J.-J. Baget

“ L'UNITÉ est la chose qui, ajoutée à d'autres de même espèce, une, deux ou plusieurs fois, forme un nombre.
Ainsi quand je dis : huit litres, quinze francs., je donne à entendre que l'unité ou la chose que l'on sait s'appeler litre, franc, est répétée huit fois, quinze fois.
4. Quand la chose ou l'unité est complète, c'est-à-dire qu'elle a justement la forme, la grandeur ou la quantité de parties qu'elle doit avoir, elle est entière, et on la désigne en disant UN ENTIER. — Un assemblage d'unités entières est un nombre entier. ”

“ Tant qu'il ne s'agit que de nombres entiers, on peut considérer la multiplication comme ayant pour but de répéter un des nombres donnés autant de fois qu'il y a d'unités dans l'autre. Ainsi multiplier 5 par 3 , c'est répéter 5 trois fois.
En ce sens, la multiplication est une addition abrégée ; car pour obtenir le résultat, on pourrait écrire le multiplicande sous lui-même autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicateur, et additionner : la somme serait le produit cherché. ”

“ Quand on ne veut pas évaluer le reste d'une division par les fractions décimales, on se contente de prendre le reste pour en faire le numérateur d'une fraction non décimale à laquelle on donne pour dénominateur le diviseur même. ”

“ NUMÉRATION DES MESURES DE CAPACITÉ.
Comme toutes les divisions et compositions décimales du litre sont en usage, on compte ces mesures comme les mesures de longueur ; on oublie le volume pour ne considérer que les fractions ou les multiples de l'unité principale, qui sont tous dans le rapport de 1 à 10, avec leur contiguë; ainsi :
(1) La dimension des mesures décimales, c'est-à-dire du décalitre, litre, décilitre, centilitre, sont les plus essentielles à retenir dans la mémoire. ”

“ Mais les solutions d'un grand nombre de questions arithmétiques exigent qu'on en connaisse les divisions. Voici les plus connues : Le jour est l'unité des mesures de temps : c'est la révolution de la terre sur son axe. ”

“ Scolie. Quelquefois aucun des dénominateurs n'est multiple des autres, mais on peut trouver un nombre qui soit multiple de tous les dénominateurs, et c'est ce nombre qui devient le dénominateur commun.
Pour cela, on le divise par tous les dénominateurs, on écrit le quotient sous la fraction dont le dénominateur est l'autre sousmultiple, et on opère comme il vient d'être dit tout-à-l'heure. ”

“ Tout ce que l'on peut faire, c'est d'en approcher tellement près, que si l'expression n'est pas la vérité, elle lui est du moins à peu près équivalente.
Cette évaluation a beaucoup d'analogie avec l'évaluation du quotient. C'est aussi par les fractions décimales qu'elle est faite le plus souvent ; et, de même que pour les quotients, évaluer une racine carrée à moins de 0,1, 0,01, 0,001 près, c'est dire que si la racine écrite était seulement augmentée d'une unité décimale de l'ordre auquel l'évaluation aura été faite, le nombre reproduit par cette racine serait plus fort que le nombre donné. ”

“ Comment lisez-vous un nombre écrit en chiffres ? Comment écrivez-vous en chiffres un nombre donné ?
Qu'appelez - vous fraction décimale ? — Qu'est - ce qu'un dixième, un centième , un millième, etc. ? —
Donnez une idée de leur formation? — de leur numération ? — Parlez de la virgule ? — Quel est l'usage du zéro dans les nombres entiers et dans les nombres décimaux? — Comment écrivez - vous un nombre décimal? — une fraction?— Comment lisez - vous une fraction décimale écrite ? - un nombre décimal ? —
N'y a-t-il pas plusieurs manières d'énoncer la même grandeur décimale? ”

“ Evaluation des racines carrees.
Les nombres dont on a besoin de chercher la racine dans la pratique ne sont pas toujours des carrés parfaits comme ceux que nous venons de prendre pour modèles. Il arrive même le plus souvent qu'on doit opérer sur des nombres irrationnels ; alors on est obligé d'évaluer leur racine approximativement; mais quelque grande que soit cette approximation, vous n'arriverez jamais à un nombre qui puisse être exprimé par des chiffres. Par exemple, entre 4 et 9, carré des nombres consécutifs 2 et 3, il y a quatre nombres 5, 6, 7, 8 dont on ne peut trouver la racine. ”

“ Ainsi, par exemple, diviser 28 par 7, c'est chercher un troisième nombre 4, contenant 4 fois l'unité, de même que 28 contient lui-même 4 fois le nombre 7.
L'un des nombres connus peut être considéré comme un produit, et s'appelle dividende, parce que c'est lui qui doit être divisé; l'autre peut être regardé comme facteur, et s'appelle diviseur, parce que c'est lui qui doit diviser. Le résultat obtenu par l'opération s'appelle quotient ; c'est le second facteur du produit. ”

“ Mais il est plus simple de compter par myriamètres et fractions décimales, soit: 2,3476 myriamètres, c'est-à-dire 2 myriamètres et 3476 dix-millièmes de myriamètres., et le dix-millième de myriamètre est le mètre.
Si on voulait compter par kilomètres, on écrirait : 23,476 kilomètres, c'est-à-dire, 23 kilomètres, 476 millièmes de kilomètres, on ne compte presque jamais par hectomètres.
Le kilomètre et le myriamètre sont donc les seules mesures itinéraires en usage. On compte par kilomètres quand on parle de petites distances qui ne vont pas jusqu'aux centaines de kilomètres. ”

“ La série des nombres naturels offre déjà un exemple d'addition, puisqu'elle est formée de l'unité ajoutée d'abord à elle-même, et ensuite au nombre précédemment formé.
45. Toute addition de nombres écrits en chiffres suppose toujours que l'on est parvenu, par un moyen ou par un autre, à savoir former une collection d'unités semblables ; et le moyen le plus ordinairement employé, ce sont les doigts ; l'habitude seule dispense de s'en servir. ”

“ On dit qu'un nombre est entier, quand il est formé par rassemblage d'unités entières. Trois metret, cent litres.
Mais on peut partager, par la pensée ou autrement, une unité en autant de parties que l'on veut, et chaque partie est une fraction. — On peut concevoir la réunion de deux ou plusieurs fractions, et le nombre qui les exprime s'appelle aussi une fraction, ou mieux, une expression fractionnaire. Tels sont : trois quarts de mètre, vingt-deux centièmes de mètre. ”

“ Si au contraire le diviseur en contient plus que le dividende, mettez à la droite du quotient autant de zéros que le diviseur a plus de chiffres décimaux. Enfin s'ils en contiennent autant l'un que l'autre, le quotient n'en aura pas.
Scolie. Il est évident que si la partie entière du nombre dividende est plus petite que la partie entière du diviseur , le quotient ne pourra être qu'une fraction, puisque jamais un facteur plus grand qu'une fraction multiplié par un nombre déjà plus grand que le dividende, ne pourrait donner un produit plus petit que ce dividende lui-même. ”

“ Le dénominateur est un véritable diviseur, et le numérateur un véritable dividende. Car soit tout autre nombre que 1 qu'il faille diviser par un autre, mais plus grand que lui, par exemple soit 3 à diviser par 7, le quotient sera f. Pour le prouver, partageons chaque unité dont se compose 3 en sept parties, on aura alors 21 parties qui seront bien divisibles par 7, et ~7 = 3; mais ce sont 3 unités de septièmes, c'est-à-dire 3 unités d'un ordre sept fois plus petit que trois entiers , et c'est ce qu'indique l'expression écrite f.
Une fraction est donc un véritable quotient ”

“ LA MULTIPLICATION est l'opération par laquelle on compose un nombre avec deux autres nombres donnés, de telle sorte que le nombre formé contient un des deux nombres donnés autant de fois que l'autre contient l'unité. ”

“ En général, pour qu'une évaluation soit possible, il faut toujours que le dénominateur de la fraction donnée soit sous-multiple du dénominateur de celle en laquelle on veut la transformer.
On ne peut pas dire d'avance quelle sera l'étendue d'une période, mais elle ne pourra jamais contenir plus de chiffres qu'il n'y a d'unités , moins une, dans le diviseur. Quand le dénominateur est un nombre premier ( excepté 5 et 2) , il y aura toujours autant de chiffres à la période que ce diviseur contient d'unités, moins une, et la période sera simple. ”

“ Pour diviser un entier par une fraction, il faut multiplier l'entier par le dénominateur, et diviser le produit par le numérateur.
On voit que le quotient est plus fort que le dividende, et on peut faire à ce sujet une remarque analogue à celle que nous avons faite à propos de la multiplication d'un entier par une fraction, c'est que le mot division appliqué aux fractions n'emporte pas, comme dans les entiers, l'idée de diminution. ”

“ Le côté d'un carré figuré est comme la racine d'un carré numérique; car quand le côté est décuplé, la surface est centuplée, ou cent fois plus grande; et réciproquement, quand le côté est divisé par 10, la surface devient 100 fois plus petite. ”

“ Scolie. Quand le capital est joint aux intérêts, on soustrait d'abord le capital de la somme faite ; puis on cherche l'intérêt de ce capital pour un an, et on divise la différence obtenue au moyen de la première soustraction, par le dernier quotient. ”

“ Un carré étant la multiplication d'un nombre par lui-même, on pourrait diviser le carré par la racine, et on retrouverait cette racine elle-même au quotient.
De même en divisant un cube par sa racine, et le quotient par cette racine, on retrouverait un second quotient égal à cette racine même. Mais on conçoit que pour se prouver ainsi l'exactitude d'une puissance il faut en connaître la racine.
Quand on a extrait une racine, c'est la formation seule de la puissance qui sert de preuve à l'opération. ”

“ Elle se mesure en tirant une ligne droite qui joint les deux points extrêmes dont on veut évaluer la distance, et en reportant sur cette ligne, la longueur prise comme terme de comparaison.
La largeur d'un corps n'est autre chose que la longueur prise dans un autre sens ; elle se mesure comme elle.
Le MÈTRE est l'unité des mesures de longueur. ”

“ Scolie. C'est toujours une mesure carrée qui sert à l'évaluation des surfaces. Si la surface que l'on mesure n'a pas la forme d'un carré, cette mesure se ramène à un rapport établi avec l'unité carrée, contenue un certain nombre de fois dans la surface donnée. Par exemple, si une dimension égale 5 mètres et l'autre 4 mètres, la surface = 4 X 5 = 20 mètres carrés. ”

“ La règle de société est simple quand les mises de fonds, proportionnellement auxquelles le partage des pertes ou des profits doit être fait, ou en général, les nombres proportionnellement auxquels la répartition des parties du nombre donné doit être faite, sont exprimés dans la question.
Comme les mises peuvent être tout à la fois différentes -et placées pendant des temps différents, la question sera
plus ou moins compliquée, mais la solution sera toujours ramenée à de simples proportions. ”

“ Une salle a ordinairement la forme d'un carré long, dont la surface s'évalue en multipliant la hauteur par la largeur d'une part, et la hauteur par la longueur, d'autre part ; et comme les quatre faces peuvent être supposées égales deux à deux, on aura la surface totala en doublant les deux résultats, et en faisant la somme des deux produits. ”

“ LEÇONS ÉLÉMENTAIRES D'ARITHMÉTIQUE RAISONNÉE.
1 PREMIERE PARTIE.
NOTIONS PRÉLIMINAIRES.
1. Les mathématiques sont la science des grandeurs.
— On appelle grandeur tout ce qui peut être augmenté ou diminué; ainsi la longueur, la surface, le volume d'un corps, le poids , la vitesse, le nombre, etc., sont des grandeurs; et un donne un nom différent à chacune des parlies des sciences mathématiques, selon l'espèce de grandeur dont elle traite. ”

“ Mais on conçoit que si le capital rapporte un intérêt quelconque pour un an, cet intérêt sera autant de fois plus grand qu'il y aura d'unités dans le nombre d'années du placement, donc : DEUXIÈME RÈGLE. Pour trouver l'intérêt d'un capital, au bout d'un certain temps, multipliez le capital par le taux et par le temps, et divisez le produit par 100. ”