et sa valeur relative 4 centaines ou 4 cents. La valeur propre du second cniffre est 3 , et sa valeur relative est 3 dizaines , c'est-à-dire 30. ”

“ R. C'est faire en sorte que, sans changer de valeur, elles expriment des parties d'unités de même grandeur.
ADDITION DES FRACTIONS
D. Comment fait-on l'addition des fractions ?
R. Si les fractions proposées n'ont pas toutes le même dénominateur, il faut les y réduire. Lorsque cette réduction est faite , on fait la somme des numérateurs et l'on donne à cette somme le dénomi-
nateur commun. Il faut chercher ensuite s'il y a des
unités dans le total ; ce qui arrive toujours lorsquei le numérateur est plus fort que le dénominateur.! ”

“ On peut aussi faire la règle de trois composée par la méthode de l'unité, comme nous allons le faire. Proposons la même question que précédemment : - - r
11 ouvriers travaillant 15 jours , et 12 heures par jour, ont fait 960 mètres d'ouvrage. Combien faudra-t-il que 15 ouvriers emploient de jours, de 11 heures par jour, pour faire 240 mètres ? ”

“ C'est ainsi que l'on obtient le premier produit partie i En multipliant les uns après les autres les chiffres du multiplicande par les dizaines du multiplicateur |3t en opérant comme on a fait avec le chiffre des unités , on obtient un second produit partiel; mais l faut aligner le premier chiffre à droite avec le chiffre à l'aide duquel on multiplie. ”

“ S'il n'y avait qu'un mètre , il faudrait 960 fois moins de jours, ou 15 X 11 12 - Mais comme il y ue Jours, ou : 15 X 11 X 960 aIS comme 1 y a 240 mètres à faire, il faudra 240 fois plus de jours, 1 X 11 X 12 X 240
°U~7l5X 11 X 960 = 3 Jours PREUVE DE LA RÈGLE DE TROIS COMPOSÉE D. Comment fait-on la règle de trois composée, lorsqu'on a un reste ?
R. La manière la plus simple pour faire la preuve de cette règle lorsqu'on a un reste , c'est de mettre le dividende et le diviseur sous la forme de fractions, et d'établir sa preuve en faisant le même rai-
sonnement que pour l'opération. ”

“ Combien 18 en ferontils pendant le même temps ?
Pour avoir plus de facilité d'établir sa règle, on dispose les nombres ainsi qu'il suit : 12 - 60 18 — x Par le raisonnement, on dit : si 12 ouvriers font 60 mètres , un ouvrier, au lieu de 12, en fera 12 fois 00 moins ou et 18 ouvriers 18 fois plus, ou 60 X 18 1.2 L'opération ainsi établie , on simpiifie : 12 L'opération ainsi établie , on simplifie les nombres du dessus de la ligne et ceux du dessous par un même nombre.
Ici on prend le douzième de 60 et le douzième
de 12. ”

“ On divise 425 par le nombre 600 obtenu des litres et le quotient, 0 fr. 75 c., prix demandé. ',1 Le même procédé sert à déterminer un terme moyen entre plusieurs résultais différents. Par exemple, si on a mesuré trois fois la superficie d'un terrain, et que l'on ait trouvé la première fois 825 ares, la deuxième fois 824 ares 60 centiares, la troisième fois 826 ares 15 centiares , en faisant la
somme 2475 ares 75 centiares , des trois nombres, on aura pour mesure moyenne le tiers de cette somme , ou 8ïi5 ares 25 centiares. ”

“ La troisième fraction, je l'ai posée telle qu'elle était, puisque 18 en est le dénominateur commun.
D. Lorsquil ne peut pas y avoir de dénominateur commun, comment fait-on pour réduire les fractions au même dénominateur ?
R. On multiplie les deux termes de chaque fraction par les dénominateurs de toutes les autres.
EXEMPLE. Réduire au même dénominateur les fractions suivantes : - 2 - 4 6 ¡l'actIons swvantes: 3 5 7
Pour les réduire , il faut multiplier les deux termes de la première par 5x7 ou 35 ”

“ Combien y a-t-il de mètres carrés dans 548 superficies dont chacune contient 805 mètres 35 décimètres carrés ?
5. Si 25 pièces de terre contiennent chacune 35 hectares 8 ares, combien contiennent-elles en totalité?
6. Quel est le produit de 648 mètres 35 centi- mètres cubes par 58 unités?
7. Un entrepreneur a fourni 4658 volumes de pierres. Combien lui doit-ou de mètres cubes si chaque volume en contient 105 décimètres cubes?
8. 45 ouvriers ont scié dans le courant d'un hiver chacun 689 stères 5 décistères de bois de chauffage. ”

“ R. Il n'en a pas ; mais on dit 10, 30, 50, etc., mètres cubes.
D. Quels sont ses. sous-multiples f R. 1° Le décimètre cube, qui est un cube d'un décimètre de côté; il en faut 1,000 pour un mètre cube ; 20 Le centimètre cube , qui est un cune d'un centimètre de côté; il en faut 1,000 pour un décimètre cube, et 1 million pour un mètre cube il
30 Le millimètre eulie, qui est un cube d'un millimètre de côté ”

“ R. On tire d'abord une ligne horizontale comme il suit —————— ; puis, en allant de gauche à droite, on pose sur une même ligne l'effet connu. A la droite de l'effet connu, on met le signe multiplié par (X) . On écrit toujours le plus au-dessus de la ligne, et le moins au-dessous. Les nombres du dessus se prennent pour dividendes , et ceux du dessous pour diviseurs.
PROBLÈME. 12 ouvriers ont fait 60 mètres d'ouvrage dans un certain temps. ”

“ REMAnQuE. S'il fallait déduire le change sur la somme , on emploierait les mêmes moyens que pour l'escompte.
PROBLEMES SUR L'ADDITION 1. Un enfant en jouant a perdu , une première fois 26 noix, une deuxième 45, et une troisième 126 ; combien en a-t-il perdu en tout ?
1 2. Une personne doit les quatre sommes suivantes : 265 fr., 832 fr., 585 fr. et 246 fr. ; combien doit-elle en tout?
5. Combien y a-t-il de mètres dans les trois pièces de toile, sachant' que la première en contient 48 mèt., la deuxième 52, et enfin la troisième 85 mètres ? ”

“ Si l'opération est exacte , on doit retrouver l'effet connu. j Autre Exemple, 10 ouvriers ont fait pendant 31 jours 140 mètres d'ouvrage. Combien 16 ouvriers en feront-ils en travaillant 25 jours ? Réponse : 180 mètres. ”

“ Mise du 1 Pl' 400 X <> moisj^ 2400 Mise du 2e' 300 X 0 mois = 2700 Mise du 3<- 000 X 10 mois = 6000 Mise du 4e 700 X 7 mois = 4900 Mise totale : 16000
Maintenant il y a quatre règles de trois à faire.
On met pour chacune : La mise totale est au gain total comme la part de chacun est à x. ”