Nombre décimal

“ Nombre décimal est un nombre entier réduit en parties décimales, & les parties décimales sont les parties dans lesquelles ce nombre est réduit. Pour entendre ceci, il faut savoir que pour la commodité des calculs, on partage l’unité en dix parties, chacun de ces dixièmes en dix parties qui sont des centièmes de l’unité, chaque centième en dix parties, qui sont des millièmes de l’unité, chaque millième en dix parties, & ainsi de suite à l’infini. ”

“ Pour réduire un nombre fractionnaire en nombre décimal, il faut réduire les unités en fraction, et ajouter à la suite du numérateur autant de zéros qu'on veut avoir de décimales au quotient, et le diviser ensuite par le dénominateur. ”

“ Pour écrire un nombre décimal, il faut, après savoir écrit les unités entières et le point de séparation , placer les chiffres décimaux chacun dans le rang qui lui est propre, ayant soin de remplir par des zéros les rangs où il n'y aura rien à exprimer : si le nombre n'a pas d'unités entières, on les remplace encore par zéro que l'on sépare toujours des décimales par le point. ”

“ REMARQUE I. L'ordre des unités exprimées par un chiffre dépendant seulement de son rang à partir de la virgule, on peut, sans changer la valeur d'un nombre décimal, écrire des zéros à sa droite. On pourra ainsi rendre le nombre de ses chiffres décimaux divisible par 3, et le décomposer, dans tous les cas, en unités, millièmes, millionièmes, etc. ”

“ UNITÉS MILLE. MILLIÈMES.
MILLIONS MILLIONIÈMES.
BILLIONS. BILLIONIÈMES.
On voit par l'examen de ce tableau que les nombres décimaux se partagent par tranches comme les nombres entiers ; mais il est impossible, dans la pratique, de suivre cette division. On verra, dans les tableaux suivans, que l'unité décimale varie suivant la quantité de chiffres dont le nombre décimal est composé. Lorsqu'il est composé de quatre chiffres, l'unité est des dix-millièmes ”

“ Le nombre 26, 25 devient dix fois plus grand si l'on écrit 262,5, puisque les dixièmes sont devenus des unités, les unités des dizaines, etc.
23. D. Que faut-il faire pour rendre un nombre décimal dix, cent, mille fois, etc., plus petit?
R. Pour rendre un nombre décimal 10, 100, 1000 fois plus petit, on déplace la virgule, vers la gauche, d'un rang pour 10, de deux pour 100, de trois pour 1000, etc.
Si la partie entière ne contient pas assez de chiffres pour le déplacement de la virgule, on écrit à sa gauche autant de zéros qu'il est nécessaire, et un de plus pour tenir la place des unités. ”

“ REMARQUE. On peut encore lire les nombres décimaux en considérant la totalité des chiffres comme neformant qu'un seul nombre, abstraction faite de la virgule, et en ajoutant à la fin le nom des parties décimales de la moindre grandeur que renferme le nombre proposé.
EXEMPLE. Le nombre décimal 79,4182 se lira: sept cent nonante-quatre mille cent quatre-vingt-deux dimillièmes.
DÉMONSTRATION. Car une dixaine vaut cent mille dimillièmes; donc les sept dixaines vaudront sept cent mille dimillièmes. De même, une unité simple vaut dix mille dimillièmes ”

“ Tout nombre décimal est équivalent à une fraction ordinaire dont le numérateur est le nombre décimal même, abstractionfaite de la virgule; et dont le dénominateur est l'unité suivie d'autant de zéros qu'ily avait de chiffres décimaux sur la droite de la virgule. ”

“ Pages cernant la conversion d'une nouvelle mesure, exprimée par un nombre décimal, à l'une quelconque des unités multiples ou sous-multiples de son espèce. Le nouveau système de mesures détruit l'ancien. Les opérations élémentaires sur les nombres exprimant des mesures nouvelles sont celles prescrites pour les nombres décimaux abstraits. ”

“ Une fraction décimale est d'autant plus forte qu'il y a moins de chiffres après la virgule, car les parties que ces chiffres représentent expriment une subdivision plus forte de l'unité. Ainsi 0,18 est plus grand que 0,018. En effet, si le 8 est plus fort que le 1 dans sa valeur absolue, dans sa valeur relative il est représentatif d'unités d'un ordre dix fois plus petit.
36. On peut énoncer un nombre décimal de plusieurs manières : Ainsi, l'expression écrite 7,619, peut se prononcer 7 entiers, 6 dixièmes, 1 centième, 9 millièmes. ”

“ Ainsi le nombre décimal 63,645 892 678.
se lira : 63 unités 645 millièmes 892 millionièmes 678 billionièmes.
Remarque II. — On peut encore lire un nombre décimal comme s'il ne renfermait que des unités entières, en lui donnant le nom des décimales du dernier ordre.
Ainsi 3, 45 peut se lire 345 centièmes; car 3 unités égalant 300 centièmes, 3 unités 45 centièmes équivalent, par conséquent, à 345 centièmes.
177. Théorème 1. — Un nombre décimal ne change pas de valeur, soit qu'on écrive ou qu'on efface des zéros sur sa droite. ”

“ Lorsqu'on n'énonce pas de partie entière, on écrit encore la fraction décimale, comme un nombre entier ; puis on place la virgule, de telle sorte encore que le dernier chiffre décimal occupe le rang marqué par l'ordre des unités qu'il représente ”

“ Il suit de ce qui précède, que toute quan- tité décimale, plus grande ou plus petite que l'unité, ayant un dernier chiffre décimal, pourra toujours être envisagée comme étant un terme du rang marqué par le nombre de ses unités sous-décuples, augmenté de 1 , de la série par diffé- rence qui aura pour premier et dernier terme, respectivement la partie décuple placée sur la gauche de la virgule, et celleci augmentée de 1 j et dont la raison sera exprimée par une seule des unités du nombre décimal donné. ”

“ Le premier de ces nombres exprime 43 centièmes; le second, 430 millièmes; ainsi, dans le nombre ru de cette dernière manièré, les parties sont 10 fois plus petites, mais'on en prend 10 fois plus, c'est-à-dire 10 pour une donc la valeur est la même. En conséquence,
197. Un nombre décimal-conserve la même valeur quand on met ou quand on supprime un zéro à sa droite. ”

“ Une fraction se convertit en nombre décimal par la division (25) .
(51) . Exemples de multiplication et de Division.
(52) . Exemples d'addition et de soustraction.
(53) . Supposons qu'il y ait des nombres entiers :
Mélange des quatre règles.
Nous avons du réduire chaque parentnese a une fraction ( (18) ) , avant de commencer les multiplications. - 1
Le calcul des fractions étant ce qu'il y a uc plus important, les élèves devront se rendre
bien familiers ces exemples et les varier en changeant la valeur des fractions. ”

“ R, Le mètre et le gramme admettent tous les multiples et tous les sous-multiples ; l'are n'admet qu'hecto et centi ; le stère n'admet que déca et déci; le litre les admet tous, excepté myria et milli ; et le franc n'admet que les sous, - multiples , sous les noms de décime, centime et millième.
95. D. Pourquoi le système métrique est-il appelé décimal ?
R. Le système métrique est appelé DÉCI-
MAL, parce que ses multiples expriment des nombres qui égalent dix, cent, mille, dixmille unités, et ses sous-multiples, des nombres qui sont la dixième, la centième, la millième partie de l'unité. ”

“ A moins de dérouler devant toi, ma chère Élisa, l'immense tableau de ce qui, dans l'univers connu, a reçu le nom d'unité, on ne saurait effleurer que d'une manière imparfaite la théorie des fractions: il faut, en ceci, se contenter du principe. Fort heureusement, le calcul décimal nous offre une compensation, un terme moyen fort agréable ; toute fraction possible peut se réduire en décimales ; et j'ai l'avantage de t'annoncer, pour la première fois, que les fractions anciennes n'existent plus que pour ceux qui persistent à s'en servir. ”

“ Pour réduire une fraction en décimales, on écrit un zéro à la droite du numérateur, et on divise par le dénominateur. On sépare par une virgule son chiffre à la droite du quotient. On écrit 0 à la droite du reste, et on le divise par 'le dénominateur, le quotient est le second chiffre décimal; on écrit un zéro à la droite du nouveau reste et on le divise par le dénominateur, le quotient est le troisième chiffre
décimal, et ainsi de suite indéfiniment. ”

“ Dans ces sortes de nombres décimaux où l'on peut prendre autant de "chiffres que' l'on veut à la suite de la virgule, parce qu'ils, peuvent se prolonger ainsi indéfiniment par la .répétition d'un certain nombre de chiffres, la partie décimale se nomme fraction décimale périodique. ”

“ Les fractions variables, pouvant approcher indéfiniment des nombres incommensurables, se présentent dans la pratique sous la forme de fractions décimales d'un nombre illimité de chiffres décimaux, mais non périodiques. Leurs limites représentant des quantités qui n'ont pas de commune mesure avec l'unité, ne peuvent pas être exprimées exactement par des nombres. ”

“ Enjfin, on ajoute tous les produits, et on sépare, sur la droite de la somme, autant de décimales qu'il y en avait dans le multiplicande , lorsqu'on l'a multiplié par les unités du multiplicateur; ou, ce qui est plus général, on observe de quels rangs sont, dans chaque facteur, la décimale par laquelle on multiplie chaque fois, et celle par laquelle on recommence la multiplication; la somme de ces deux rangs indique toujours le nombre de décimales que doit avoir le produit total. ”

“ Mettez à la suite de celui des deux nombres proposés qui a le moins de décimales, un nombre de zéros suffisant pour que le nombre des décimales soit le même dans chacun (cela ne changera rien à la valeur de ce nombre (30) ) ; supprimez la virgule dans l'un et dans l'autre, et faites l'opération comme pour les nombres entiers ; il n'y aura rien à changer au quotient que vous trouverez.
Exemple.
On propose de diviser 12,52 par 4,3
en complétant le nombre des décimales. ”