J.-J. Baget

“ Mais les solutions d'un grand nombre de questions arithmétiques exigent qu'on en connaisse les divisions. Voici les plus connues : Le jour est l'unité des mesures de temps : c'est la révolution de la terre sur son axe. ”

“ Si on veut représenter un nombre fractionnaire, c'est-à-dire un nombre formé d'entiers et de fractions, on écrit d'abord les entiers, et ensuite la partie fractionnaire, en ayant soin de mettre entre la virgule et les chiffres qui expriment les unités fractionnaires assez de zéros pour que le dernier chiffre occupe le rang de l'espèce d'unités demandées. ”

“ LA MULTIPLICATION est l'opération par laquelle on compose un nombre avec deux autres nombres donnés, de telle sorte que le nombre formé contient un des deux nombres donnés autant de fois que l'autre contient l'unité. ”

“ Le côté d'un carré figuré est comme la racine d'un carré numérique; car quand le côté est décuplé, la surface est centuplée, ou cent fois plus grande; et réciproquement, quand le côté est divisé par 10, la surface devient 100 fois plus petite. ”

“ La série des nombres naturels offre déjà un exemple d'addition, puisqu'elle est formée de l'unité ajoutée d'abord à elle-même, et ensuite au nombre précédemment formé.
45. Toute addition de nombres écrits en chiffres suppose toujours que l'on est parvenu, par un moyen ou par un autre, à savoir former une collection d'unités semblables ; et le moyen le plus ordinairement employé, ce sont les doigts ; l'habitude seule dispense de s'en servir. ”

“ Une fraction décimale est d'autant plus forte qu'il y a moins de chiffres après la virgule, car les parties que ces chiffres représentent expriment une subdivision plus forte de l'unité. Ainsi 0,18 est plus grand que 0,018. En effet, si le 8 est plus fort que le 1 dans sa valeur absolue, dans sa valeur relative il est représentatif d'unités d'un ordre dix fois plus petit.
36. On peut énoncer un nombre décimal de plusieurs manières : Ainsi, l'expression écrite 7,619, peut se prononcer 7 entiers, 6 dixièmes, 1 centième, 9 millièmes. ”

“ Une fraction écrite, c'est-à-dire une collection de plusieurs parties égales d'entiers, se compose de deux termes : l'un, appelé dénominateur, indique en combien de parties l'entier est partagé; l'autre, appelé numérateur, compte ou indique combien on suppose de ces parties réunies dans l'expression. Ainsi, pour indiquer sept huitièmes, on écrira i. Le numérateur s'énonce toujours le premier comme un nombre abstrait, sept; le dénominateur s'énonce ensuite de la même manière en faisant suivre le mot de la terminaison ième ”

“ Mais dans ce cas, comme dans tous ceux qui peuvent s'offrir, il est plus simple d'égaliser de part et d'autre les chiffres décimaux par des zéros, d'opérer comme sur des entiers, ce qui donne d'abord des entiers au quotient, et de se comporter sur le reste comme il a été dit précédemment. ”

“ On voit que le numérateur est plus grand que le dénominateur. Dans ce cas, l'expression fractionnaire contient autant d'unités entières que le dénominateur est contenu de fois dans le numérateur; ce que l'on connaît en divisant le premier par le second.
171. On additionne un entier avec une fraction en multipliant l'entier par le dénominateur, et ajoutant au produit le numérateur; la somme devient le numérateur d'une nouvelle fraction qui prend pour dénominateur celui de la fraction donnée. ”

“ Ainsi la mesure décimale carrée qui suit immédiatement le mètre carré, c'est le décimètre carré, ou centième partie du mètre carré. Un dixième de mètre carré n'est pas un carré, pas plus que 10 ou 0,1 en nombre abstrait. ”

“ Quand on veut une racine à moins d'un dixième, on multiplie le reste par 100; à moins d'un centième, par 10000 ; à moins d'un millième, par 1000000 , et on continue l'opération comme pour les entiers. ”

“ Si le nombre est décimal, fractionnaire ou fraction , le cube s'obtient de la même manière ; et de même que les nombres 10,100, 1000. sont élevés à leurs cubes en triplant le nombre des zéros, de même un nombre décimal à son cube aura toujours ses chiffres en nombre triple de ceux de la racine, et le cube pourra toujours se partager en tranches de trois chiffres, à partir de la virgule et allant vers la droite. Par exemple 10,000027 est bien un cube dont la V- est 0,03, mais 0,0027 n'est pas un cube, parce qu'on ne peut le partager exactement en tranches de 3 chiffres. ”

“ Le principe général peut ètré formulé en peu de mots, en disant : un quotient ne change pas quand on multiplie les deux termes de la division par le même nombre.
C'est le même principe que celui du n° 166. Un simple raisonnement suffit pour en démontrer la justesse. Si, par exemple, on devait partager 24 francs entre 6 personnes, la part de chacune serait de 4 francs : supposons maintenant que la somme soit de 5 fois 24 francs, ou 120 francs, et qu'au lieu de 6 personnes il y en ait 5 fois 6, ou 30, il est clair que la part de chacune sera la même, et en effet — = 4. ”

“ Quand le multiplicande est représenté par plusieurs chiffres et le multiplicateur par un seul, on forme successivement le produit de chaque chiffre en commençant par les unités de plus faible espèce ; lequel produit n'est jamais formé que d'unités et de dizaines du même ordre que le chiffre du multiplicande sur lequel on opère ”

“ Quel nom donnez-vous au résultat d'une soustraction, et comment obtenez-vous ce résultat en général?— quand les nombres sont écrits avec plusieurs chiffres? — Quel est le signe de la soustraction? — Démontrez le procédé opératoire sur un exemple? — Comment opérez-vous quand un chiffre se trouve plus fort que celui dont on veut le soustraire? - Pourquoi ajoutez-vous 1 au chiffre inférieur à gauche, quand vous avez ajouté 10 au chiffre supérieur? — La soustraction des nombres décimaux offret-elle quelque distinction?
Qu'est-ce que la division? — Qu'appelez-vous dividende ? — Diviseur? ”

“ Un produit est le multiple de ses facteurs, qui sont appelés sous-multiples. Ainsi 12 a pour sous-multiples 3 et 4, et si on ne connaît qu'un sous-multiple du produit, la division fait connaitre l'autre.
77. Quand le dividende est représenté par deux chiffres, et le diviseur par un seul, il suffit de la mémoire pour obtenir le quotient, complet ou incomplet. ”

“ Pour multiplier un nombre entier par 10, 100, 1000. , et en général par l'unité suivie de zéros, il suffit d'écrire à la droite du nombre autant de zéros qu'il y en a après l'unité, ainsi : 371 X 100 donnera au produit 37100.
La numération démontre que tous les chiffres ont pris une valeur 100 fois plus grande que celle qu'ils avaient d'abord.
64. Quand le multiplicateur est un nombre quelconque terminé par des zéros, on néglige d'abord les zéros, et quand l'opération est finie, on les écrit à droite du produit. ”

“ On peut quelquefois représenter une fraction à deux termes par une fraction décimale équivalente. Ainsi = 0,6. On obtient ce résultat en divisant le numérateur par le dénominateur, et on suit, pour cette division, les principes posés dans la division des nombres entiers. ”

“ Un nombre carré est celui auquel on peut trouver deux facteurs égaux. Ainsi, 36 est un carré, parce que 6X6 donne 36 au produit. Et en général on obtient le carré d'un nombre en le multipliant par lui-même. Le nombre qui est multiplié s'appelle racine. ”

“ Voyons maintenant la méthode analytique: si 25 hommes font 1350 mètres en 18 jours, un homme en fait 1350 dans le même temps; dans l'unité de temps, 25 c'est-à-dire en un jour, il en fera 18 fois moins, et parce
1350 f
queest une expression fractionnaire qui, comme 25 une fraction, se divise en multipliant son dénominateur, le travail d'un homme en un jour sera représenté par l'expression 13o° , résultat que l'on pourrait effectuer 25 X 18 d'abord si on voulait, mais qu'il n'est pas nécessaire de trouver; il vaut mieux poursuivre t'analyse de la seconde partie du problème. ”

“ Quand on divise un nombre par un autre, on cherche réellement dans quel rapport ils sont l'un à l'autre, c'est-à-dire combien de fois le plus grand contient le plus petit. Ainsi, est l'expression du rapport cherché entre 12 et 3 ”

“ Les nombres concrets décimaux, dont le calcul est fondé sur celui des nombres abstraits de même sorte, sont généralement les mesures.
109. Une mesure est un objet pris comme unité ou terme de comparaison aux grandeurs ou collections d'unités de même sorte.
110. Mesurer une chose, c'est la comparer avec l'unité de même sorte qu'elle. ”

“ La fraction représenterait des millièmes de centimètre cube, qui sont bien des millimètres cubes.
Enfin, en millimètres cubes, on écrirait : 86003523216 millimètres cubes.
142. Comme dans les nombres cubiques abstraits, la virgule, en avançant de trois rangs à gauche, donne au nombre une valeur mille fois plus grande; et pour que le volume reste le même, on lui donne une dénomination d'unité mille fois plus petite ; c'est le contraire quand la virgule avance de trois rangs vers la gauche.
145. L'arête d'un corps de forme cubique est comme la racine d'un nombre cubique ”

“ Un rentier qui a un revenu annuel de 6250 francs voudrait pouvoir payer en quinze ans une propriété qu'il a achetée 28950 francs, en prélevant chaque année une somme égale, qu'il économisera sur son revenu. ”

“ Il arrive souvent que le chiffre inférieur est plus fort que le chiffre supérieur; alors on ajoute, par la pensée, 10 au chiffre supérieur, ce qui forme un nombre qui peut toujours contenir le nombre représenté par le chiffre inférieur. ”

“ On divise une fraction par un entier en multipliant le dénominateur par l'entier, et laissant le même numérateur.
Car la fraction -il-, suppose l'entier partagé en 28 parties égales. Un vingt-huitième est sept fois plus petit qu'un quart ; et, comme on n'exprime que 3 de chaque sorte.
l'expression 218 est sept fois plus petite que f. Cependant on simplifie l'opération quand on peut diviser le numérateur par l'entier ; alors le dénominateur reste tel qu'il est. ”

“ Plus le numérateur d'une fraction est près d'être égal à son dénominateur, plus cette fraction sera près d'égaler l'entier. f est la même chose que 1, puisque prendre toutes les parties dont un entier se compose, c'est prendre cet entier lui-même ”

“ Une fraction est multipliée par un entier, ou rendue un certain nombre de fois plus forte, quand on multiplie son numérateur, sans changer son dénominateur.
Ainsi l6 X 8 =~; car c'est la même chose que si on avait eu à ajouter le numérateur 3 huit fois à lui-même. ”

“ Pour soustraire 28 du dividende partiel, on ajoute, par la pensée, 3 dizaines au zéro, et il vient 30 — 28 reste 2, que l'on écrit sous le zéro.
Multipliant le second chiffre du diviseur par 7, on dit : 8X7 donne 56 : ce sont 56 dizaines relativement aux unités sur lesquelles on vient d'opérer; et avec les 3 qui ont été ajoutées pour rendre la soustraction possible, il vient 59, qui, soustrait de 59, donne zéro pour reste.
A droite du 2, on écrit le chiffre suivant 5 du dividende , ce qui forme un second dividende partiel 25; mais
25 n'est pas divisible par 84, puisqu'il est plus petit ”

“ La capacité d'un corps creux non cubique s'obtient en multipliant sa longueur par sa hauteur et par sa profondeur. Quelle est la capacité d'un réservoir ayant 8 mètres de longueur, sur 6,43 de largeur, et 2,78 de hauteur, et combien contiendrait-il de litres d'eau ?
9. Quel serait le poids d'une masse liquide qui remplirait le réservoir précédent, sachant que ce liquide est 2 fois et demie plus léger que l'eau?
10. Réduire en mètres et fractions de mètre 1 toise 3 pieds 7 pouces anciens.
11. Réduire en hectares, ares et centiares une surface de 4762 toises carrées. ”

“ On appelle nombre cubique, le produit d'un nombre multiplié trois fois par lui-même, ou qui a trois facteurs égaux.
Pour obtenir un cube, on forme d'abord le carré, et on multiplie le carré par la racine ; ainsi le cube de 7 sera 7 X 7 vX 7, ou bien 49 X 7. Ce qui donne 343. 7 est la racine cubique de 343.
102. De 1 à 1000 il n'y a que dix cubes parfaits, savoir :
Racines. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cubes. 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
103. ”

“ De même dans les fractions îf, ~, ~, on voit que 21
est divisible par 3 et par 7 ; alors, pour éviter les erreurs, on dispose les fractions sur une même ligne; on écrit audessous de chaque fraction le quotient du plus grand dé- ; nominateur divisé par le sien, de cette manière :
en mettant l'unité sous le plus grand, et ensuite on multiplie les deux termes de chaque fraction par le quotient souscrit, ce qui donne :
165. Une fraction augmente quand on augmente son numérateur, sans toucher au dénominateur. ”

“ En raisonnant sur un décamètre carré comme sur le mètre carré, on trouvera cent mètres carrés dans la surface, et le mètre carré étant la centième partie-de l'are, prend le nom de centiare.
151. En donnant au carré un côté de 100 mètres ou d'un hectomètre, la surface aura 10000 mètres carrés, ou 10000 centiares, ou 100 ares, et prend le nom d'hec- tare.
152.. Le centiare, l'are j, l'hectare, sont les seules me- sures agraires usitées, les seules qui soient des carrés décimaux, dans lesquelles le côté va toujours en augmentant de dix fois la grandeur du précédent. ”

“ Donc le quotient de 718 divisé par 25, est un nombre frationnaire 28,72.
82. Ainsi, pour évaluer le quotient du reste d'une division, on multiplie ce reste par 10, 100, 1000., selon que l'on veut avoir des dixièmes, des centièmes ou des millièmes à la fraction décimale du quotient, et on poursuit la division comme pour les nombres entiers.
83. Souvent il arrive que l'évaluation ne peut pas être faite exactement en fraction décimale; par exemple: 15 : 7. ”

“ En examinant chaque partie de cette table, on 'verra que c'est toujours le même chiffre qui s'ajoute à lui-même deux ou plusieurs fois. On voit aussi que deux chiffres multipliés l'un par l'autre, par exemple, 8 et 4, uionnent le même produit, quel que soit celui des deux qu'on prenne pour multiplicateur : on a toujours 32 pour produit. Principe qui se formule en ces termes : Un prouit ne change pas, quel que soit l'ordre de ses facteurs.
I 51. Le signe X est celui qui désigne la multiplication : il signifie multiplie par. ”